منوال مجموعتين: لماذا قد تفوز قيمة لم تفز في أي منهما؟

اتفق على ما تعده قبل الجمع

المنوال قيمة تحقق أعلى تكرار في البيانات، وقد لا يكون منفردًا؛ فالتكرار هو معيار الاختيار وليس كبر القيمة. [1]

في هذا المقال تكون القيم أسماء ألوان بطاقات. الصندوق الأول يحتوي اثنتي عشرة بطاقة، والثاني اثنتي عشرة أخرى، ونفترض أن كل بطاقة تعد مرة واحدة وأن أسماء الألوان متسقة. حين نقول الأحمر ظهر خمس مرات فنحن نحصي البطاقات الحمراء، لا نحول الأحمر إلى العدد خمسة. قد يكون اللون نفسه حاضرًا في الصندوقين، وهذا لا يعني أن البطاقة نفسها موجودة في كليهما.

سنضع صفرًا في خانة لون غير حاضر في صندوق، لكي تقابل صفوف الجدول الألوان نفسها دائمًا. هذا الصفر ليس لونًا خامسًا أضفناه، بل عدد البطاقات الموجودة لذلك اللون في ذلك المكان. إذا أسقطنا الصفوف ذات الصفر ثم جمعنا حسب موضع الصف لا حسب اسمه، فقد نجمع الأحمر مع الأزرق ونحصل على عدد لا يمثل لونًا محددًا في المجموع.

الصندوقان يختاران لونين مختلفين

نؤلف الصندوق الأول من خمس بطاقات حمراء وأربع خضراء وثلاث صفراء، ولا نضع فيه بطاقة زرقاء. مجموع البطاقات اثنتا عشرة، والأحمر منوال وحيد لأن خمسة أكبر من أربعة وثلاثة وصفر. لا يقتضي كونه المنوال أن يملأ أكثر من نصف الصندوق؛ هنا يزيد نصف الاثنتي عشرة على خمس، ومع ذلك يظل الأحمر الأكثر تكرارًا بين الألوان.

ونؤلف الصندوق الثاني من خمس بطاقات زرقاء وأربع خضراء وثلاث صفراء دون بطاقات حمراء. الأزرق منوال وحيد فيه للأسباب نفسها. الأخضر حاضر بقوة في كل صندوق، لكنه لا يصل إلى تكرار اللون الفائز في أي منهما. هذه الملاحظة مهمة لأن تلخيص كل صندوق باللون الأول وحده يخفي حضور منافس مشترك في المركز التالي.

لو عرضنا بطاقتي ملخص فقط، أحمر للصندوق الأول وأزرق للثاني، فلن يخبرنا اللونان عن عدد البطاقات الخضراء أو الصفراء. وحتى إضافة تكرار خمسة وحجم اثني عشر إلى كل ملخص لا تستعيد ذلك التفصيل. سنحتفظ لذلك بالجدولين الكاملين، ونحسب من البيانات التي تصف السؤال: أي لون يتكرر أكثر بين جميع البطاقات بعد الضم؟

في سطور الحساب نرمز للصندوقين بالحرفين A وB، ونرتب الألوان دائمًا: الأحمر R، والأزرق B، والأخضر G، والأصفر Y. الحرف B داخل قائمة الألوان يعني الأزرق، أما B قبل قائمة التكرارات فيسمي الصندوق الثاني.

A: (R,B,G,Y) = (5,0,4,3) B: (R,B,G,Y) = (0,5,4,3)

الأخضر يفوز عند جمع صفوف الألوان

نجمع تكراري الأحمر فنحصل على خمسة، وتكراري الأزرق فنحصل على خمسة أيضًا. الأخضر يجمع أربعة من الصندوق الأول وأربعة من الثاني فيصبح ثمانية. الأصفر يجمع ثلاثة وثلاثة فيصبح ستة. مجموع هذه النتائج أربع وعشرون بطاقة، كما ينبغي لأننا جمعنا صندوقين في كل منهما اثنتا عشرة. هذا فحص لسلامة الجدول قبل اختيار صفه الأعلى.

إذن الأخضر منوال المجموع، ولا يوجد تعادل عند القمة لأن ثمانية أكبر من ستة وخمسة. لم ننقل ترتيب الصندوق الأول أو ترتيب الثاني إلى المجموع؛ أعدنا مقارنة الأعداد بعد جمعها. لا يوجد في التعريف شرط يفرض أن يكون الفائز الكلي فائزًا في إحدى المجموعتين سابقًا. المثال يعطي حالة واضحة يفوز فيها منافس مشترك جمع حضوره من المكانين.

العدد ثمانية تكرار المنوال وليس المنوال نفسه؛ الجواب عن اللون الأكثر تكرارًا هو الأخضر. ويمكن وصفه بأنه ثماني بطاقات من أربع وعشرين، أي ثلث البطاقات. لا نصفه بأنه أغلبية تتجاوز النصف؛ نصف المجموع اثنتا عشرة، وهو أكبر من ثمانية. الفوز في مقارنة الفئات يختلف هنا عن جمع أكثر من نصف عناصر المجموعة.

(5,0,4,3) + (0,5,4,3) = (5,5,8,6)

ثلاثة اختصارات تعطي جوابًا خاطئًا

الاختصار الأول أن نأخذ أكبر التكرارين المحليين. كلاهما خمسة، لكن هذه الخمسة تخص الأحمر في صندوق والأزرق في الآخر، ولا تقارن الأخضر الذي وصل بعد الجمع إلى ثمانية. الاختصار الثاني جمع الخمستين وتسميتهما تكرار المنوال: عشرة لا تخص لونًا واحدًا في مثالنا، وإنما عدد بطاقات حمراء وزرقاء جمعناها في فئة جديدة من عندنا.

والاختصار الثالث إعطاء الألوان رموزًا عددية ثم أخذ متوسط رمزي اللونين الفائزين. يمكن أن نكتب الأحمر واحدًا والأزرق ثلاثة، فيكون متوسط الرمزين اثنين، ثم نبدل الترميز فيتغير الناتج. ما يتغير هنا رمز اخترناه للكتابة، وليس عدد بطاقات اللون. لا نعطي هذا المتوسط اسم المنوال؛ المطلوب مقارنة تكرارات أسماء ثابتة مهما كانت طريقة ترميزها.

يصح إنشاء فئة تجمع الأحمر والأزرق إذا كان ذلك سؤالًا آخر معلنًا، ولكن نتيجتها تخص الفئات الجديدة. في هذا المقال احتفظنا بالألوان الأربعة منفصلة. لا نختبئ وراء العدد عشرة لإعلان أن أحد اللونين ظهر عشر مرات، ولا نستعمل تغيير التصنيف لتصحيح نتيجة كان ينبغي حسابها من صفوف الجدول الأصلي.

الملخصان نفسهما يمكن أن يعطيا منوالين

نغير تفاصيل الصندوقين مع الإبقاء على كل ما كتبناه في الملخصين. يصبح الأول خمس بطاقات حمراء وأربع زرقاء وثلاث خضراء، والثاني خمسًا زرقاء وأربعًا حمراء وثلاثًا خضراء. لكل صندوق اثنتا عشرة بطاقة، وللأول منوال وحيد أحمر بخمسة، وللثاني منوال وحيد أزرق بخمسة. هذه هي البيانات الموجزة السابقة نفسها، لا ملخصات قريبة منها فقط.

بعد الجمع يحصل الأحمر على تسع بطاقات والأزرق على تسع والخضر على ست، ولا بطاقات صفراء. أعلى تكرار تسعة يتعادل فيه الأحمر والأزرق، فلا نختار واحدًا لأن اسمه يأتي أولًا في القائمة. لقد تغير الجواب الكلي عن المثال الأول الذي أعطى الأخضر، رغم اتفاق الحجمين والمنوالين المحليين وتكراريهما في المثالين.

تسمح البيانات الوصفية بحساب المنوال، وإذا حققت قيمتان أعلى تكرار فكلتاهما منوالية. التعادل في مرتبة أقل لا يجعلهما منوالين. [2]

المقارنة بين هذين الجدولين برهان على عدم كفاية الملخص المحدد لاسترجاع الجواب دائمًا. لسنا بحاجة إلى تخمين ما داخل صندوق فعلي؛ لدينا احتمالان صريحان متوافقان مع المعلومات المعلنة ويختلفان في النتيجة. من يعرف الملخصين وحدهما لا يستطيع استبعاد أحدهما من دون معلومة إضافية عن بقية التكرارات.

(5,4,3,0) + (4,5,3,0) = (9,9,6,0)

وتسمح المعلومات الموجزة بفائز واحد أزرق

نؤلف احتمالًا ثالثًا: الأول خمس حمراء وأربع زرقاء وثلاث خضراء، والثاني خمس زرقاء وأربع خضراء وثلاث صفراء. الأول ما زال يضم اثنتي عشرة بطاقة ومنواله الأحمر بخمسة، والثاني يضم اثنتي عشرة بطاقة ومنواله الأزرق بخمسة. تطابق المعلومات الموجزة لا يتوقف إذن عند حالتي الأخضر والتعادل؛ يمكن أن يكون أحد الفائزين السابقين هو الفائز الكلي أيضًا.

نجمع فنحصل على خمس حمراء وتسع زرقاء وسبع خضراء وثلاث صفراء، ومجموعها أربع وعشرون. الأزرق وحده يحقق أعلى تكرار تسعة. القيم الخمس والتسع والسبع والثلاث تبين أين ظهر الفرق: حضور الأزرق في الصندوق الأول أضاف إلى فوزه المحلي في الثاني، ولم تعد الخضر تجمع ثمانية كما في الاحتمال الأول.

تعرض البطاقة المقارنة النتائج الثلاث بجانب ملخص واحد ثابت. اقرأ الجدول الكامل مع النتيجة، ولا تفهم الألوان أو الصور على أنها بدائل عشوائية للبيانات. كل نتيجة خرجت من جمع معلوم. إذا طلب منك السؤال استرجاع منوال المجموع من الملخصين فقط، فالرد الدقيق أنه غير محدد بهذه المعلومات، مع تقديم جدولين متوافقين على الأقل يثبتان هذا الرد.

(5,4,3,0) + (0,5,4,3) = (5,9,7,3)

اتفاق المنوال الوحيد يحفظه بعد الدمج

يوجد شرط بسيط يفيد حين يتفق الصندوقان. لنفترض أن الأحمر هو المنوال الوحيد في كل واحد، ثم نقارن تكراره بتكرار أي لون آخر محدد. في الأول يتفوق الأحمر على ذلك اللون، وفي الثاني يتفوق عليه أيضًا. جمع التفوقين يبقي مجموع الأحمر أكبر من مجموع ذلك المنافس. نكرر المقارنة لكل لون في قائمة الألوان الممكنة، فنجد الأحمر منوالًا وحيدًا في المجموع.

مثلًا يحتوي الأول ست حمراء وأربع خضراء واثنتين زرقاوين، والثاني سبع حمراء وثلاث زرقاء واثنتين صفراوين. بعد الجمع يصبح الأحمر ثلاث عشرة، والخضر أربعًا، والزرق خمسًا، والصفر اثنتين. فحص الأعداد يؤكد البرهان، لكنه لا يحل محله: البرهان يشرح لماذا تبقى النتيجة مهما تغيرت الأعداد ما دام الأحمر منفردًا بالقمة في كل مجموعة.

لا نحتاج تساوي الحجمين لهذا الشرط. إذا كان الصندوق الأكبر مختلفًا في عدده، تظل مقارنة الأحمر بكل منافس صحيحة داخل كل صندوق ثم في جمعهما. كما يجب إدراج اللون الغائب من أحد الصندوقين بتكرار صفر، حتى تشمل المقارنة اتحاد الألوان الموجودة. الشرط يقول منوالًا وحيدًا مشتركًا، ولا يقول مجرد لون ذكر في تقريرين غير واضحين عن التعادل.

في صيغة المقارنة التالية تعني fA تكرار اللون في الصندوق الأول، وfB تكراره في الثاني. الرمز R للأحمر، وc لأي لون منافس غير الأحمر؛ المقارنة لا تشمل الأحمر مع نفسه.

fA(R) > fA(c), fB(R) > fB(c) => fA(R)+fB(R) > fA(c)+fB(c)

عند تعادل القمم ابحث عن التقاطع

نؤلف الآن الأول بخمس حمراء وخمس زرقاء واثنتين خضراوين، والثاني بخمس حمراء وخمس خضراء واثنتين زرقاوين. قائمة القمة في الأول الأحمر والأزرق، وفي الثاني الأحمر والأخضر. الأحمر مشترك في القائمتين، لكن الأزرق لا يشترك مع الأخضر في القمة نفسها. بعد الجمع تصبح الحمر عشرًا والزرق سبعًا والخضر سبعًا، فينفرد الأحمر بالقمة رغم التعادل داخل كل صندوق.

يمكن تعميم الفكرة عندما توجد قيمة منوالية مشتركة. هذه القيمة لا يقل تكرارها عن تكرار أي منافس في كل مجموعة. كل لون خارج تقاطع قائمتي القمة يتراجع في واحدة منهما على الأقل، ويكون في الأخرى دون القيمة المشتركة أو مساويًا لها؛ لذلك يتراجع بعد جمع التكرارات. والألوان الموجودة في التقاطع تتعادل لأنها تحقق أعلى تكرار في كل مجموعة.

بذلك تكون قائمة منوالات المجموع هي تقاطع قائمتي المنوالات إذا كان هذا التقاطع غير فارغ، عند جمع تكرارات مجموعتين محددتين بالطريقة التي استعملناها. إذا كان فارغًا فلا نطبق العبارة ونستنتج أن المجموع بلا منوال؛ مثالنا الأول قائمته المحلية أحمر في جهة وأزرق في الأخرى، ومع ذلك له منوال واضح أخضر. الشرط جزء من النتيجة وليس تفصيلًا يمكن إسقاطه.

عدد البطاقات يغير من يفوز

نعود إلى المثال الأول ونبقي الصندوق الأول كما هو، ثم نأخذ نسختين من جدول الصندوق الثاني. نقصد صندوقًا أكبر مؤلفًا بأعداد مضاعفة: عشر زرق وثماني خضر وست صفر، فيصبح حجمه أربعًا وعشرين. بعد ضمه إلى الأول نحصل على خمس حمراء وعشر زرق واثنتي عشرة خضر وتسع صفر، أي ست وثلاثين بطاقة. ما زال الأخضر منوالًا، لكن تكراره تغير.

إذا أصبح الثاني أربع نسخ من جدول البداية، تكون الزرق عشرين والخضر ست عشرة والصفر اثنتي عشرة. بعد إضافة الأول تتعادل الزرق والخضر عند عشرين، وتكون الصفر خمس عشرة والحمر خمسًا. أما خمس نسخ فتعطي بعد الجمع خمسًا حمراء وخمسًا وعشرين زرقاء وأربعًا وعشرين خضراء وثماني عشرة صفراء. هنا يفوز الأزرق ببطاقة واحدة.

ليس السبب أن اسم اللون تغير أو أن الجدول فقد دقته؛ حضور المجموعة الثانية ازداد في المجموع. لا نعمم ثبات الأخضر من حالة صندوقين متساويين على كل أحجام الصناديق. ومن المفيد مع كل نتيجة كتابة عدد النسخ والحجم الكلي، حتى لا تبدو الحالات الأربع كأنها تعطي أجوبة مختلفة للبيانات نفسها التي لم تتغير.

يرمز k في السطر الآتي إلى عدد النسخ الكاملة من جدول الصندوق الثاني. كل قائمة تعرض تكرارات الأحمر والأزرق والأخضر والأصفر بالترتيب نفسه.

k=1: (5,5,8,6) k=2: (5,10,12,9) k=4: (5,20,20,15) k=5: (5,25,24,18)

حدد حد التعادل بدل تجربة نسخ كثيرة

في هذه العائلة المؤلفة تكرار الأحمر ثابت خمسة، وتكرار الأزرق خمسة أمثال عدد النسخ. الأخضر أربعة من الصندوق الأول وأربعة عن كل نسخة من الثاني، والأصفر ثلاثة وثلاثة عن كل نسخة. عند مقارنة الأخضر بالأزرق يكون تفوق الأخضر مساويًا لأربعة ناقص عدد النسخ؛ لذلك يغلب الأخضر الأزرق عند نسخة أو اثنتين أو ثلاث، ويتعادلان عند أربع، ثم يغلب الأزرق بعد ذلك.

في أعداد النسخ الصحيحة الموجبة يتجاوز الأخضر الأحمر لأن أقل تكرار للخضر هنا ثمانية، ويتجاوز الأصفر لأن فرق تكراريهما واحد زائد عدد النسخ. هاتان المقارنتان ضروريتان؛ معرفة من يغلب بين الأخضر والأزرق لا تكفي وحدها لادعاء أنه يغلب كل الألوان. بعد فحص الأحمر والأصفر يصبح حد الأربعة وصفًا كاملًا لتحول القمة في العائلة التي حددناها.

عند صفر نسخة لا نضيف شيئًا من الثاني ويبقى الأول وحده، فيفوز الأحمر بخمسة. هذه حالة مختلفة عن الكلام السابق الذي اشترط عدد نسخ موجبًا. لا نعالج نصف نسخة بوصفه عدد بطاقات واقعيًا من هذا الجدول؛ إذا استعملنا أوزانًا كسرية في نموذج آخر فعلينا إعلان معنى الوزن، بينما الأعداد الصحيحة هنا تمثل نسخًا كاملة من جداول تعليمية.

في الفارقين التاليين تمثل G وB وY تكرارات الأخضر والأزرق والأصفر في المجموع، ويظل k عدد النسخ. هذا استعمال للحروف مع الأعداد التي شرحناها، وليس حسابًا على أسماء الألوان.

G-B = (4+4k)-5k = 4-k G-Y = (4+4k)-(3+3k) = 1+k

لماذا لا نحسب متوسط النسب بالتساوي؟

في حالة خمس نسخ يكون الأول اثنتي عشرة بطاقة والثاني ستين، أي اثنتين وسبعين بعد الدمج. نسبة الأخضر في كل منهما ثلث، لكن نسبة الأزرق صفر في الأول وخمسة من كل اثنتي عشرة في الثاني. لو أخذنا متوسط نسبتي الأزرق دون وزن لحصلنا على خمسة من كل أربع وعشرين، بينما نسبة الأخضر تبقى الثلث. هذه المقارنة غير الموزونة تختار الأخضر.

حساب النسبة بين البطاقات المجمعة يعطي للأزرق خمسًا وعشرين من اثنتين وسبعين، وللأخضر أربعًا وعشرين من اثنتين وسبعين. لذلك يتقدم الأزرق. مقام واحد للمجموع يحفظ ترتيب التكرارات؛ السبب في الاختلاف أن متوسط النسب بالتساوي أعطى الصندوق الصغير والكبير الوزن نفسه، بينما الصندوق الأكبر يحتوي خمسة أمثال عدد بطاقات الصغير.

يمكن حساب نسبة اللون في المجموع بوزن نسبة الأول باثنتي عشرة ونسبة الثاني بستين، ثم القسمة على اثنتين وسبعين. لكن وجود الأعداد الفعلية يجعل جمع التكرارات أبسط هنا. لا نقول إن المتوسط غير الموزون لا معنى له أبدًا؛ إنه يصف متوسط نسب الصناديق عندما تعامل الصناديق بالتساوي، وهو سؤال آخر غير نسبة لون بين جميع البطاقات.

العد المكرر وتوحيد التسميات يسبقان النتيجة

يفترض جمع التكرارات السابق أن السجلين يصفان بطاقات مختلفة أو مشاهدات نريد عدها معًا كما هي. إذا كانت البطاقة نفسها مسجلة في القائمتين ونحن نريد عدد البطاقات المميزة، فلا يكفي جمع الصفوف ثم حذف عدد عام من الحجم. نحتاج معرفة اللون الخاص بكل بطاقة مكررة، لأن إزالة تكرار أخضر تختلف عن إزالة تكرار أزرق في المقارنة عند القمة.

مثلًا في حالة التعادل عند أربع نسخ لدينا عشرون زرق وعشرون خضر. لو اكتشفنا أن بطاقتين خضراوين عدتا مرتين وأزلنا الزيادتين، تصبح الخضر ثماني عشرة والزرق عشرين. ولو كانت الزيادتان زرقاوين تنقلب المقارنة. قد يبقى الحجم النهائي نفسه في التصحيحين، لكنه لا يخبرنا أي صف نقص؛ لذلك يحتاج التصحيح هوية الفئة لا إجمالي الحجم فقط.

كذلك لا نجمع أخضر في جدول وخضراء في آخر بوصفهما لونين مختلفين إذا كان الاتفاق أنهما الاسم نفسه. وفي المقابل لا نوحد درجتين يراد تمييزهما في السؤال من دون إعلان تغيير الفئات. الأسماء هنا مفاتيح للمقابلة بين الصفوف، وما نسميه صفرًا أو صفًا مشتركًا يعتمد على تعريف الفئة الذي اخترناه قبل الحساب.

احتفظ بالجدول الذي يجيب عن السؤال

في تقرير قصير عن المثال الأول نكتب حجم كل صندوق، وجدول الألوان الأربعة، ثم نتيجة الجمع: الأخضر ثمانية من أربع وعشرين وهو المنوال الوحيد. وإذا أعطانا التقرير المنوالين المحليين فقط، نكتب أن منوال المجموع غير محدد بهذه المعلومات، ونرفق احتمال الأخضر واحتمال التعادل اللذين وافقا الملخص نفسه. هذه طريقة لإظهار موضع النقص بدل اختيار لون بناء على الانطباع.

أما عندما نعرف منوالًا وحيدًا مشتركًا في كل مجموعة، فنذكر الشرط مع النتيجة ونستعمل مقارنة كل منافس. وعندما توجد تعادلات محلية نحتفظ بقوائم القمم كاملة، حتى نستطيع فحص التقاطع ولا نعتمد على قيمة واحدة اختارها برنامج من بين عدة قيم متساوية. اختيار أول اسم في ترتيب معين لا يجعل بقية الأسماء أقل تكرارًا.

قبل تسليم النتيجة راجع مجموع الصفوف، وتعريف العناصر التي تعدها، وأسماء الفئات، وأثر اختلاف الحجمين. الرسومان يعرضان جداولنا المؤلفة ويبينان فوز الأخضر والاحتمالات المتوافقة مع الملخصين. لا يلزم أن يصبح منوال المجموع أحد المنوالين السابقين؛ ما يلزم هو العودة إلى عدد مرات ظهور كل قيمة في البيانات التي يصفها السؤال.