حدود الجملة الميكانيكية: القوة الداخلية لا تختفي من كل معادلة

ابدأ بمن يدخل في الجملة

القوة الداخلية تربط أجزاء الجملة المختارة، والخارجية تأتي من خارجها. زوج التفاعل النيوتني يؤثر في جسمين مختلفين بقوتين متساويتين ومتعاكستين. عند فصل الجسمين، تدخل القوة المتبادلة في معادلة كل منهما؛ وعند جمع معادلتيهما تلغى مساهمتاها. نستخدم القانون الثاني لكل جسم ثابت الكتلة في إطار قصوري، ثم نجمع المعادلتين. ^[1]

سننشئ لقطة حسابية لجسمين نسميهما A و B. كتلة الأول 2 kg، والثاني 3 kg، ونختار اليمين موجبًا. يوجد مؤثر E خارج الجسمين يؤثر في A بقوة +15 N. وفي اللقطة المفترضة يؤثر A في B بقوة +6 N، ويؤثر B في A بقوة −6 N. هذه مقادير اخترناها للتدريب، وليست بيانات تجربة أو خصائص منتج. نسمح لتسارعي الجسمين بأن يختلفا، ونحسب المركبات الأفقية فقط ضمن هذه المعطيات.

لدينا ثلاثة اختيارات نكتبها على ثلاث أوراق: A وحده، ثم B وحده، ثم الجسمان A و B معًا. لا نحرّك الجسمين عند الانتقال بين الأوراق، ولا نغيّر القيم أو المؤثر E؛ نغير قائمة الأجزاء التي يشملها الحساب. لكل قوة نسجل اسم المؤثر واسم المتلقي واتجاه السهم. هذه القائمة تمنعنا من وضع سهم على ورقة لا تحتوي الجسم الذي يتلقى القوة، وتسمح بتفسير سبب ظهوره في ورقة واختفائه من مجموع معادلات ورقة أخرى.

دفتر A: قوتان أفقيتان لا زوج متلاشيًا

في ورقة A يدخل المؤثر E لأنه يطبق +15 N على الجسم الذي اخترناه. وتدخل قوة B على A بقيمة −6 N لأن المتلقي هو A، بينما B خارج حدود هذه الورقة. تصبح المحصلة الأفقية 15−6=9 N. نقسم على كتلة A التي تساوي 2 kg، فنحصل على aA=4.5 m/s² إلى اليمين. لا نقسم هذه المحصلة على خمسة، لأن ورقة الجسم الأول لم تضم الجسم الثاني وكتلته إلى النظام الذي نطبق عليه المعادلة.

قد يحاول قارئ كتابة +6 و −6 في ورقة A ليقول إن التفاعل يلغي نفسه. لكن +6 N في معطياتنا هو السهم الواقع على B، فلا مكان له بين القوى الواقعة على A. السالب ستة الذي يؤثر في A يبقى مع الموجب خمسة عشر في هذه الورقة. تساوي مقداري قوتي التفاعل لا يسمح بنقل سهم من متلقٍ إلى آخر. ويمكن اكتشاف الخطأ بقراءة أسماء السهمين قبل حساب الأعداد؛ السهم المنقول سيحمل اسم متلقٍ لا يقع داخل الحدود المختارة.

نراجع الإجابة بإعادة ضرب التسارع في الكتلة: 2×4.5=9 N، فيتوافق مع المحصلة التي حسبناها. أما إذا حذفنا قوة التفاعل من ورقة A فستصبح المحصلة خمسة عشر، وسنكتب تسارعًا 7.5 m/s². هذا الرقم يخص معطيات مختلفة فيها قوة B على A صفر، وهي ليست اللقطة الأساسية. الفحص لا يسأل عن صحة قسمة خمسة عشر على اثنين وحدها؛ القسمة صحيحة حسابيًا، لكن البسط لم يعد يصف جميع القوى المعطاة على الجسم الأول.

دفتر B: تتبع السهم الذي يقع عليه

في ورقة B نضع +6 N لأن A يؤثر بهذا المقدار في الجسم الثاني. القوة +15 N الواقعة على A لا تنقل إلى B في هذا المثال، ولذلك لا نضيفها إلى بسط معادلته. تصبح المحصلة ستة، والتسارع aB=6/3=2 m/s² إلى اليمين. النتيجة تختلف عن تسارع A الذي يساوي 4.5، مع أن الجسمين يتفاعلان. لا توجد في المعطيات قاعدة تلزم التسارعين بالمساواة، وقد حافظنا على هذا الشرط عند وضع السؤال.

إذا كتب قارئ 15/3=5 m/s² للجسم الثاني، نطلب منه تحديد القوة الواقعة على B ومؤثرها. سيجد أن الخمسة عشر تخص السهم القادم من E إلى A، وليست قيمة السهم من A إلى B. وفي المقابل، إذا كتب −6/3=−2، فقد أخذ السهم الذي يقع على A ووضعه في ورقة B. الخطآن ناتجان من تبديل أسماء المتلقين، رغم أن العمليات الحسابية التي أجريت بعد التبديل سليمة. لهذا نراجع الجدول قبل الآلة الحاسبة.

التحقق المنفرد يعطي 3×2=6 N. يمكن أيضًا وضع نتيجتي الجسمين في صف واحد: المحصلتان تسعة وستة، والتسارعان أربعة ونصف واثنان. لا نقارن التسارعين وحدهما لنقرر أي قوة متبادلة أكبر؛ قوة التفاعل مقدارها ستة في الاتجاهين في بيانات السؤال، بينما المحصلة على A تشمل إضافة المؤثر E. نحن نقارن كميتين مختلفتين إذا أخذنا محصلة A وقوة التفاعل على B على أنهما وجها التفاعل نفسه. الجدول يترك لكل مقدار اسمًا مستقلًا.

ضم الجسمين: اجمع معادلتين كاملتين

نكتب معادلة A على الصورة 15−6=2aA، ومعادلة B على الصورة 6=3aB. جمع الطرفين يعطي 15−6+6=2aA+3aB، ومنه 15=2aA+3aB. ظهر الإلغاء بعد وضع القوتين على الجسمين اللذين تتعلق بهما المعادلتان، ثم جمعهما. لم نحذف قوة من المعادلة الأولى وندّع أن الأولى وحدها تكفي لوصف الجسمين. كما لم نقل إن الجسم A فقد التفاعل؛ بقي أثره في تسارعه المنفرد الذي حسبناه.

بالتعويض عن التسارعين نجد 2×4.5+3×2=9+6=15 N. هذا يراجع مجموع المعادلتين من طريق آخر. في ورقة A+B يقع طرفا التفاعل داخل الحدود، بينما المؤثر E يبقى خارجها؛ السهم +15 هو المحصلة الأفقية الخارجية في اللقطة. اختلاف وصف التفاعل بأنه داخلي أو خارجي مرتبط بهذه الحدود. القوة نفسها لم تتغير من ستة إلى صفر في بياناتنا، وإنما أصبحت مساهمتاها المتعاكستان جزءًا من جمع يشمل متلقييهما معًا.

الطرف الأيمن يحتوي تسارعين مختلفين، لذلك لا نحوله مباشرة إلى 5a على أساس أن كلا الجسمين يحمل القيمة نفسها. لو كتبنا 15/5=3 ثم نسبنا ثلاثة إلى كل جسم، لاصطدمت النتيجة بالفحص المنفرد: 2×3=6 لا يساوي محصلة A التي تبلغ تسعة، و3×3=9 لا يساوي محصلة B التي تبلغ ستة. قسمة المجموع على مجموع الكتل ستعطي كمية موزونة مفيدة، لكن تسميتها تحتاج إلى دقة حتى لا تستبدل إجابتين مختلفتين بإجابة واحدة.

المتوسط الموزون لا يعين التسارعين

نعرف في دفترنا كمية حسابية w=(2aA+3aB)/5، أي متوسط التسارعين بوزني الكتلتين. من مجموع المعادلتين نجد w=15/5=3 m/s². وبالنتائج المنفردة تصبح العملية (2×4.5+3×2)/5=3. أما المتوسط الحسابي العادي (4.5+2)/2 فيساوي 3.25 m/s². الفرق ليس خطأ تقريب؛ المتوسطان يعطيان وزنين مختلفين للقيمتين. نكتب اسم المتوسط فوق خانته حتى يعرف القارئ ما الذي حسبناه بالضبط.

الأوزان في w هي 2/5 للجسم الأول و3/5 للثاني. مجموعهما واحد، وحاصل ضربهما في التسارعين يجمع إلى ثلاثة. يقع هذا الرقم بين اثنين وأربعة ونصف في مثالنا، لكنه لا يساوي أيًا منهما. لذلك لا يطلب الجدول أن يوجد جسم خيالي تسارعه ثلاثة لكي يكون الحساب صحيحًا؛ لقد عرفنا رقمًا يختصر مجموعة معلومة من الأعداد. وعندما يكون السؤال عن تسارع A أو B، نرجع إلى المعادلة التي تحمل اسم ذلك الجسم.

يمكن للمعادلة 2aA+3aB=15 أن تقبل أكثر من زوج من التسارعات. فالزوج 3 و3 يحققها، والزوج 1.5 و4 يحققها أيضًا، كما يحققها الزوج الأساسي 4.5 و2. هذه الأزواج لا تصف اللقطة نفسها إذا بقي مقدار التفاعل ستة. فهي تثبت أن مجموع المعادلتين وحده لا يكفي لاستعادة التفاصيل التي اختصرها. نحتاج إلى معلومة إضافية، مثل قيمة قوة التفاعل، أو تسارع أحد الجسمين، قبل اختيار زوج محدد من هذه الاحتمالات.

غيّر مقدار التفاعل في لقطات مستقلة

ننشئ مجموعة حالات افتراضية بنفس الكتلتين ونفس قوة E، لكن نكتب قوة التفاعل على B بالرمز q، ومقابلها على A بالرمز −q. لكل حالة تصبح aA=(15−q)/2 و aB=q/3. عند q=0 يكون التسارعان 7.5 و0؛ وعند q=6 نحصل على 4.5 و2 كما سبق. هذه مقارنة بين بيانات لقطات مختلفة، وليست تسجيلًا يثبت أن q ازداد مع مرور الزمن في تجربة معينة.

عند q=9 ينتج aA=3 و aB=3. هذه هي الحالة التي تتساوى فيها الإجابتان في مجموعة أمثلتنا. نستطيع إيجاد التسعة بحل (15−q)/2=q/3، فنحصل على 45−3q=2q، ثم 5q=45، ومنه q=9 N. لم نفترض التساوي عند q=6، ولم نطالب الجسمين بأن يغيرا اللقطة الأساسية حتى يناسبا قاعدة غير معطاة. التساوي هنا نتيجة لاختيار مختلف لقوة التفاعل، ويمكن التحقق منه من المعادلتين المنفردتين.

عند q=12 يعطي الجسم الأول 1.5 m/s² والثاني 4 m/s². يبقى المتوسط الموزون (2×1.5+3×4)/5=3، مع أن التسارع الأكبر انتقل إلى الجسم الثاني. وإذا بلغ q=18، يصبح aA=−1.5 و aB=6، ويظل المتوسط ثلاثة. يستطيع الجدول إذن الاحتفاظ بالمجموع نفسه مع تغيير إشارات بعض التفاصيل. يبين الرسم الداخلي هذه الحالات على محور قوة التفاعل، ويحافظ على تمييزه من محور الزمن حتى لا نقرأ المقارنة كمسار حركي.

افصل اتجاه القوة الخارجية عن محصلة الجسم

في حالة q=18، تقع قوة E على A إلى اليمين بمقدار خمسة عشر، لكن قوة B عليه إلى اليسار مقدارها ثمانية عشر. المحصلة على A هي 15−18=−3 N، وتسارعه −3/2=−1.5 m/s². هذه نتيجة متسقة مع الإشارات. لا نستنتج اتجاه التسارع من سهم واحد قبل جمع سائر الأسهم على المتلقي نفسه. كما لا نستنتج أن المؤثر E صار يدفع إلى اليسار؛ قيمته واتجاهه لم يتغيرا في هذه الحالة.

على B تكون المحصلة +18 N والتسارع +6 m/s². بجمع المحصلتين نجد −3+18=15، وبجمع حاصل الكتلة والتسارع نجد 2×(−1.5)+3×6=−3+18=15. هذا الفحص يوضح أن تسارع الجسم الأول إلى اليسار لا يناقض كون المحصلة الأفقية الخارجية للجملة A+B إلى اليمين. حدود الورقتين مختلفة، ولذلك لا نلزم محصلتهما بأن تحمل الإشارة نفسها. نحافظ على اسم الجملة بجانب كل محصلة حين نكتب النتيجة.

التسارع السالب في هذه اللقطة لا يعين اتجاه سرعة A الحالية. قد تكون سرعته موجبة أو سالبة أو صفرًا بحسب معلومات أخرى لم يقدمها السؤال. كما لا نعرف المسافة التي قطعها أو مكانه بعد ثانية، لأننا لم نعط سرعة البداية ولا قانون تغير القوة عبر الزمن. تبقى إجابتنا محددة: عند القيم المختارة يكون تسارعه اللحظي إلى اليسار. هذه العبارة تحقق ما حسبناه وتترك المعلومات غير المعطاة مفتوحة، بدل أن تضيف إلى المثال قصة حركة لم ننشئ بياناتها.

فحص نسبي من التسارعين دون توقع المسافة

نحسب فرق التسارعين في اللقطة الأساسية: aB−aA=2−4.5=−2.5 m/s². وفي حالة q=12 يصبح الفرق 4−1.5=+2.5 m/s²، وعند q=9 يكون الفرق صفرًا. تعطي هذه العملية مقارنة مباشرة بين التسارعين، تختلف عن المتوسط الموزون الذي بقي ثلاثة في الحالات الثلاث. نضع الفرق في عمود مستقل، لأن استخدامه مكان المتوسط سيغير السؤال الذي يجيب عنه الرقم، كما سيضيع أثر الكتل الذي دخل في وزن المتوسط.

من صيغتي المجموعة نجد aB−aA=q/3−(15−q)/2، وهو يساوي 5q/6−7.5. بتعويض q=6 نحصل على خمسة ناقص سبعة ونصف، أي −2.5؛ وبتعويض q=12 نحصل على عشرة ناقص سبعة ونصف، أي +2.5. هذه إعادة تحقق جبرية للأرقام السابقة. لا نخلطها مع القوة الصافية على أحد الجسمين؛ وحدة هذا الفرق تسارع، ومعادلته مبنية على طرح نتيجتين بعد قسمة محصلتيهما على الكتلتين المختلفتين.

يمكن استخدام الفرق لمقارنة تغير السرعة النسبية عند تلك اللحظة ضمن تعريف المحور، لكنه وحده لا يقرر أن الجسمين يقتربان أو يبتعدان حاليًا. تحديد تغير المسافة في اللحظة يحتاج إلى السرعة النسبية، وهي لم تدخل بياناتنا. وإذا كان الفرق صفرًا، فهذا لا يثبت ثبات المسافة خلال مدة لاحقة من دون شروط أخرى عن الحركة والقوى. سنحتفظ في دفتر التدريب بعمود اسمه «فرق التسارعين» بدل اسم يوحي بمسافة أو سرعة محسومة. الاسم الدقيق يساعد القارئ على عدم نقل النتيجة إلى كمية أخرى.

استرجع القوة من لقطة جديدة

افترض أن دفترًا آخر يعطي الكتلتين نفسيهما، والتسارعين aA=1.5 و aB=4، وأن المؤثر E هو المؤثر الأفقي الخارجي الوحيد ويقع على A. نستخرج q من ورقة B: q=3×4=12 N. ثم نستخرج قوة E من ورقة A: F−12=2×1.5=3، ومنه F=15 N. نراجع الجمع أيضًا: 2×1.5+3×4=15. هذه عملية عكسية على أرقام افتراضية، وليست ادعاء أننا استنتجنا قوة حقيقية من تصوير تجربة.

إذا عرفنا المتوسط الموزون ثلاثة فقط مع الكتلتين، نستطيع كتابة المحصلة الخارجية خمسة عشر، لكننا لا نعين q. لقد رأينا أمثلة بستة وتسعة واثني عشر وثمانية عشر تعطي المتوسط نفسه. تفاصيل التفاعل تبقى مختلفة رغم اتفاق مجموع المعادلتين. لذلك لا نختار إحدى هذه القيم لمجرد أن آلة الحاسبة أعطت خمسة عشر. يتعين أن يقدم السؤال تسارعًا منفردًا أو معلومة عن التفاعل نفسه حتى نعود من الإجابة المجموعة إلى تفاصيل الجسمين.

نختبر أهمية شرط المؤثر الخارجي الوحيد بحالة أخرى: يبقى E على A بقيمة +15 N، ويضاف على B مؤثر خارجي مقداره −4 N، ونختار q=6. تصبح معادلة A كما كانت وتعطي 4.5، بينما تصبح معادلة B ستة ناقص أربعة، فتعطي 2/3 m/s². المحصلة الخارجية للجملة الآن أحد عشر، والمتوسط الموزون 11/5=2.2 m/s². إدخال المؤثر الجديد يغير البسط؛ حذف قوته بعد رسمها سيعيد خطأ حالة لا تصف البيانات الجديدة.

وسّع الحدود لتضم المؤثر E

ننشئ حالة موسعة من اللقطة الأساسية، نعطي فيها E كتلة 10 kg ونضمه إلى A و B. نفترض أن A يؤثر في E بقوة −15 N، وأن هذا هو مؤثره الأفقي الوحيد في الحالة الجديدة. تصبح معادلته −15=10aE، ومنه aE=−1.5 m/s². تبقى معادلتا A و B كما كانتا وتعطيان 4.5 و2. باختيار هذه المعطيات أصبح لدينا ثلاثة متلقين معلومين؛ المؤثر الذي كان خارج ورقة A+B دخل الآن في الورقة الموسعة.

نجمع المعادلات الثلاث: 2×4.5+3×2+10×(−1.5)=9+6−15=0 N. مجموع الكتل خمسة عشر، والمتوسط الموزون للتسارعات الثلاثة صفر. هذا لا يجعل تسارع أي جسم صفرًا؛ قيمها المنفردة ما زالت مختلفة وغير صفرية. في هذا الاختيار ألغى الجمع تفاعل E مع A أيضًا، بعد إدخال متلقي قوته المقابلة. الأرقام تراجع أثر توسيع الحدود بشرط المعطيات التي أضفناها، ولا تسمح بنقل الصفر إلى الجملة القديمة A+B التي كانت محصلتها الخارجية خمسة عشر.

راجع الحدود قبل أن تحذف أي سهم

نختم المراجعة بقائمة متلقين ومؤثرين: E على A، وB على A، وA على B. نختار الورقة، ثم نحتفظ بالأسهم التي يقع متلقيها داخل حدودها. في ورقة A+B يصبح التفاعل جزءًا من الجمع الداخلي، ويظل E خارجها. وفي الورقتين المنفردتين يعبر التفاعل حدود كل واحدة. القاعدة المصدرية التي بدأنا بها أعطت هذا التصنيف، والأرقام التي أنشأناها بينت أثره في كل معادلة. لا نعيد ترتيب الأسهم بناء على النتيجة التي نريد الحصول عليها.

تلاشي قوتي التفاعل في جمع معادلات التسارع لا يثبت ثبات طاقة الحركة أو عدم تغير الطاقة داخل الجملة؛ يحتاج دفتر الطاقة تعريفًا ومعطيات أخرى. هنا حسبنا القوى والتسارعات اللحظية، ولم نحسب شغلًا أو طاقة. ^[2]

قبل قبول الحل، نعيد ضرب كل تسارع في كتلة جسمه، ثم نجمع الناتجين، ثم نقارن المجموع بالمحصلة الخارجية للجملة المختارة. ونراجع أن القيم المكتوبة في الرسم توافق اللقطة التي استعملناها، وأن الحالات ذات q المختلفة تحمل أسماء مستقلة. لا نمد قيمة لحظية إلى دقيقة أو ثانية كاملة من تلقاء أنفسنا، ولا ننسب المتوسط الموزون إلى أحد الجسمين. هذه الفحوص تجعل الإجابة قابلة لإعادة الحساب، وتكشف خطأ اختيار البسط أو المقام حتى لو كانت القسمة الأخيرة صحيحة.

في اللقطة الأساسية، نحتفظ بثلاث نتائج متجاورة: تسارع A يساوي 4.5، وتسارع B يساوي 2، والمتوسط الموزون يساوي 3 m/s². كل رقم له سؤال يجيب عنه، وكل معادلة لها حدود جملة واضحة. هذه التفاصيل هي ما يجعل تغيير الحدود مفهومًا: نضم متلقيين إلى الحساب، فتتلاشى قوتا التفاعل في المجموع، مع بقاء أثر كل منهما في معادلته المنفردة. ويمكن إعادة بناء جميع النتائج من المعطيات الأربعة: الكتلتين، وقوة E، ومقدار التفاعل عند اللحظة المختارة.