مجموع عددين وآحادهما مجهولة: ما أصغر ناتج وأكبره؟

ما الذي تخفيه علامة السؤال؟

يوضح مورد NCETM أن العدد المكوّن من منزلتين يمكن تفكيكه إلى جزء العشرات وجزء الآحاد، وأن فهم هذه البنية يساعد على الجمع. سنستخدم هذا التفكيك في بطاقتين أصليتين نخفي فيهما الآحاد، ثم نستنتج حدود النواتج من القيم التي نسمح بها في السؤال. ^[1]

نكتب على البطاقة الأولى 4?، وعلى الثانية 6?. تعني العلامة هنا رقم آحاد واحدًا من الصفر إلى التسعة، لا عددًا من عدة خانات ولا جزءًا عشريًا. يسمح السؤال بأن تختلف الآحاد بين البطاقتين أو تتساوى؛ لا يوجد شرط يمنع التكرار. لذلك تمثل الأولى الأعداد الصحيحة من أربعين إلى تسعة وأربعين، وتمثل الثانية الأعداد من ستين إلى تسعة وستين.

نسمي آحاد الأولى س، وآحاد الثانية ص. قيمة الأولى أربعون زائد س، وقيمة الثانية ستون زائد ص. عندما نستعمل حرفًا، لا نوسع القيم المسموحة له تلقائيًا؛ س وص هنا رقمان صحيحان بين صفر وتسعة. اكتب هذا القيد بجانب الرسم كي لا تقبل، مثلًا، آحادًا تساوي عشرة أو سالب واحد.

أصغر مجموع وأكبر مجموع

أصغر آحاد مسموحة في كل بطاقة هي الصفر. نضع صفرًا في الخانتين، فتصبح البطاقتان أربعين وستين، ويكون المجموع مئة. لا توجد قيمة أقل في نموذجنا: تغيير أي صفر إلى رقم آخر مسموح لا ينقص العدد، بل يزيده أو يبقيه عند الصفر إذا لم نغير شيئًا.

أكبر آحاد مسموحة هي التسعة. نختارها في البطاقتين، فيكون الحساب 49+69=118. لا نستطيع الحصول على مئة وعشرين، لأن ذلك يحتاج زيادة عشرين فوق الأربعين والستين، بينما أكبر مجموع للآحاد هو ثمانية عشر. حتى مئة وتسعة عشر تتطلب زيادة تسعة عشر، وهي غير متاحة. اختيار رقم تسعة لا يحول العدد إلى العشرة التالية.

إذن كل ناتج مقبول يقع بين مئة ومئة وثمانية عشر شاملًا الحدين. لا نكتب الرمز التقريبي لهذا الحكم؛ مئة هي حد دقيق، ومئة وثمانية عشر حد دقيق. وقد تتحول بعض المجاميع إلى مئة وعشرة أو أكثر عند جمع الآحاد، لكن هذا الحمل لا يمنحنا آحادًا جديدة خارج القيم التي أعلنها السؤال.

أثبت أن كل عدد بين الحدين ممكن

معرفة الحدين لا تكفي وحدها لإثبات إمكان كل عدد بينهما. نجمع تفكيكي البطاقتين في مثالنا، فنحصل على مئة زائد س زائد ص. إذا أردنا ناتجًا معينًا في المجال، اطرح منه مئة، وسم الزيادة ك. ستكون ك عددًا صحيحًا بين صفر وثمانية عشر. نحتاج اختيار آحاد يحقق س+ص=ك، مع بقاء كل منهما داخل الصفر والتسعة.

إذا كانت الزيادة من صفر إلى تسعة، ضعها في آحاد البطاقة الأولى واجعل آحاد الثانية صفرًا. لزيادة سبعة مثلًا نختار سبعة وصفرًا، فتكون البطاقتان سبعة وأربعين وستين، والمجموع مئة وسبعة. وإذا كانت الزيادة من عشرة إلى ثمانية عشر، ضع تسعة في الأولى والباقي في الثانية. ذلك الباقي من واحد إلى تسعة، فيبقى مسموحًا.

جرّب الزيادة أربعة عشر: نختار تسعة وخمسة، ثم نجمع تسعة وأربعين وخمسة وستين، فيكون الناتج مئة وأربعة عشر. وللزيادة ثمانية عشر، نختار تسعة وتسعة فنصل إلى الحد الأعلى. حالتا الزيادة من صفر إلى تسعة ومن عشرة إلى ثمانية عشر تغطيان جميع الزيادات الصحيحة في المجال، ولذلك لا تبقى فجوات بين المجاميع الممكنة. طريقة البناء تشمل كل زيادة.

اختبر ناتجًا دون افتراض حل وحيد

يعرض زميل داخل التمرين ناتج مئة وتسعة. هل هو ممكن؟ نعم، لأن الزيادة تسعة. يمكن اختيار الآحاد صفرًا وتسعة، فنحصل على أربعين وتسعة وستين؛ ويمكن اختيار أربعة وخمسة، فنحصل على أربعة وأربعين وخمسة وستين. كلا الحسابين يعطي مئة وتسعة، لكن البطاقتين مختلفتان. معرفة المجموع وحده لا تكشف الآحاد المخفية كشفًا فريدًا.

لفحص ناتج مقترح، ابدأ بالمجال، ثم قدم زوجًا يحققه إذا كان داخله. تسعة وتسعون أقل من مئة، فيرفض مباشرة. ومئة وتسعة عشر أكبر من مئة وثمانية عشر، فيرفض أيضًا. أما مئة وثلاثة عشر فنختار له تسعة وأربعة، أي تسعة وأربعين وأربعة وستين. قبول النتيجة يعني وجود اختيار مسموح، ولا يعني أن البطاقة المخفية تحمل هذا الاختيار فعلًا.

مئة زوج ليست مئة نتيجة مختلفة

لآحاد البطاقة الأولى عشرة اختيارات، ولكل منها عشرة اختيارات لآحاد الثانية. لذلك توجد مئة حالة مرتبة عند تعداد جميع الأزواج في نموذجنا. ترتيب الزوج مهم لأنه يحدد البطاقة التي تحمل كل رقم: صفر وتسعة لا يعطي البطاقتين نفسيهما اللتين يعطيهما تسعة وصفر، وإن كان المجموع واحدًا.

أما المجاميع المختلفة فهي الأعداد الصحيحة من مئة إلى مئة وثمانية عشر. نعدها بتضمين الطرفين: الفرق ثمانية عشر، ونضيف واحدًا، فيكون العدد تسعة عشر. تتشارك أزواج متعددة في بعض المجاميع، فلا نخلط حصر الأزواج بحصر القيم النهائية. اكتب عنوان العمود: «زوج الآحاد» أو «المجموع»، قبل تقرير العدد الذي تريد الإبلاغ عنه.

ولا نستخرج من هذين العددين احتمالًا. لم يقل التمرين إن الآحاد تختار عشوائيًا، أو إن الأزواج متساوية فرص الظهور. الإمكان يعني أن القيد يسمح باختيار، أما احتمال مشاهدته فيحتاج طريقة اختيار معلنة.

تمرين جديد ومعلومة إضافية

أخف الآحاد في بطاقتين 3? و5?، مع القيود الأصلية نفسها. حاول تحديد الحدين وإثبات إمكان جميع المجاميع قبل قراءة الحل. أصغر مجموع هو 30+50=80، وأكبره 39+59=98. نكتب الناتج ثمانين زائد مجموع الآحاد، ونستعمل طريقة توزيع الزيادة نفسها؛ لذلك تتحقق جميع الأعداد الصحيحة بين ثمانين وثمانية وتسعين.

إذا أخبرك السؤال أن مجموع الآحاد في هذا التمرين تسعة بالضبط، يصبح المجموع تسعة وثمانين. لا يلزم أن تكون الآحاد أربعة وخمسة؛ هذا زوج ممكن، وتوجد أزواج أخرى. المعلومة الجديدة تحدد المجموع وحده. اختم الحل بالقيود والحدين، أو بالناتج المحدد إذا أضيف شرط يكفي لتحديده.