مرشحان لونيان: لماذا يختلف التتابع عن تراكب الحزمتين؟

حدّد المسار قبل أن تختار العملية الحسابية

في الوصف الطيفي، تجمع الحزم المتراكبة قدراتها عند كل طول موجي، بينما تضرب قدرة الضوء الساقط في نفاذية المرشح للحصول على القدرة النافذة. لذلك تختلف إضافة حزم مستقلة عن تمرير الحزمة نفسها عبر مرشحات متتابعة. يعرض شرح ستانفورد هذا الفرق بالجمع والضرب، وينبّه إلى أن تشابه أسماء ألوان المرشحات لا يكفي لتحديد نتائج تركيبها. ^[2]

سننشئ دفتر حساب صغيرًا بثلاث خانات ثابتة. الخانة الأولى للمكوّن الأحمر، والثانية للأخضر، والثالثة للأزرق، ونكتب القيم بهذا الترتيب في كل خطوة. الأعداد التي سنستخدمها قدرة نسبية افتراضية، وليست قيم شاشة أو نسب خلط صبغة. اختيار ثلاث خانات يسمح بتتبع الحساب على الورق، لكنه لا يقدم وصفًا تفصيليًا لطيف مادة حقيقية. لا يحتاج هذا الدفتر إلى أسماء ألوان إضافية، لأن المطلوب أولًا معرفة ما حدث في كل خانة، ثم مقارنة نتيجتين لهما ترتيب الخانات نفسه.

نسمّي الورقة الأولى «مسارًا واحدًا»؛ فيها يدخل الضوء إلى المرشح الأول ثم يدخل الناتج إلى الثاني. ونسمّي الورقة الثانية «مسارين»؛ فيها نضع المرشح الأول أمام حزمة، والثاني أمام حزمة أخرى، ثم نجمع الحزمتين الخارجتين وفق فرض المثال. الرسم يحدد عدد المداخل واتجاه الانتقال. قبل إجراء أي عملية، يضع القارئ إصبعه على نقطة البداية ويتتبعها حتى النهاية، فلا يستبدل اتصالًا بآخر لمجرد أن المرشحين يحملان الاسمين نفسيهما في الورقتين.

جهّز المكوّنات وبطاقتي النفاذية

في النموذج التعليمي المثالي الذي يوضحه معرض جامعة ويسكونسن، يمرر المرشح الأرجواني الأحمر والأزرق ويحجب الأخضر، ويمرر السماوي الأخضر والأزرق ويحجب الأحمر. تراكبهما في مسار الضوء يترك المكوّن الأزرق. هذه خصائص النموذج المثالي؛ لا نستخدم أسماء الصبغات وحدها لتوقع نفاذية مرشحين فعليين. ^[1]

نعطي المدخل الافتراضي القيمة L=(1,1,1). ونسجل بطاقة الأرجواني M=(1,0,1)، وبطاقة السماوي C=(0,1,1). العدد واحد في البطاقة يعني إبقاء قيمة الخانة في هذا المثال، والصفر يعني جعل الناتج فيها صفرًا. لا نمثل البطاقة كحزمة مستقلة تصل إلى العين؛ إنها تعليمات حسابية تطبق على مدخل. بهذا الفصل لا نخلط العدد الذي يصف الحزمة بالعدد الذي يصف أثر المرشح عليها، حتى لو اتفقت بعض الخانات مصادفة.

لنكتب قاعدة الدفتر من دون اختصار غامض: نضرب الخانة الأولى في الأولى، والثانية في الثانية، والثالثة في الثالثة. نرمز لهذا الضرب بالخانات بالعلامة ⊙؛ فلا يعني جداءً قياسيًا ينتج رقمًا واحدًا، ولا عملية تجمع كل الخانات في خانة مشتركة. عندما نكتب L⊙M نحصل على ثلاث نتائج مرتبة. ويمكن للقارئ تنفيذ العملية في ثلاثة أسطر إذا كان عرض المتجهات يربكه. المهم إبقاء أسماء الخانات أعلى الأعمدة، وتسجيل المدخل والبطاقة والناتج في صفوف مختلفة.

حزمة واحدة: تتبّع ما يخرج من كل مرشح

بعد البطاقة الأولى نحصل على (1,0,1)، لأن واحدًا في واحد يبقى واحدًا، وواحدًا في صفر يعطي صفرًا. هذه هي الحزمة التي نقدمها إلى البطاقة الثانية، وليست الحزمة الأصلية التي كانت كل خاناتها واحدًا. في الخطوة الثانية نضرب الأحمر واحدًا في صفر فيختفي من الحساب، ونضرب الأخضر صفرًا في واحد فيبقى صفرًا، ونضرب الأزرق واحدًا في واحد فيبقى واحدًا. النتيجة النهائية إذن S=(0,0,1)، بعد مرور الحزمة نفسها في الخطوتين.

تظهر هنا فائدة تسجيل النتيجة الوسيطة. قد يظن قارئ أن السماوي سيعيد الأخضر لأن خانته الخضراء تساوي واحدًا، لكنه يضرب ذلك الواحد في صفر قادم من المرحلة السابقة. في دفترنا لا تضيف البطاقة قيمة من عندها؛ إنها تضرب قيمة موجودة. لذلك لا تعني عبارة «يسمح بالأخضر» أن المخرج يحتوي أخضر في كل حالة. يجب أن يأتي مقدار غير صفري من المدخل إلى تلك الخانة أولًا. نتيجة الضرب توضح هذا الشرط من دون حاجة إلى تخمين لون المخطط.

نجمع الخانات عند الحاجة إلى فحص الدفتر: مجموع المدخل ثلاثة، ومجموع المرحلة الأولى اثنان، ومجموع النهاية واحد. هذا المجموع اختبار عددي لهذا المثال، ولا نطلق عليه سطوعًا بصريًا مقاسًا. الفرق بين المجموعين الأول والأخير يساوي اثنين، موزعًا على الأحمر والأخضر في الحساب. إذا كتب أحدهم نهاية مجموعها ثلاثة مع البطاقتين المختارتين، نراجع خطواته، لأن الأزرق وحده بقي بقيمة واحد. وإذا كتب نهاية مقدارها صفر، نطالبه بتحديد البطاقة التي أزالت الأزرق؛ فلا توجد هذه البطاقة في هذا المسار.

حزمتان مستقلتان: احسب الفرعين ثم اجمع

ننشئ الآن مدخلين مستقلين، قيمة كل منهما (1,1,1). يخرج من الفرع الأرجواني (1,0,1)، ومن الفرع السماوي (0,1,1). نكتب الناتجين في صفين متقابلين، ونجمع الأحمر مع الأحمر، والأخضر مع الأخضر، والأزرق مع الأزرق. مجموعهما P=(1,1,2). الأزرق هنا جاء من الفرعين، بينما جاء الأحمر من الأول فقط، والأخضر من الثاني فقط. هذه النتيجة لم تمر كلها عبر البطاقتين؛ جمعنا ناتجين لكل منهما بطاقة واحدة.

لا نجعل الأزرق اثنين لأنه يحمل اسمًا أكثر قوة، ولا نجعل الأحمر والأخضر صفرًا لأن بطاقة أخرى قادرة على حجبهما. نتبع الرسم: الأحمر الخارج من الفرع الأول لا يدخل البطاقة الموجودة في الفرع الثاني. حذف الأحمر في هذه المرحلة يضيف اتصالًا لم نرسمه، ويحول السؤال إلى سؤال آخر. وبالمثل، إذا كتب القارئ (0,0,2)، فقد جمع الأزرق ثم طبّق في ذهنه شرط المرور المشترك على الخانتين الأخريين. دفتر المسارين يتطلب جمع الناتجين كما هما، بلا مرحلة ثالثة مخفية.

مجموع المدخلين في هذه الورقة ستة، ومجموع الخارج أربعة. أما ورقة المسار الواحد فبدأت بمجموع ثلاثة وانتهت بمجموع واحد. لهذا لا تكفي مقارنة الواحد والأربعة للقول إن الفرق كله نتيجة طريقة الوصل؛ فقد غيّرنا عدد المداخل ومجموعها أيضًا. المقارنة الحالية مفيدة لتفسير الجمع مقابل الضرب، لكنها ليست مقارنة عادلة للقدرة الداخلة. سنعدل حجم كل مدخل في الخطوة التالية، ونحتفظ بالبطاقتين نفسيهما، حتى نرى أي فرق يبقى بعد تسوية نقطة البداية.

سوّ القدرة الداخلة قبل المقارنة

إذا أردنا أن يكون مجموع المدخلات ثلاثة في الورقتين، نجعل قيمة كل مدخل في المسارين H=(0.5,0.5,0.5). مجموع خانات المدخل الواحد واحد ونصف، ومجموع المدخلين ثلاثة. الفرع الأول يعطي (0.5,0,0.5)، والثاني يعطي (0,0.5,0.5)، والجمع يعطي Q=(0.5,0.5,1). صار مجموع المخرج اثنين بدل أربعة، لأننا خفضنا كل المدخلات إلى النصف. لم تتغير البطاقتان، ولم نعد حساب المسار الواحد بطريقة أخرى.

الآن نقارن S=(0,0,1) مع Q=(0.5,0.5,1). الخانة الزرقاء متساوية في الناتجين، لكن المسارين يحتفظان بنصف في الأحمر ونصف في الأخضر. الفرق Q−S=(0.5,0.5,0) يصف المقارنة بالخانات. إذا نظر القارئ إلى مجموع الخانات فقط، فسيرى واحدًا مقابل اثنين ويعرف أن النتيجتين مختلفتان، لكنه لن يعرف موضع الاختلاف. المتجه يكشف أن زيادة المجموع ليست زيادة في الأزرق في هذه الحالة، وإنما بقاء قيمتين إضافيتين في الخانتين الأخريين.

يمكن عرض المقارنة كسؤالين منفصلين. السؤال الأول: هل المداخل متساوية في المجموع؟ نعم، بعد اختيار النصف لكل فرع. السؤال الثاني: هل المخرجات متساوية في الخانات؟ لا، بحسب الحساب السابق. نحتفظ بالإجابتين معًا، لأن تسوية المدخل لا تفرض تسوية المخرج. كما لا نحول النتيجة إلى قاعدة تقول إن كل ترتيب ذي مسارين يعطي دائمًا ضعف ترتيب ذي مسار واحد. النسبة هنا ناتجة من البطاقتين المختارتين والمدخل المحدد، وسنرى بطاقات أخرى تعطي فرقًا عدديًا مختلفًا.

غيّر المدخل مع الاحتفاظ بالبطاقتين

لنستبدل المدخل المتساوي بالمدخل T=(2,1,0). هذا اختيار افتراضي جديد: مجموع الخانات ثلاثة، لكنه لا يحتوي قيمة في الأزرق. في المسار الواحد، تعطي البطاقة الأرجوانية (2,0,0)، ثم تجعل البطاقة السماوية الخانات كلها صفرًا. النتيجة النهائية (0,0,0). لا يوجد تعارض مع الحالة السابقة التي أعطت أزرقًا بقيمة واحد، لأننا غيّرنا المدخل نفسه. بطاقة السماوي لا تصنع المكوّن الأزرق المفقود، وبطاقة الأرجواني كانت قد جعلت الأخضر صفرًا.

للمقارنة المتساوية في المجموع، نضع نصف المدخل الجديد في كل فرع: (1,0.5,0). يخرج من فرع الأرجواني (1,0,0)، ومن فرع السماوي (0,0.5,0). مجموعهما (1,0.5,0). هذه المرة لا يوجد أزرق في أي فرع، ولا يظهر بعد الجمع. ومن يريد تفسير النتيجة بكلمة «أزرق» اعتمادًا على اسمي المرشحين وحدهما سيفوته أن البطاقة المشتركة احتفظت بخانة كان المدخل فيها صفرًا. اسم البطاقة لا يغني عن قراءة المدخل وقيمه.

نكتب في الهامش أن مجموع المدخل بقي ثلاثة في المقارنة الجديدة، كما كان في المقارنة الأولى، لكن توزيع الخانات تغير. هذا يبين لماذا لا يكفي تسجيل مقدار واحد للمدخل إذا كان السؤال عن مكونات الخارج. ويمكن اختبار اختيار ثالث، مثل (0,0,3): المسار الواحد يعطي (0,0,3)، والمساران بنصف المدخل في كل منهما يعطيان مجموعًا مساويًا له. لدينا إذن ثلاث حالات مختلفة للبطاقتين نفسيهما: اختلاف مع مدخل متساوٍ، واختلاف مع غياب الأزرق، وتساوٍ مع وجود الأزرق وحده.

مثال جديد ببطاقتين ذواتي نفاذ جزئي

نستبدل بطاقتي الصفر والواحد ببطاقتين حسابيتين A=(0.8,0.2,0.5) و B=(0.25,0.75,0.4). هذه أرقام أنشأناها للتدريب، ولا ننسبها إلى لوحين زجاجيين أو شركة أو اختبار. نعود إلى المدخل L=(1,1,1). بعد البطاقة الأولى تكون الخانات (0.8,0.2,0.5). وبعد الثانية يصبح الأحمر 0.8×0.25=0.2، والأخضر 0.2×0.75=0.15، والأزرق 0.5×0.4=0.2. الناتج المتتابع هو (0.2,0.15,0.2)، ومجموعه 0.55.

في المسارين ذوي المدخلين النصفيين، يعطي الفرع الأول (0.4,0.1,0.25)، ويعطي الثاني (0.125,0.375,0.2). الناتج المجموع (0.525,0.475,0.45)، ومجموع الخانات 1.45. يمكن فحص الجمع عموديًا: الأحمر أربعة أعشار مع ثمن يعطي 0.525، والأخضر عشر مع 0.375 يعطي 0.475، والأزرق ربع مع خمس يعطي 0.45. لا نحتاج إلى تقريب هذه النتائج، لأنها مكتوبة بعشريات منتهية. نضع علامة واضحة بجانب العملية التي أنتجت كل صف، حتى لا تختلط نتائج الفروع بالناتج النهائي.

الفرق بين المخرجين في هذا المثال (0.325,0.325,0.25)، ومجموعه 0.9. هذا ليس الفرق السابق (0.5,0.5,0)، ولذلك لا يجوز نقل نتيجة الأزرق المتساوي من البطاقتين المثاليتين إلى البطاقتين الجزئيتين. في الحالة الجزئية اختلفت الخانات الثلاث. ويمكن للقارئ فحص العبارة بتغيير خانة واحدة فقط في البطاقة الثانية، مع تثبيت البقية، ومتابعة العمود المقابل. هذه طريقة لفهم أثر اختيار الأرقام، بدل الاعتماد على مساحة بقعة ملونة في الرسم لتقدير المقدار.

التبديل والتكرار اختباران مختلفان

داخل دفتر الضرب بالخانات، تبديل ترتيب A و B لا يغير الناتج السابق. ففي الأحمر يساوي 0.8×0.25 حاصل 0.25×0.8، وفي الأخضر يساوي 0.2×0.75 حاصل 0.75×0.2، وفي الأزرق يتساوى الحاصلان أيضًا. هذه مساواة حسابية في نموذجنا ذي البطاقات الثابتة المستقلة. لا نقدمها كحكم على كل تركيب بصري، ولا نضيف إلى المثال عناصر تغير نوع الضوء أو اتجاه استقطابه بين المراحل. السؤال الحالي محصور في ضرب أعداد الخانات التي اخترناها.

أما تكرار بطاقة واحدة فعملية أخرى. عند تطبيق A مرتين على L نحصل على (0.64,0.04,0.25)، لأن كل خانة تضرب في معاملها نفسه مرتين. هذا يختلف عن تطبيق A مرة واحدة الذي يعطي (0.8,0.2,0.5)، ويختلف عن جمع فرعين قيمة مدخل كل منهما نصف L وبطاقة كل منهما A؛ فجمع هذين الفرعين يعيد (0.8,0.2,0.5). نسجل هذه الحالات في ثلاثة صفوف، لأن عبارتي «مرشحان متشابهان» و«مرشح واحد» لا تحددان وحدهما الرسم الذي يجري الحساب عليه.

بطاقات الصفر والواحد لها حالة خاصة في الدفتر: تطبيق M مرتين يعطي M نفسه عند المدخل L، لأن مربع الواحد واحد ومربع الصفر صفر. لا يعني هذا أن تكرار أي بطاقة لا يؤثر؛ الأعداد الجزئية في A أعطت نتائج أخرى عند تربيعها. عندما يرى القارئ نتيجتين متساويتين في حالة واحدة، يسأل عن القيم التي جعلتهما متساويتين. هذا السؤال يمنع تعميم خاصية بطاقة مثالية على بطاقات جزئية، ويمنع الخلط بين تبديل ترتيب بطاقتين وتكرار بطاقة بعينها.

حل مسألة عكسية من الناتج المطلوب

لنتخذ بطاقة A السابقة، ونطلب في الدفتر ناتجًا O=(0.4,0.1,0.25) بعد مرور واحد. نبحث عن المدخل خانة خانة: الأحمر 0.4÷0.8=0.5، والأخضر 0.1÷0.2=0.5، والأزرق 0.25÷0.5=0.5. المدخل المطلوب هو H=(0.5,0.5,0.5)، وهو المدخل النصفي الذي استخدمناه فعلًا. نتحقق بضربه في A فنستعيد O تمامًا. لا نسمي هذا معايرة جهاز، لأننا حللنا معادلات دفتر افتراضي لا بيانات مصباح مقاس.

لو طلبنا من البطاقة M ناتجًا فيه مقدار أخضر 0.1، فلن نجد مدخلًا يحققه في قواعد الدفتر؛ الخانة الخضراء تضرب في صفر مهما كانت قيمة المدخل. أما إذا كان الأخضر المطلوب صفرًا، فلا تعين النتيجة قيمة الأخضر في المدخل: الصفر الناتج يمكن أن يأتي من مدخل صفر أو واحد أو اثنين بعد الضرب في صفر. لذلك لا نقسم على الصفر، ولا نستنتج من الخانة الصفرية أنها كانت صفرًا قبل البطاقة. المعلومة المتاحة لا تكفي لهذا الاستنتاج العكسي.

هذه المسألة العكسية تعطي فحصًا مختلفًا عن مجرد حساب المخرج. فهي تسأل إن كان المطلوب ممكنًا ضمن الأرقام المعطاة، ثم تسأل إن كان المدخل يتحدد بطريقة واحدة. مع بطاقة A كانت المعاملات كلها غير صفرية، ولذلك عينت القيم الثلاث المدخل المطلوب في مثالنا. مع بطاقة M فقدنا تعيين خانة واحدة. من يكتب الإجابة يذكر ذلك صراحة، ولا يملأ الخانة المجهولة بقيمة تخمينية لمجرد أن سائر الخانات أصبحت معلومة. الفحص الأخير يعيد ضرب المدخل المحسوب للتحقق من كل خانة.

راجع الرسم والأعداد وحدود الإجابة

ابدأ مراجعة أي حل في هذه الأمثلة بعدّ المداخل. ثم اكتب ترتيب الخانات، وبطاقة كل مرحلة، والنتائج الوسيطة، والناتج النهائي. إذا كانت المقارنة بين مسار ومسارين، سجل أيضًا مجموع القيم الداخلة حتى لا تنسب إلى الترتيب فرقًا صنعه تغيير المدخل. وعند جمع ناتجين، تأكد أنهما يصفان خانات متقابلة، لا بطاقة وحزمة أو خانتين من ترتيبين مختلفين. هذه خطوات تحقق من دفترنا، وتسمح للقارئ الآخر بإعادة الأرقام بدل قبول النتيجة لأن اسم اللون بدا مألوفًا.

يمكن إعداد تمرين قصير من الحالة الجزئية: نطلب من القارئ حساب الفرعين أولًا، ثم نسأله عن خانة الأزرق في التتابع، ثم عن أثر تكرار A. الإجابات هي الفرعان المذكوران سابقًا، وأزرق التتابع 0.2، وأزرق تكرار A يساوي 0.25. اختلاف الإجابتين الأخيرتين مقصود لأن البطاقتين مختلفتان في الأزرق. إذا أعاد القارئ الرقم نفسه في الحالتين، نرجع إلى الرسم الذي استخدمه. وقد يكون الخطأ مجرد نقل 0.4 من B إلى موضع كان يجب أن يحتوي 0.5 من A.

ألوان الرسوم رموز للخانات والبطاقات، وليست محاكاة لونية محسوبة لشبكية العين. يعتمد الناتج الطيفي الحقيقي على الضوء الداخل ونفاذية المرشحات عند الأطوال الموجية، فلا تكفي أسماء الألوان أو ثلاث قيم اخترناها هنا لتوقع مظهر مادة فعلية. ^[2]

النتيجة التي يستطيع القارئ الاحتفاظ بها من الحساب هي مقارنة محددة قابلة لإعادة التنفيذ: عند L والبطاقتين M و C، يعطي التتابع (0,0,1)، ويعطي المساران بمدخلين نصفيين (0.5,0.5,1). وعند البطاقتين A و B تتغير الأرقام إلى النتائج الجزئية التي حسبناها. لا توجد وصفة واحدة يحددها قولنا «مزج لونين» فقط؛ في دفتر المثال نحتاج إلى الرسم والقيم. كتابة هذه التفاصيل تجعل الإجابة واضحة وتكشف أي تغيير في السؤال، من دون ادعاء أننا قسنا مرشحًا أو اختبرنا طلاءً.