نقطة بيفان: دائرة تمر بمراكز الدوائر المماسة الخارجية

الخلاصة السريعة

نقطة بيفان هي مركز الدائرة المحيطة بمثلث مراكز الدوائر المماسة الخارجية. وهي انعكاس مركز الداخلية I حول مركز المحيطة O؛ أي V=2O−I، ونصف قطر دائرتها 2R، حيث R نصف قطر المحيطة الأصلية. [1]

• مثلثنا منفرج عند C، وأضلاعه 10 و 17 و 21. مركز الداخلية I=(14,7/2)، ومركز المحيطة O=(21/2,−13/8)، ونصف قطر المحيطة R=85/8؛ خروج O عن المثلث صحيح هنا.
• المراكز الخارجية Ja=(24,6)، Jb=(−3,12)، Jc=(7,−28)، وأنصاف أقطار دوائرها 6 و 12 و 28. نحددها بتساوي مسافاتها العمودية إلى خطوط الأضلاع؛ ليست رؤوس المثلث الأصلي.
• الانعكاس الصحيح V=2O−I=(7,−27/4) يجعل O منتصف IV. مربعا IO و OV متساويان 2465/64؛ نعكس I حول O، ولا نعكس O حول I.
• مربع البعد من V إلى كل مركز خارجي 7225/16، فنصف قطر الدائرة الجامعة 85/4=2R. هذه دائرة تمر بالمراكز الثلاثة، وليست واحدة من الدوائر التي تمس خطوط الأضلاع.
• المركز الخاطئ W=2I−O=(35/2,69/8) يعطي مربعات أبعاد 3145/64 و 27625/64 و 92905/64؛ عدم تساويها يرفضه حتى لو بدا على خط IO نفسه.
• في مثلث JaJbJc، النقطة I ملتقى ارتفاعاته، و A و B و C أقدامها؛ لذلك يتغير دور النقاط عندما نغير المثلث المرجعي. التكبير بعامل 2 يضاعف الإحداثيات وأنصاف الأقطار؛ في متساوي الأضلاع I=O=V، مع اختلاف نصفي قطر الدائرتين.

ثبت المثلث ومركزيه الأصليين

من الإحداثيات نحصل على AC²=15²+8²=289، و BC²=6²+8²=100، و AB=21. المساحة 21×8/2=84، ونصف المحيط 24. عند C حاصل ضرب CA=(−15,−8) في CB=(6,−8) يساوي −26، فتكون الزاوية منفرجة.

خطوط الأضلاع هي AB: y=0، CA: 8x−15y=0، BC: 4x+3y=84. النقطة I=(14,7/2) داخل المثلث، والمسافات إلى الخطوط 7/2 و (119/2)/17 و (35/2)/5؛ كلها 7/2. لذلك هي مركز الداخلية في مثالنا.

لتحديد O، مساواة بعديه عن A و B تفرض x=21/2. ومساواة مربعَي البعد عن A و C تعطي 30x+16y=289، ومنها y=−13/8. مربع نصف القطر OA²=(21/2)²+(13/8)²=7225/64، فـ R=85/8.

يقع O تحت AB، لأن إحداثيه الرأسي سالب. لا نستبدله بنقطة داخل المثلث لإصلاح الرسم؛ شرطه تساوي المسافات إلى الرؤوس، لا وجوده داخل الشكل. سنستعمل O نفسه في الانعكاس، ونحتفظ بالكسور الدقيقة.

تحقق من المراكز الخارجية الثلاثة

نختبر Ja=(24,6) ونصف القطر 6. البعد عن AB هو 6. قيمة 8x−15y تساوي 102، وقسمتها على 17 تعطي 6؛ وقيمة 4x+3y−84 تساوي 30، وقسمتها على 5 تعطي 6. إذن الدائرة تمس خطوط الأضلاع الثلاثة.

عند Jb=(−3,12)، قيمة 8x−15y هي −204، وقيمة 4x+3y−84 هي −60. القيم المطلقة بعد القسمة على 17 و 5 تعطي 12، مثل البعد عن AB. وعند Jc=(7,−28)، القيم 476 و −140 تعطي 28، مثل البعد عن AB.

جهة المركز تحدد الدائرة المناسبة: Ja خارج جهة BC، و Jb خارج جهة CA، و Jc تحت AB. تتكون من هذه النقاط ثلاثة رؤوس جديدة. لا نصل الرؤوس الأصلية بنقاط تماس هنا؛ المطلوب دائرة تمر بالمراكز نفسها.

الفرق Jb−Ja=(−27,6)، والفرق Jc−Ja=(−17,−34). محددهما 1020 غير صفر، فالنقاط الثلاث غير مستقيمة وتحدد دائرة محيطة وحيدة. الجدول يفصل مركز كل دائرة عن نصف قطرها؛ رقم نصف القطر ليس إحداثيًا.

اعكس المركز الداخلي حول المركز المحيط

نكتب V=2O−I. الإحداثي الأفقي 21−14=7، والرأسي −13/4−7/2=−27/4؛ إذن V=(7,−27/4). منتصف I و V هو ((14+7)/2,(7/2−27/4)/2)=(21/2,−13/8)، وهو O نفسه.

المتجه O−I=(−7/2,−41/8)، والمتجه V−O يساويه تمامًا. لذلك تكون النقاط على خط واحد، بالترتيب I ثم O ثم V. مربع طول كل قطعة 49/4+1681/64=2465/64؛ لا نخلط هذا المربع بطول IO.

لحساب الانعكاس، اطرح إحداثيات I من ضعفي إحداثيات O. عبارة «انعكاس المركزين» وحدها مبهمة؛ المركز الذي نعكسه I، ونقطة الانعكاس O. ويحدد شرط المنتصف الاتجاه الصحيح، لا مجرد الاصطفاف.

يمكن كتابة خط المراكز 41x−28y=476. تحقق I المعادلة لأن 574−98=476، وتحقق O لأن 861/2+91/2=476، وتحقق V لأن 287+189=476. هذا فحص إضافي للمواضع، لكنه لا يغني عن شرط المنتصف.

راجع ثلاثة أنصاف أقطار للدائرة الجديدة

من V إلى Ja المتجه (17,51/4). مربع طوله 289+2601/16=7225/16. ومن V إلى Jb المتجه (−10,75/4)، فيعطي 100+5625/16=7225/16. ومن V إلى Jc المتجه (0,−85/4)، فيعطي القيمة نفسها.

إذن دائرة المركز V ونصف القطر 85/4 تمر بالمراكز الثلاثة. معادلتها (x−7)²+(y+27/4)²=7225/16. عندما نعوض إحداثيات أي من Ja و Jb و Jc، يعيد الطرف الأيسر 7225/16 بالضبط.

نصف قطر المحيطة الأصلية 85/8، ونصف قطر الدائرة الجديدة 85/4؛ الثانية ضعف الأولى. لكن مربعي نصفي القطر 7225/64 و 7225/16، فنسبتهما 4. ضعف الطول لا يعني ضعف مربعه.

الدائرة الجديدة لا نعرّفها بالتماس مع ضلع من ABC؛ نعرّفها بالمرور بثلاثة مراكز. أنصاف أقطار الدوائر الخارجية 6 و 12 و 28 تختلف عنها جميعًا. عدم التمييز بين المرور بمركز والتماس مع خط قد يغير المسألة كاملة.

اختبر عكس ترتيب الانعكاس

إذا حسبنا W=2I−O بدل V، نحصل على W=(35/2,69/8). إنها صورة O حول I، لا صورة I حول O. تكون I منتصف OW، ولذلك ينعكس ترتيب الدورين المطلوبين.

من W إلى Ja الفرق (13/2,−21/8)، فمربع البعد 3145/64. ومن W إلى Jb الفرق (−41/2,27/8)، فيكون 27625/64. ومن W إلى Jc الفرق (−21/2,−293/8)، فيكون 92905/64. القيم غير متساوية، فلا يمكن أن تكون W مركز دائرة تمر بالمراكز الثلاثة.

مع ذلك تقع W على خط IO نفسه، لأن أي تركيب من الشكل 2I−O يبقى على هذا الخط. إذن الاصطفاف وحده لا يميز المركز الصحيح. اختبار تساوي الأبعاد أو اختبار أن O منتصف IV يمنع قبول هذا الانعكاس الخاطئ.

الصورة الداخلية تكبر مواضع I و O و V و W بمقياس واحد. القطعتان IO و OV متساويتان، بينما W تقع في جهة أخرى. بطاقات الرسم تجمع مربعات الأبعاد الخاطئة؛ لا تعرضها كأنها أطوال.

لماذا تتغير أدوار النقاط في المثلث الجديد؟

في مثلث المراكز الخارجية، تكون I ملتقى الارتفاعات و ABC مثلث أقدامها. محيطة ABC هي دائرة النقاط التسع للمثلث الجديد، ومركزها O منتصف IV؛ ونصف قطرها نصف نصف قطر محيطته. هكذا تتفسر علاقة بيفان. [1]

نراجع هذا التفسير في مثالنا مباشرة. المستقيم JbJc هو 4x+y=0 ويمر بـ A. المستقيم JcJa هو 2x−y=42 ويمر بـ B. المستقيم JaJb هو 2x+9y=102 ويمر بـ C. هذه النقاط على أضلاع المثلث الجديد.

الاتجاه JaA=(−24,−6) عمودي على JbJc ذي الاتجاه (10,−40). والاتجاه JbB=(24,−12) عمودي على JcJa ذي الاتجاه (17,34). والاتجاه JcC=(8,36) عمودي على JaJb ذي الاتجاه (−27,6). حواصل الضرب الثلاثة صفر.

كذلك I على خطوط الارتفاعات الثلاثة: من Ja إلى I الاتجاه (−10,−5/2)، ومن Jb إلى I الاتجاه (17,−17/2)، ومن Jc إلى I الاتجاه (7,63/2). ضرب كل منها في اتجاه الضلع المقابل يعطي صفرًا. صار مركز الداخلية الأصلي ملتقى ارتفاعات لمثلث آخر.

بتكبير نموذجنا بعامل 2، يصبح I=(28,7)، O=(21,−13/4)، V=(14,−27/2)، ونصف قطر الدائرة الجديدة 85/2. تتضاعف المراكز الخارجية أيضًا، ومربعات المسافات تصير أربعة أمثالها؛ يبقى O منتصف IV.

في متساوي الأضلاع ذي الضلع 12، يكون I=O=V=(6,2√3). مراكز الدوائر الخارجية (18,6√3)، (−6,6√3)، (6,−6√3) تبعد 8√3 عن V؛ محيطة المثلث الأصلي نصف قطرها 4√3. المراكز متطابقة، لكن الدائرتين مختلفتان في الحجم.

نحتاج إلى مثلث غير منعدم المساحة كي تكون الداخلية والمحيطة والمراكز الخارجية محددة. الحسابات العددية تراجع أمثلتنا؛ العلاقة العامة في المرجع هي الأساس للتعميم. لا تستنتج صحة كل مثلث من فحص مثال منفرج وحده.