أنواع الزوايا: القياس والعلاقات والأمثلة التي تمنع الخلط

ما الذي نقيسه في الزاوية؟ الرأس والشعاعان والفتحة

في الرسم الهندسي، نحدد شعاعين يبدآن من نقطة واحدة. هذه النقطة هي الرأس، والشعاعان يمثلان ضلعي الزاوية. قد نرسم جزءًا قصيرًا من كل شعاع لأن مساحة الورقة محدودة، لكن الطرف المرسوم لا يحدد مقدار الفتحة. لذلك يمكن أن تبدو إحدى الزوايا بخطين طويلين وأخرى بخطين قصيرين، مع تساوي قياسيهما. نبحث عن اتجاه الشعاعين والعلامة التي تبين الزاوية المقصودة، لا عن مساحة المنطقة الملونة وحدها.

لنفرض أن الرأس هو ب، وعلى أحد الشعاعين النقطة أ، وعلى الآخر النقطة ج. عند كتابة اسم الزاوية بثلاثة أحرف، نضع ب في الوسط لتمييز الرأس. وإذا خرجت عدة أشعة من النقطة نفسها، فقد لا يكفي اسم ب وحده لتحديد الزاوية. اكتب اسمين على ضلعيها أو راقب القوس الملون. في مثال من أربعة أشعة، يمكن أن تكون الزاوية بين الأول والثاني مختلفة عن الزاوية بين الأول والرابع، رغم اشتراكهما في الرأس.

نتحدث هنا أساسًا عن زوايا في مستوى مستوٍ ونستعمل الدرجة وحدة للقياس. إذا رسمت زاوية حادة مقدارها 45° ثم أدرت الورقة، يبقى مقدارها 45°. وإذا مددت الخطين، فلا يصبح القياس أكبر بسبب طوليهما. التغيير الذي يغير قياس الزاوية هو تغيير الاتجاه النسبي للشعاعين أو تغيير القوس الذي تقصده بينهما. هذه الملاحظة تساعد على قراءة رسوم لا تكون فيها قاعدة الزاوية أفقية.

[1]

خريطة التصنيف: افحص الحدود قبل اختيار الاسم

ابدأ بثلاثة أعداد فاصلة: 90 و 180 و 360 درجة. الزاوية الحادة تقع بين الصفر و 90 دون أن تساوي أيًا منهما. عند 90 بالضبط تصبح قائمة. وبعد 90 وقبل 180 تكون منفرجة، وعند 180 بالضبط تصبح مستقيمة. بعد 180 وقبل 360 نستعمل اسم منعكسة، وعند 360 تكون كاملة. أما القياس صفر فيمثل الحالة الصفرية؛ لا تضفه إلى الزوايا الحادة لمجرد أنه أصغر من 90.

يمكن تحويل التصنيف إلى أسئلة مرتبة. هل القياس يساوي إحدى الحدود؟ إذا كان الجواب نعم، فاختر الاسم المحدد لتلك القيمة. وإذا كان لا، فحدد المجال الذي يقع فيه. فمثلًا 89.6° أصغر من 90 وأكبر من صفر، ولذلك هي حادة. و 90.4° أكبر من 90 وأقل من 180، ولذلك هي منفرجة. مقدار الفرق عن 90 صغير في المثالين، لكن اختلاف جهة الحد يغير الاسم.

لا نكتب أن 180° منفرجة أو منعكسة. الأولى تحتاج قياسًا أصغر من 180، والثانية تحتاج قياسًا أكبر منه. وكذلك لا نكتب أن 360° منعكسة، لأنها تقع على حد الدورة الكاملة. وقد تختلف بعض القوائم التعليمية في عدد الحالات التي تعدها، بحسب إدراج الزاوية الصفرية؛ المهم أن تكون الحدود والتعريفات واضحة، لا أن تحفظ عددًا من الأسماء دون شروطها.

[1]

[8]

الحادة والقائمة والمنفرجة: أمثلة قريبة من الحد

اخترنا القياسات 18° و 67° و 89.6° للتدريب. جميعها حادة، لكن هذا لا يعني تساويها؛ التصنيف يجمع قياسات مختلفة في المجال نفسه. إذا طلب السؤال ترتيبها، نكتب 18 ثم 67 ثم 89.6 من الأصغر إلى الأكبر. وإذا طلب اسم كل زاوية فقط، يكون الجواب حادة لكل واحدة مع ذكر أنها أكبر من الصفر وأصغر من 90. لا تخلط بين اسم النوع ومقارنة مقدار الزوايا.

القياس 90° قائم تمامًا. عادة يدل مربع صغير بين الضلعين في الرسم على القائمة. يمكن أن تكون هذه الزاوية مائلة على الورقة، فلا تحتاج إلى ضلع أفقي وآخر عمودي بالنسبة إلى حافة الشاشة. وإذا كانت مسألة دقيقة تذكر 89.6°، فلا تحولها إلى 90 ثم تسميها قائمة. التقريب قد يكون مناسبًا لغرض عددي معين، لكن التصنيف يعتمد على القياس الذي أعطي لك، ما لم يحدد السؤال قاعدة مختلفة صراحة.

اخترنا بعد ذلك 90.4° و 125° و 176°؛ كلها منفرجة. الفرق بين القياسين 89.6 و 90.4 هو 0.8 درجة فقط، ومع ذلك يقعان في مجالين مختلفين. وفي رسم غير مرسوم بمقياس قد يصعب التمييز بينهما بالعين. لذلك يقدم الرقم أو علامة القائمة معلومة أقوى من انطباعك عن الصورة. احتفظ بهذه الفكرة عندما ترى خطوطًا متقاربة أو زاوية تبدو قريبة جدًا من ربع دورة.

[1]

المستقيمة والمنعكسة والكاملة: لا تتجاهل القوس الكبير

في الزاوية المستقيمة، يكون القياس 180° ويشير الضلعان في اتجاهين متعاكسين على استقامة واحدة. يمكن أن تكون نقطة الرأس في وسط الجزء المرسوم أو قريبة من أحد طرفيه؛ هذا لا يغير القياس. ومجموع زاويتين متجاورتين قد يساوي 180، لكن كل زاوية منهما ليست بالضرورة مستقيمة. مثلًا زاويتان 67 و 113 تصنعان معًا فتحًا مستقيمًا، بينما الأولى حادة والثانية منفرجة.

القياس 235° منعكس لأنه أكبر من 180 وأقل من 360. إذا رسمنا الشعاعين اللذين يحدانه، يمكن أن نجد بينهما على الجانب الآخر فتحة مقدارها 125°؛ فمجموع 125 و 235 هو 360. عند غياب القوس، لا يكفي شكل الشعاعين وحده لمعرفة أي الفتحتين يريد السؤال. ابحث عن التظليل أو السهم أو نص المسألة. لا تختَر دائمًا الفتحة الأصغر إذا كان المطلوب زاوية منعكسة.

الزاوية الكاملة مقدارها 360° وتمثل دورة كاملة. يبدأ الشعاع المتحرك من اتجاه وينتهي في الاتجاه نفسه بعد الدوران. وقد يبدو رسم البداية والنهاية كشعاع واحد، مثل الحالة الصفرية، لكن مقدار الحركة مختلف. القوس الدائري أو وصف الدورة يميز المقصود. فإذا ذكر السؤال أن مؤشرًا دار دورة كاملة، فالجواب 360°، وليس صفرًا لمجرد أنه عاد إلى المكان الذي بدأ منه.

[1] [2]

متتامتان ومتساويتان: علاقتان مختلفتان

الزاويتان المتتامتان مجموع قياسيهما 90°. في مثالنا 23° و 67°، نجمع 23 و 67 فنحصل على 90. يمكن أن نرسمهما في موضعين منفصلين، ولكل واحدة رأس مختلف، وتبقيان متتامتين. كلمة متتامتين تصف مجموع القياسين، ولا تفرض وحدها أنهما متجاورتان أو تشتركان في ضلع. الرسم الداخلي يعرض هذا المثال بفصل الزاويتين عمدًا، حتى تكون هذه النقطة ظاهرة.

إذا كانت إحدى الزاويتين المتتامتين 34°، فإن الأخرى 56° لأننا نطرح 34 من 90. راجع الجمع:34 + 56 = 90. الزاويتان هنا مختلفتان في القياس، رغم ارتباطهما بعلاقة التتامي. أما إذا كانتا متتامتين ومتساويتين، فيكون قياس كل واحدة 45°؛ نجمع 45 و 45 لنحصل على 90. شرط التساوي هو الذي جعلنا نقسم المجموع على اثنين، وليس مجرد وجود كلمة متتامتين.

في الأمثلة التي تكون فيها الزاويتان موجبتين وغير منعدمتين، تكون كل زاوية متتامة حادة. فإذا زاد أحد القياسين على 90، فلن نستطيع إضافة قياس موجب للحصول على 90. وإذا أعطتك مسألة زاوية مقدارها 112° وطلبت زاوية موجبة متتامة معها، فالمعطيات لا تسمح بذلك. الناتج 90 − 112 سالب، فلا نقدمه كزاوية هندسية موجبة في هذا السياق. وقد تتناول كتب أخرى حالات صفرية؛ صرّح بالسياق بدل الخلط بين المجالات.

[3]

متكاملتان: المجموع 180 درجة دون شرط التجاور

الزاويتان المتكاملتان مجموع قياسيهما 180°. اخترنا المثال 67° و 113°، فالمجموع 180. ويمكن أن تكونا في رأسين مختلفين، أو متجاورتين على خط مستقيم عندما تتوافر شروط الموضع. لا تفرض علاقة المجموع وحدها موضعًا معينًا. هذه النقطة تشبه التتامي، لكن العدد المطلوب هنا نصف دورة بدل ربع دورة. اكتب 90 أو 180 في سطر العلاقة قبل طرح القياس المعلوم.

إذا كانت زاوية 148° وتريد زاوية متكاملة معها، فالقياس الآخر 32° لأن 180 − 148 = 32. المثال يجمع منفرجة وحادة. لكن الزوج 90° و 90° متكامل أيضًا، مع أن كلا القياسين قائم. لذلك لا نحفظ قاعدة تقول إن المتكاملتين يجب أن تكونا دائمًا حادة ومنفرجة. ننظر إلى مجموع القياسين أولًا، ثم نصنف كل زاوية بصورة مستقلة من قيمة قياسها.

لا يمكن لزاويتين منفرجتين، وفق تعريف المنفرجة المعتاد، أن تكونا متكاملتين؛ كل واحدة أكبر من 90، فيكون مجموعهما أكبر من 180. وللتوضيح العددي، فإن 100 + 105 = 205، وليس 180. أما القول إن كل زاويتين متساويتين متكاملتان فغير صحيح أيضًا: زاويتان 38 و 38 متساويتان، لكن مجموعهما 76. إن كانت الزاويتان متكاملتين ومتساويتين معًا، فعندئذ فقط يكون كل قياس 90.

[4]

المتجاورتان والزوج الخطي: افحص الموضع وليس الأرقام وحدها

تكون زاويتان متجاورتين عندما تشتركان في رأس وضلع، ولا يتداخل داخلاهما. تخيل ثلاثة أشعة تخرج من نقطة واحدة في ترتيب واضح. الزاوية بين الشعاع الأول والثاني، والزاوية بين الثاني والثالث، يمكن أن تكونا متجاورتين. لكن الزاوية التي تشمل الفتحة كلها من الأول إلى الثالث تتداخل مع كل واحدة من الزاويتين الصغيرتين، فلا نقول إنها متجاورة مع إحداهما بمجرد مشاركة الرأس.

نفترض في مثال أن فتحتي الزاويتين المتجاورتين 20° و 35°. مجموعهما 55، ولذلك فهما ليستا متتامتين ولا متكاملتين. لا تضف شرط 90 أو 180 إلى تعريف التجاور من تلقاء نفسك. وقد تكون زاويتان متجاورتان ومتكاملتان في الوقت نفسه، إذا أصبح ضلعاهما غير المشتركين شعاعين متعاكسين. نسمي هذا الوضع زوجًا خطيًا، وهو الذي يظهر على يمين الرسم الداخلي.

في الرسم، يمثل 67° الجزء الحاد بين الشعاع الأفقي المتجه إلى اليمين والشعاع الصاعد. والجزء الآخر 113° يمتد إلى الشعاع الأفقي المتجه إلى اليسار. الضلعان الأفقيان متعاكسان، ومجموع 67 و 113 هو 180. نستطيع إذن وصفهما بأنهما متجاورتان ومتكاملتان معًا. للوصول إلى الوصفين، استخدمنا معلومة موضعية من الرسم ومعلومة عددية من القياس؛ أحدهما لا يغني عن الآخر.

[5]

عرض الرسم بالحجم الكامل

[7]

المتقابلتان بالرأس: لماذا يتساوى القياسان؟

عند تقاطع مستقيمين، تتشكل أربع زوايا حول نقطة التقاطع. الزاويتان اللتان تقعان إحداهما في الجهة المقابلة للأخرى، ويكون ضلعا كل منهما امتدادًا لضلعي الأخرى، متقابلتان بالرأس. إذا كان قياس إحدى الزوايا 72°، فقياس الزاوية المقابلة لها 72° أيضًا. والزاويتان المجاورتان لها قياس كل واحدة 108°، لأن 72 + 108 = 180.

يمكن فهم التساوي من الحساب دون الاكتفاء بشكل الرسم. نرمز لزاويتين متقابلتين بس وص، ولزاوية تقع بينهما بع. الزاويتان س وع تشكلان زوجًا خطيًا، ولذلك مجموعهما 180. والزاويتان ص وع تشكلان أيضًا زوجًا خطيًا، ومجموعهما 180. بما أننا نطرح القياس نفسه، وهو ع، من 180 في الحالتين، يكون س مساويًا لص. يعتمد هذا الشرح على استقامة الخطين، لا على تساوي أطوال الأجزاء المرسومة.

إذا رأيت زاويتين قياس كل منهما 72° في مكانين مختلفين، فيمكنك وصفهما بالمتساويتين في القياس، لكن هذا لا يثبت أنهما متقابلتان بالرأس. التقابل يحتاج شكل تقاطع مستقيمين وعلاقة الامتداد بين الأضلاع. كذلك فإن مجرد مشاركة رأس لا يكفي، فقد تشترك عدة زوايا في الرأس ولا تكون متقابلة. سمّ الزاويتين أو تتبع ضلعيهما في الرسم قبل كتابة العلاقة.

[6]

كيف تستعمل المنقلة دون اختيار التدريج المعاكس؟

ابدأ بوضع مركز المنقلة عند رأس الزاوية، ثم طابق خط الصفر مع أحد ضلعيها. اختر التدريج الذي يبدأ من الصفر عند هذا الضلع، وتابع القراءة حتى الضلع الآخر. كثير من المناقل نصف الدائرية تحمل تدريجين متعاكسين؛ عند العلامة نفسها قد ترى 57 و 123. ليس الرقم الأكبر أو الأصغر هو الصحيح تلقائيًا؛ الصحيح هو الرقم الذي يبدأ تدريجه من ضلع البداية الذي اخترته.

نفترض أنك وضعت ضلع البداية على الصفر في الجهة اليمنى، ثم وصل الضلع الثاني إلى العلامة 57 في التدريج الذي يبدأ من اليمين. القياس هو 57°، فتكون الزاوية حادة. الرقم 123 المكتوب عند العلامة نفسها ينتمي إلى التدريج الآخر. ويمكن فحص الاختيار بأن الفتحة المرصودة أقل من ربع دورة، لكن هذا الفحص البصري يأتي بعد المحاذاة، ولا يعوض وضع المركز في مكان خاطئ.

إذا كانت الزاوية المطلوبة منعكسة وكانت المنقلة نصف دائرية، يمكنك قياس الفتحة الأصغر المناسبة بين الشعاعين، ثم طرحها من 360 عند وضوح أن القوس الآخر هو المطلوب. في مثال 125° و 235°، تقيس 125 ثم تحسب 360 − 125 = 235. لا تحول كل قياس إلى منعكس بهذه الطريقة؛ افعل ذلك فقط عندما يحدد السؤال القوس الكبير. وقد تحتاج إلى مد جزء من الشعاع على الورقة للوصول إلى التدريج، دون تغيير اتجاهه.

[1]

[9]

اتجاه الدوران: لماذا لا يكفي تشابه موضع النهاية؟

عند وصف زاوية موجّهة، نحدد شعاع البداية واتجاه الدوران. في الاصطلاح الشائع في المستوى الإحداثي، يكون عكس عقارب الساعة موجبًا، ومع عقارب الساعة سالبًا. الإشارة تخبرنا بالاتجاه؛ فلا تعني أن فتحة مرسومة أصبحت طولًا سالبًا. إذا كانت المسألة عن زاوية هندسية غير موجّهة مقدارها 45°، فلا نضيف إليها إشارة سالبة لأن شكلها يقع إلى يسار الورقة.

اخترنا دورانًا موجبًا مقداره 372° من شعاع بداية معين. يمكن تفكيكه إلى دورة كاملة 360° ثم 12° إضافية. لذلك ينتهي عند الاتجاه الذي يصل إليه دوران موجب 12° من البداية نفسها. مع ذلك، لم يكن مقدار الدوران في المثالين متساويًا؛ الأول يتضمن دورة إضافية. عندما يسأل القارئ عن مقدار الدوران، نذكر 372، وعندما يسأل عن موضع النهاية، يمكن شرح الاتفاق مع 12.

وبالمثل، دوران سالب 48° يكون مع عقارب الساعة وفق الاصطلاح المعلن، ويمكن الوصول إلى اتجاه النهاية نفسه بدوران موجب 312° لأن 312 + 48 = 360. لا نصنف القياس السالب تلقائيًا بأنه حاد لأنه أصغر من 90 في المقارنة العددية؛ مجال تصنيف الحادة الذي استعملناه يبدأ بعد الصفر. افصل قياس الدوران الموجّه عن تصنيف الفتحة الهندسية الموجبة، واذكر الاصطلاح إذا تغيرت طريقة وصف الاتجاه.

[2]

زاوية حادة داخل مثلث لا تجعل المثلث حاد الزوايا

قد تقرأ قياسًا حادًا داخل مثلث، ثم تستنتج أن المثلث كله حاد. هذا الاستنتاج غير كافٍ؛ اسم المثلث بحسب الزوايا يعتمد على زواياه الثلاث. في مثال تعليمي زواياه 25° و 40° و 115°، توجد زاويتان حادتان، لكن الزاوية الثالثة منفرجة؛ ولذلك المثلث منفرج الزاوية. نجمع 25 و 40 و 115 لنحصل على 180، فنراجع أن القياسات تصلح لزوايا مثلث مستوٍ.

في مثلث آخر زواياه 32° و 58° و 90°، تكون زاويتان حادتين والثالثة قائمة، فيسمى المثلث قائم الزاوية. والزاويتان 32 و 58 متتامتان لأن مجموعهما 90. يوضح هذا المثال اجتماع أوصاف مختلفة دون تناقض: نسمي كل زاوية من قياسها، ونسمي زوجًا من الزوايا من مجموعهما، ونسمي المثلث الكامل بعد فحص الزوايا كلها. لا تجعل إحدى هذه التسميات تحل محل الأخرى.

للتوسع في تصنيف الشكل الكامل، اقرأ شرح أنواع المثلثات بحسب الأضلاع والزوايا. أما عند التعامل مع زاوية واحدة، فابقَ مع حدود قياسها والقوس الذي يشير إليها. لا تقبل وصف زاوية داخلية في مثلث مستوٍ غير منعدم بأنها 235°؛ هذه قيمة منعكسة خارج المجال المعتاد لزاويته الداخلية، وإن أمكن أن تظهر كقوس خارجي في رسم آخر.

تمارين أصلية: صنّف القياس ثم سمّ العلاقة

التمرين الأول: صنف القياسات 0° و 18° و 90° و 125° و 180° و 235° و 360°. الصفر حالة صفرية، و 18 حادة، و 90 قائمة، و 125 منفرجة، و 180 مستقيمة، و 235 منعكسة، و 360 كاملة. راجع أسماء الحدود الثلاثة التي تساوي قيمًا محددة. لا تكتب أن 235 منفرجة لمجرد أنها كبيرة؛ المنفرجة تتوقف قبل 180. ولا تجعل 0 حادة لأن شرط الحادة يبدأ بعد الصفر.

التمرين الثاني: زاويتان مجموعهما 90، وإحداهما تزيد على الأخرى بمقدار 14 درجة. إذا سمينا القياس الأصغر س، يصبح القياس الأكبر س زائد 14. جمع القياسين يساوي ضعف س مضافًا إليه 14. نطرح 14 من 90 فتتبقى 76، ثم نقسم 76 على 2 فنجد أن القياس الأصغر 38°. القياس الأكبر 52°. نراجع 38 + 52 = 90، و52 − 38 = 14. الزاويتان متتامتان، وكلتاهما حادة، لكن لا نستنتج التجاور لأن السؤال لم يصف الرأس أو الضلع المشترك.

التمرين الثالث: زاويتان تشكلان زوجًا خطيًا، وقياس إحداهما ثلاثة أمثال الأخرى. يتكون مجموعهما من أربعة أمثال القياس الأصغر، ولذلك نقسم 180 على 4 فنجد 45°. القياس الأكبر 135°. هما متجاورتان ومتكاملتان، والأولى حادة والثانية منفرجة. وفي تمرين رابع، إذا أعطيت زاوية 72° عند تقاطع مستقيمين، تكون المقابلة 72 والمجاورتان 108 و 108. مجموع القياسات الأربع 360، فيراجع الحساب الدورة المحيطة بنقطة التقاطع.

قائمة مراجعة تمنع الخلط بين النوع والعلاقة

قبل اعتماد الإجابة، اكتب هل السؤال عن زاوية واحدة أو زاويتين أو شكل كامل أو مقدار دوران. للزاوية الواحدة، طابق القياس مع الحدود الدقيقة. ولزوج الزوايا، افحص المجموع إن كان المطلوب تتاميًا أو تكاملًا، وافحص الرأس والضلع والداخلين إن كان المطلوب تجاورًا. وعند التقابل بالرأس، تحقق من تقاطع مستقيمين ومن امتداد الأضلاع. بهذه الخطوات تستخدم المعلومات اللازمة لكل اسم بدل نقل صفة من سؤال إلى آخر.

بعد ذلك راجع الرسم والأرقام معًا. القوس يحدد الفتحة المقصودة، لكن الرسم قد لا يكون بمقياس. الرقم الدقيق لا يتحول إلى حد آخر بمجرد التقريب البصري؛89.6 لا تصبح قائمة، و 180 لا تدخل مجال المنفرجة أو المنعكسة. وإذا كان القياس خارج المجال من 0 إلى 360، فاسأل هل تتعامل مع دوران موجّه أو أكثر من دورة. قد تكون البيانات صحيحة في ذلك السياق، لكنها لا تلائم جدول الفتحات البسيط مباشرة.

الرسوم والأمثلة العددية في هذا الدليل تعليمية ومن إنشائنا، وليست قياسات لقطع أو أجهزة فعلية. يمكنك مراجعة كل جمع أو طرح بالأرقام الظاهرة. الهدف أن يكون سبب الاسم واضحًا: حد قياس، أو مجموع قياسين، أو موضع أشعة في الرسم. عندما تكتب هذا السبب في جملة قصيرة بجانب الإجابة، تستطيع اكتشاف الخطأ وتفسير الحل لقارئ آخر دون الاعتماد على حفظ أسماء متشابهة.