قسمة المعادلة على عامل: أين ضاع الحل؟

اقرأ عامل القسمة مع شرطه

تحذر ورقة جامعة نيو مكسيكو من فقد حل عند قسمة المعادلة على كمية متغيرة قد تساوي صفرًا. ^[1]

نبدأ بالمعادلة المكتوبة في المقدمة. الطرفان يشتركان في (x−6)^2. لكن اشتراكهما في الكتابة لا يخبرنا أن هذا العامل غير صفري عند كل حل ممكن. إذا كان x ستة، يصبح العامل صفرًا، ولا توجد قسمة عليه في الحساب الحقيقي المعتاد.

لذلك نفتح سطرًا للقيمة التي تجعل العامل صفرًا، وسطرًا للقيم الأخرى. سنفحص السطر الأول بالتعويض في المعادلة الأصلية، ونستعمل القسمة في الثاني بعد بيان شرطه. لا نكتب الشرط في نهاية الورقة بعد أن نحذف السطر الذي قد يحمل حلًا.

الرسم الرئيسي يعرض معادلتنا ثم صورتها المحللة وفرعي الحل. الأسهم تحفظ الطريق الذي أنتج كل قيمة، وليست قياسًا للمسافة بين العددين أو رسمًا لمنحنى. ابدأ من اسم الفرع قبل قراءة آخر بطاقة فيه.

استعد الحلين في مثال القوس المكعب

ننقل الحد الأيمن إلى اليسار: (x−6)^3−9*(x−6)^2=0. بإخراج العامل المشترك نحصل على (x−6)^2*(x−15)=0. هذه كتابة للمقدار نفسه؛ لأن العامل المتبقي داخل القوس هو x−6−9، أي x−15.

نفحص الفرع الأول x=6. في الأصل نحصل على 0^3=9*0^2، والطرفان صفر. إذن ستة حل مسموح، ولا تصبح غير مسموحة لمجرد أننا لا نستطيع استعمال القسمة عندها. الممنوع هنا خطوة القسمة بالصفر، لا تعويض ستة في المعادلة الأصلية.

وفي الفرع الذي لا يساوي فيه x ستة، يكون (x−6)^2 غير صفري، فنقسم الطرفين عليه ونحصل على x−6=9. إذن x=15. نراجع شرط الفرع أولًا، ثم نعوض في الأصل: 9^3=729، و9*9^2=729.

كلا العددين يحقق الأصل، وقد غطى الفرعان كل القيم الحقيقية: إما ستة وإما غير ستة. لذلك نكتب مجموعة الحلول 6 و15. ظهور العامل الأول مربعًا لا يطلب كتابة ستة مرتين في قائمة الحلول المختلفة؛ لا نخلط هذه القائمة بعدد مرات العامل في التحليل.

الحل المفقود قد يكون غير صفري

نؤلف المعادلة الثانية (x−4)(x+9)=0. إذا قسمنا على x−4 دون شرط، سنكتب x+9=0 ونصل إلى x=−9. هذا العدد حل فعلًا: عنده العامل الثاني صفر، فيكون حاصل الضرب صفرًا. لكن الوصول إلى حل صحيح لا يثبت أننا وجدنا جميع الحلول.

القيمة x=4 تجعل العامل الذي قسمنا عليه صفرًا. نعوضها في الأصل: 0*(4+9)=0، فتنضم الأربعة إلى القائمة. أما في فرع عدم مساواة x للأربعة، فالقسمة صالحة، وتبقى سالب تسعة حل ذلك الفرع.

يبين الرسم الداخلي القيمتين اللتين تحققان المعادلة الثانية. لا يدل لفظ العامل الصفري على أن قيمة المتغير نفسها يجب أن تكون صفرًا؛ العامل x−4 ينعدم عند أربعة. سم العامل كاملًا، ثم حل شرط انعدامه، بدل البحث عن صفر في بطاقة الحل وحدها.

ولا نطلب انعدام العاملين معًا في هذا المثال. عند الأربعة يكون العامل الآخر ثلاثة عشر، وعند سالب تسعة يكون الأول سالب ثلاثة عشر. يكفي الانعدام الذي راجعناه لكل قيمة، بينما اجتماع الشرطين هنا غير ممكن.

قسمة لا تفقد فرعًا في مجالنا

نختار المعادلة (x^2+1)*(x−8)=0 في الأعداد الحقيقية. مربع x غير سالب، ولذلك x^2+1 لا يقل عن واحد. لا توجد قيمة حقيقية تجعل هذا العامل صفرًا، فيجوز تقسيم المعادلة عليه دون إقصاء قيمة من مجالنا.

بعد القسمة نجد x−8=0، أي x=8. بالتعويض في الأصل، العامل الأول 65 والثاني صفر، وحاصلهما صفر. هنا لم نترك فرعًا صفريًا غير مفحوص؛ أثبتنا أصلًا أن العامل الأول لا ينعدم في المجال الذي اخترناه.

إذن عبارة «أي قسمة على متغير تفقد حلًا» أوسع من أمثلتنا. القرار يتبع العامل ومجال المتغير. لا نعمم فحص x^2+1 على مجال آخر، ولا نكتب شرطًا غير صفري اعتمادًا على أن العامل يبدو موجبًا في الرسم؛ البرهان العددي المكتوب هو ما سمح بالقسمة هنا.

افحص فقد الحل الوحيد بالطرح

في المثال الخطي 6x=11x، قد يقسم سجل خاطئ الطرفين على x فيكتب 6=11، ثم يعلن عدم وجود حلول. هذا السجل افترض ضمنًا أن x غير صفري. العبارة الناتجة تنفي الحلول في ذلك الفرع، ولا تفحص قيمة الصفر التي استبعدها.

نحل المعادلة الأصلية بالطرح بدل القسمة المتغيرة: نطرح 6x من الطرفين فنحصل على 0=5x. نقسم على العدد الثابت خمسة، وهو غير صفري، فنجد x=0. بالتعويض: 6*0=11*0، والطرفان صفر.

لو استعملنا الفرعين، لفحصنا الصفر مباشرة، ثم وجدنا أن الفرع غير الصفري يؤدي إلى 6=11 بلا حل. النتيجة نفسها: الصفر وحده. لا نعالج السجل الخاطئ بإعلان أن ستة تساوي أحد عشر؛ نعيد القيمة التي منع شرط القسمة الوصول إليها.

حل تمرينًا واكتب شرط كل مسار

نؤلف للتمرين (x−2)(x+7)=0. اختر عاملًا تريد القسمة عليه، مثل x+7، ثم سجل القيمة التي تجعله صفرًا: x=−7. التعويض في الأصل يعطي (−7−2)*0=0، فهذه قيمة محفوظة قبل متابعة الفرع الآخر.

في الفرع الذي لا يساوي فيه x سالب سبعة، نقسم على x+7 ونجد x−2=0، فتكون x=2. وهي توافق شرط الفرع، والتعويض يعطي 0*9=0. الحلول المختلفة هي اثنان وسالب سبعة، مهما كان العامل الذي اخترناه لبدء المراجعة.

اختم كل حل بثلاث خانات: عامل القسمة، وفرع انعدامه المفحوص في الأصل، ونتائج الفرع الآخر مع شروطها. راجع التعويض لكل قيمة، ثم اسأل هل غطيت المجال المعلن كله. فحص جواب موجود يكشف صحته، لكن سجل الفروع هو الذي يساعدك على رؤية جواب تركته خارج الطريق.

للمراجعة، أخف خانة الحل النهائي واسأل عن الشرط المكتوب بجوار كل سهم. إذا لم تجد شرطًا للقسمة على عامل متغير، أعد الفحص قبل اعتماد المسار. احتفظ بالمعادلة الأصلية ظاهرة لتراجع القيم التي حذفتها الخطوات المختصرة سابقًا.