عند جمع حدود هندسية بنسبة سالبة، تتبدل إشارات الحدود ولا تكفي قيمة آخر حد لتحديد المجموع. سنختار نماذج مستقلة للنسبة سالب2 وسالب نصف وسالب1، ونراجع عدد الحدود والمجاميع الجزئية والحالات الخاصة. جميع الأرقام أمثلة مؤلفة؛ لا نقدمها وصفًا لقياسات أو وعدًا بتوقع سلسلة بيانات.
الخلاصة السريعة
النسبة السالبة تبدل إشارات الحدود الهندسية غير الصفرية، لكن إشارة المجموع تحتاج حسابًا مستقلاً عن إشارة آخر حد.
- نبدأ الترقيم من 1؛ الحد ذو الترتيب n يساوي a مضروبة في r للقوةn−1، ومجموع أول n حدود يستخدم القوة n في صيغته.
- للنسبة r غير 1، المجموع يساويa(1−r^n)/(1−r). إذا كانت r سالبة، يبقى المقام 1−r موجبًا.
- في مثالa=4 وr=−2: الحدود 4،−8،16،−32،64؛ الحد الخامس 64، والمجموع 44. بإضافة الحد السادس−128 يصبح المجموع−84.
- عندما a موجب و r أقل من−1، تكون المجاميع ذات العدد الفردي من الحدود موجبة، وذات العدد الزوجي سالبة. إذا قلبت إشارة a انقلبت المجاميع.
- عندr=−1 تلغي الأزواج بعضها؛ المجموع صفر لعدد زوجي من الحدود، و a لعدد فردي. أماr=1 فالمجموع na.
- جمع الحدود من الترتيب 3 إلى 6 يشمل أربعة حدود، لا ثلاثة. في المثال الأول يكون المجموع−80.
- إذا كان r بين−1 و 0 و a موجبًا، تبقى المجاميع موجبة رغم تناوب الحدود؛ تتقارب المجاميع الفردية والزوجية من جهتين مختلفتين. في نموذج 20 وسالب نصف، الحد 40 على 3؛ مقدار خطأ عشرة حدود نحو 0.013021 وأحد عشر نحو 0.006510، وفق نموذج الحساب المعلن.
- معرفة الحد الأول والأخير وعدد الحدود قد لا تحدد إشارة r؛ قيمتاr=2 وr=−2 تعطيان في مثالنا الحد الخامس 64 لكن مجموعين مختلفين.
حدد ما هو معلوم: البداية والنسبة وعدد الحدود
نعالج متتابعات حقيقية معرفة بقاعدة معلنة: نبدأ بقيمة معينة، ثم نضرب كل حد في نسبة ثابتة للحصول على التالي. هذا هو معنى المتتابعة الهندسية في المرجع الأول، الذي يعرض صيغة الحد وصيغة المجموع المنتهي. أمثلتنا جديدة ومؤلفة، ولا نصف بها قياسات أو تغيرات ظاهرة واقعية. وجود إشارات متناوبة في قائمة قصيرة لا يكفي وحده لإثبات أنها تتبع هذه القاعدة.
نستعمل الرمز a للحد الأول، والرمز r للنسبة، والرمز n لعدد الحدود الذي نريد جمعه. نبدأ الترتيب من 1، ويكون n عددًا صحيحًا موجبًا في الأمثلة الرئيسة. لا نستبدل عدد الحدود بعدد الانتقالات بينها؛ خمسة حدود تحتاج أربعة انتقالات من الحد الأول إلى الخامس. هذا الفرق الصغير هو سبب اختلاف الأس في قانون الحد عن الأس في قانون المجموع.
إذا أعطاك السؤال آخر حد بدل عدد الحدود، أو أعطى مجموعًا بدل آخر حد، فاكتب نوع كل معطى قبل التعويض. لا تضع 64 في خانة العدد n لمجرد ظهوره في نهاية القائمة. يمكن أن تكون 64 قيمة الحد الخامس، بينما عدد الحدود 5. يحتفظ هذا المقال بالفروق بين الترتيب وقيمة الحد والمجموع كي لا تختلط نتائج صحيحة لأسئلة مختلفة.
ابدأ بقائمة قصيرة ذات إشارات واضحة
نختار الحد الأول 4 والنسبة سالب 2. بضرب 4 في سالب 2 نحصل على سالب 8، ثم نضرب مرة أخرى فنحصل على 16، ثم سالب 32، ثم 64. أصبحت لدينا خمسة حدود. نجمعها بالتتابع: 4 مع سالب 8 يعطي سالب 4، ومع 16 يصبح 12، ومع سالب 32 يصبح سالب 20، ومع 64 يكون المجموع 44. لا تعني قيمة آخر حد 64 أن المجموع 64.
ثم نضيف حدًا واحدًا. الحد السادس سالب 128، ولذلك ينخفض المجموع من 44 إلى سالب 84. زيادة عدد الحدود لم تزد المجموع هنا، لأن الحد المضاف سالب. إذا كان ذهنك يربط كلمة زيادة بالزيادة العددية في الناتج، فحدد ما الذي زاد: عدد العناصر، لا ضرورة مقدار مجموعها. تسمية التغيير تمنع الاعتماد على توقع لا يطابق العملية.
سجل بجانب كل ترتيب قيمة الحد والمجموع حتى ذلك الترتيب. عند الترتيب الثالث تكون القيمة 16 والمجموع 12؛ وعند الرابع تكون القيمة سالب 32 والمجموع سالب 20. هذه مراجعة مباشرة تساعدك لاحقًا على فحص الصيغة المختصرة، كما تكشف إن حسبت القوة الصحيحة ولكن استعملتها لاسم نتيجة آخر. الأعداد في هذه القائمة قيم نموذج حسابي، وليست رصيدًا أو قراءة جهاز.
صيغة المجموع المنتهي وشروطها
إذا كانت النسبة r غير 1، يكتب مجموع أول n حدود على الصورة a مضروبة في 1 ناقص r للقوة n، ثم نقسم على 1 ناقص r. لا يشترط هذا المجموع المنتهي أن يكون مقدار النسبة أصغر من 1. يمكن جمع خمسة أو ستة حدود عندما تكون r سالب 2، مع أن المقادير تكبر. الشرط المتعلق بصغر المقدار يخص سؤال مجموع غير منتهٍ سنميزه لاحقًا.
في مثالنا، القوة الخامسة لسالب 2 هي سالب 32. البسط 4 مضروبة في 1 ناقص سالب 32، أي 4 مضروبة في 33، وقيمته 132. المقام 1 ناقص سالب 2 يساوي 3. ينتج 44، موافقًا للجمع المباشر. للقوة السادسة نجد 64، فيكون البسط 4 مضروبة في سالب 63، أي سالب 252، وبقسمته على 3 نحصل على سالب 84.
لا تجعل المقام 1 زائد سالب 2؛ الصيغة تحتاج طرح النسبة كما هي. ولا تجعل القوة الخامسة سالب 2 مضروبة في 5؛ تكرار الضرب يختلف عن الضرب في عدد مرات التكرار. نكتب خطوات القوة والبسط والمقام منفصلة حتى نراجع الإشارات، ثم نقارن بقائمة صغيرة. الصيغة اختصار لعملية محددة، وليست بديلًا عن قراءة شروطها.
تحقق من الصيغة بالطرح في مثالنا
لنرمز إلى مجموع الحدود الخمسة بالرمز S. لدينا 4 مع سالب 8 مع 16 مع سالب 32 مع 64. إذا ضربنا المجموع كله في سالب 2، أصبحت القائمة سالب 8 مع 16 مع سالب 32 مع 64 مع سالب 128. نطرح القائمة الثانية من الأولى. تلغي الحدود الأربعة المشتركة بعضها، ويبقى 4 ناقص سالب 128، أي 132. وعلى اليسار يبقى S ناقص سالب 2 مضروبة في S، أي ثلاثة أمثال S.
إذن ثلاثة أمثال المجموع تساوي 132، والمجموع 44. هذه مراجعة بالحدود المختارة، لا نقل لمثال مطبوع في المرجع. توضح كذلك لماذا ظهرت القوة الخامسة في صيغة المجموع؛ الحد الأخير في القائمة المضروبة هو a مضروبة في r للقوة 5، رغم أن آخر حد في القائمة الأصلية يستخدم القوة 4. نشأت القوة الإضافية من ضرب القائمة كلها مرة أخرى في r.
يمكن تطبيق الإلغاء نفسه على عدد آخر من الحدود عندما تكون القاعدة معلنة. لكن القسمة على 1 ناقص r تتطلب ألا يكون هذا المقدار صفرًا. إذا كانت r تساوي 1، فإن طرح القائمتين يعطي مساواة لا تحدد المجموع بهذه القسمة. المجموع ما زال قابلًا للحساب، لكننا نحتاج طريقة الحالات المتساوية بدل تعويض ينتج مقامًا صفرًا.
زوجي أم فردي: أثر القوة في إشارة المجموع
عندما تكون r أقل من سالب 1، يكون مقدارها أكبر من 1. للقوة الفردية تبقى r للقوة n سالبة، فيصبح 1 ناقص هذه القوة موجبًا. وللقوة الزوجية تصبح القوة موجبة وأكبر من 1، فيكون 1 ناقصها سالبًا. المقام 1 ناقص r موجب في الحالتين، لذلك تحدد إشارة البسط اتجاه المجموع عندما يكون الحد الأول a موجبًا.
في نموذج 4 وسالب 2، المجاميع للعدد الفردي من الحدود موجبة، وللعدد الزوجي سالبة. لكن ذلك لا يجعل كل مجموع ذي آخر حد موجب مساويًا لذلك الحد، أو يجعل المقادير متساوية. وجدنا 44 مع آخر حد 64، وسالب 84 مع آخر حد سالب 128. معيار الزوجي والفردي يفحص الإشارة هنا، بينما المقدار يحتاج الحساب كاملًا.
ولا نعمم هذا النمط على كل نسبة سالبة. إذا كان مقدار النسبة أصغر من 1، فإن القوة الزوجية لا تتجاوز 1، ويختلف حكم البسط. نحتاج الشرط r أقل من سالب 1 في هذه الفقرة. وصف النسبة بالسالب وحده ينقص معلومة أساسية. سجِّل مقدارها ومجالها إلى جانب الإشارة كي لا تنقل حكم حالة إلى حالة أخرى.
قلب إشارة الحد الأول يقلب المجموع
نثبت النسبة سالب 2، لكن نبدأ بسالب 4 بدل 4. الحدود الخمسة تصبح سالب 4 ثم 8 ثم سالب 16 ثم 32 ثم سالب 64. كل حد هو سالب نظيره في القائمة السابقة، لذلك المجموع سالب 44. والحد السادس موجب 128، فيصبح مجموع الحدود الستة 84. لم تتغير النسبة أو عدد الحدود؛ الذي تغير هو عامل مشترك يضرب القائمة كلها في سالب 1.
يمكن مراجعة ذلك من الصيغة؛ الحد الأول يدخل عاملًا مضروبًا في البسط، فإذا قلبت إشارته انقلبت النتيجة كلها. لذا لا نقول إن كل مجموع فردي موجب عند r أقل من سالب 1 دون ذكر أن a موجب. إذا كان a سالبًا تنعكس النتيجة، وإذا كان صفرًا تصبح جميع الحدود صفرًا في التعريف التكراري الذي اخترناه.
احتفظ بالفرق بين تغيير a وتغيير r. قلب إشارة a يقلب كل القيم. أما قلب إشارة r من سالب 2 إلى موجب 2 فيحافظ على الحدود ذات الترتيب الفردي في هذا المثال ويغير الحدود الزوجية. تصبح القائمة 4 و 8 و 16 و 32 و 64، ومجموعها 124. العملية الثانية ليست مجرد قلب للمجموع 44، بل تغير بعض الحدود دون بعض.
النسبة سالب 1: الأزواج تتلاشى
نختار الحد الأول 7 والنسبة سالب 1. القائمة 7 ثم سالب 7 ثم 7 ثم سالب 7، وتستمر بالتناوب. كل زوج متتالٍ يبدأ بالموجب وينتهي بالسالب مجموعهما صفر. لذلك مجموع ستة حدود صفر، ومجموع خمسة حدود 7، لأن زوجين ألغيا بعضهما وبقي الحد الخامس. هذا الحكم خاص بالمقادير المتساوية التي تنتج من النسبة سالب 1.
يمكن استعمال صيغة المجموع هنا، فالمقام 1 ناقص سالب 1 يساوي 2 وليس صفرًا. القوة الزوجية لسالب 1 تساوي 1 فتجعل البسط صفرًا، والقوة الفردية تساوي سالب 1 فتجعل البسط ضعف الحد الأول. بعد القسمة على 2 يعود الحد الأول في الحالة الفردية. تطابق الطريقتين يراجع الإشارات ويوضح أن استثناء الصيغة يخص موجب 1، لا سالب 1.
لا نقرر من إلغاء الأزواج أن للمجموع غير المنتهي قيمة صفرًا بالمعنى المعتاد. المجاميع الجزئية تتبدل بين 7 وصفر ولا تقترب من قيمة واحدة. جمع عدد زوجي معلوم شيء، والبحث عن حد للمجاميع مع امتداد عدد الحدود شيء آخر. ذكرنا هذا الفرق لأن كلمة إلى النهاية دون تحديد قد تخفي سؤالين مختلفين.
الموجب 1 والصفر: اقرأ التعريف قبل القسمة
إذا كانت r تساوي موجب 1، والحد الأول 7، فكل حد 7. مجموع خمسة حدود 35، وستة حدود 42. نستعمل عدد الحدود مضروبًا في الحد الأول، ولا نقسم على 1 ناقص 1. لا يعني تعطل صيغة ذات مقام صفري أن مجموع القائمة غير موجود؛ إنها قائمة منتهية واضحة يسهل جمع عناصرها المتساوية.
أما إذا عرّفنا المتتابعة تكراريًا بحد أول 7 ثم الضرب في صفر، فالقائمة 7 ثم 0 ثم 0 ثم 0. مجموع أي عدد موجب من الحدود 7. لا نحاول استنتاج نسبة بقسمة 0 على 0 عند فحص حدين لاحقين؛ القاعدة أعطيت بالضرب، ولذلك نستخدمها مباشرة. إذا كتبت صيغة أسية عند المنزلة الأولى، فلا تجعل الرمز صفر للقوة صفر مسألة جانبية غامضة؛ عرّف الحد الأول صراحةً ثم العلاقة لبقية الحدود.
وهذا يراجع حالة الحد الأول الصفرية أيضًا. البداية 0 مع نسبة معلنة تجعل كل الحدود 0، والمجموع 0. لكن قائمة أصفار وحدها لا تعين نسبة وحيدة من قسمة حد على السابق. إذن معرفة قاعدة معلنة تختلف عن محاولة اكتشاف قاعدة من بيانات ناقصة. احتفظ بما أعطاه السؤال فعلًا، ولا تنشئ قسمة غير معرفة لتؤكد تسمية النوع.
جمع مقطع داخلي: الطرفان يدخلان في العد
نعود إلى نموذج 4 والنسبة سالب 2، ونريد جمع الحدود من الثالث إلى السادس شاملًا. القيم 16 وسالب 32 و 64 وسالب 128، ومجموعها سالب 80. عددها أربعة، لأننا نأخذ الترتيب 6 ناقص 3 ثم نضيف 1. طرح الترتيبين فقط يعطي عدد الانتقالات بين الطرفين، لا عدد الحدود التي سنجمعها.
يمكن اعتبار هذا المقطع متتابعة هندسية جديدة تبدأ بالحد 16 وبالنسبة نفسها، ثم جمع أربعة حدود. أو نحسب مجموع أول ستة حدود سالب 84، ونطرح منه مجموع أول حدين سالب 4، فنحصل على سالب 80. عند الطرح، سالب 84 ناقص سالب 4 يساوي سالب 80. لا نطرح مجموع أول ثلاثة حدود، لأن ذلك سيحذف الحد الثالث الذي نريد إبقاءه.
راجع آخر حد في المقطع الجديد: الحد الرابع منه هو الحد السادس في القائمة الأصلية. تغير اسم الترتيب المحلي، لكن القيم لم تتغير. اكتب نقطة البداية وعدد الحدود إذا أعدت تسمية القائمة، بدل أن تستعمل الحد الأول القديم 4 في صيغة مقطع يبدأ 16. يسهل الاختصار بعد ضبط هذا التناظر، وقد يضلل الحساب إذا خلطنا بداية قائمة ببداية أخرى.
مجاميع متتالية: الفرق يعيد الحد المضاف
مجموع أول خمسة حدود في نموذجنا 44، ومجموع أول أربعة سالب 20. طرح الثاني من الأول يعطي 64، وهو الحد الخامس. هذه علاقة مباشرة؛ القائمتان تتفقان في أول أربعة حدود، ويبقى في الأولى حد واحد إضافي. وبالمثل، سالب 84 ناقص 44 يعطي سالب 128، وهو الحد السادس. لا نحتاج قانون مجموع جديدًا لفهم سبب هذه العلاقة.
تتيح المراجعة كشف خطأ في نقل عدد الحدود إلى الصيغة. إذا حسبت مجموعًا وسميته مجموع أول خمسة، ثم وجدت أن الفرق بينه وبين مجموع أول أربعة لا يساوي الحد الخامس المعلوم، فهناك تعارض يحتاج مراجعة. قد يكون الخطأ في القوة أو الإشارة أو الترقيم، لذلك نفحص القوائم الصغيرة قبل الجزم بموضعه.
كذلك تبين العلاقة أن المجاميع قد تنخفض عند إضافة حد سالب وترتفع عند إضافة حد موجب. النقطة التي تحمل ترتيبًا في رسم المجاميع تمثل مجموعًا حتى ذلك الموضع، لا قيمة الحد عنده. أما مقدار القفزة بين نقطتين متتاليتين فيعيد الحد الجديد بإشارته. لا نقرأ ارتفاع نقطة المجموع بوصفه طولًا أو مقدار حد فردي في القائمة الأصلية.
نسبة سالبة مقدارها أصغر من 1
نختار بداية 20 ونسبة سالب نصف. الحدود الأولى 20 ثم سالب 10 ثم 5 ثم سالب 2.5 ثم 1.25 ثم سالب 0.625. المجاميع على الترتيب 20 و 10 و 15 و 12.5 و 13.75 و 13.125. الحدود تتناوب، لكن المجاميع الستة كلها موجبة. هذا مثال واضح على أن تناوب إشارة الحدود لا يفرض تناوب إشارة المجاميع.
يتفق ذلك مع صيغة المجموع. عندما تقع r بين سالب 1 وصفر، تكون قيمة r للقوة n بين سالب 1 وموجب 1 لكل ترتيب موجب. لذا يبقى 1 ناقص تلك القوة موجبًا، ويكون المقام 1 ناقص r موجبًا كذلك. مع حد أول موجب، يكون المجموع موجبًا. لا نستعمل تفسيرًا من الرسم وحده لإثبات هذا الحكم؛ نراجع مجال القيم في البسط والمقام.
في هذه القائمة، تنخفض المجاميع ذات الترتيب الفردي من 20 إلى 15 إلى 13.75، وتزداد ذات الترتيب الزوجي من 10 إلى 12.5 إلى 13.125. تتقارب القائمتان الفرعيتان من جهتين، بينما القائمة الكاملة ترتفع وتنخفض. الرسم الداخلي يستخدم مقياسًا واحدًا للمجاميع، ويعرض قيمًا مؤلفة لا قياسات. لا تعني الخطوط الواصلة وجود حدود عند كل ترتيب كسري بين النقاط الصحيحة.
المجموع المحدود ليس المجموع غير المنتهي
يمكن جمع عدد معلوم من الحدود لأي نسبة حقيقية وفق الحالات المذكورة. أما المجموع غير المنتهي بالمعنى المعتاد فنبحث له عن حد للمجاميع الجزئية. في المتتابعة الهندسية ذات بداية غير صفرية، يلزم أن يكون مقدار النسبة أصغر من 1 كي تتقارب هذه المجاميع، كما يوضح المرجع الأول. عند تحقق الشرط تكون قيمة الحد a مقسومة على 1 ناقص r، لكنها لا تساوي كل مجموع جزئي منتهٍ.
في نموذج 20 وسالب نصف، تصبح القيمة 40 مقسومة على 3، أي نحو 13.333333. مجموع خمسة حدود 13.75 أكبر منها، ومجموع ستة 13.125 أصغر منها. كل قيمة تخص عدد حدود محددًا، فلا نستبدل 13.75 بالحد 13.333333 لمجرد أن النسبة تسمح بالتقارب. التقارب وصف لما يحصل مع زيادة عدد الحدود، وليس إعلانًا أن بقية الحدود لم تعد تؤثر.
وللنسبة سالب 2 في نموذج 4، تكبر مقادير الحدود وتتناوب المجاميع في الإشارة؛ لا يوجد حد محدود لها في هذا السياق. مع ذلك، مجموع الخمسة 44 ومجموع الستة سالب 84 قائمان وصحيحان. لا نرفضهما بسبب عدم التقارب غير المنتهي. اختيار نوع المجموع قبل تطبيق شرط مقدار النسبة يزيل خلطًا شائعًا بين سؤالين مختلفين.
خطأ القطع: احسب الفرق قبل إعلان الدقة
في النموذج المتقارب 20 وسالب نصف، الفرق بين الحد 40 على 3 والمجموع بعد n حدود يساوي 40 على 3 مضروبة في سالب نصف للقوة n. يمكن مراجعة ذلك بطرح صيغة المجموع الجزئي من صيغة الحد. مقدار الفرق هو 40 على 3 مضروبة في نصف للقوة n، بينما الإشارة تتغير مع الزوجي والفردي. لا نخلط مقدار الخطأ غير السالب بالفرق الموجه بين القيمتين.
بعد خمسة حدود، يزيد المجموع عن الحد بمقدار 5 على 12، أي نحو 0.416667. بعد ستة، يقل عنه بمقدار 5 على 24، أي نحو 0.208333. إضافة حد آخر قسمت مقدار الفرق على 2 في هذا النموذج. لو طلبنا مقدار خطأ أقل من 0.01، فإن عشرة حدود تعطي فرقًا مقداره نحو 0.013021 فلا تكفي، وأحد عشر حدًا تعطي نحو 0.006510 فتفي بالشرط المعلن.
هذه دقة حساب النموذج من حيث قطع المجموع، لا دقة قياس أو توقع بيانات حقيقية. كذلك لا نستنتج شرط 0.01 من عدد المنازل العشرية التي عرضت على شاشة. نختار الحد المطلوب للخطأ أولًا، ثم نقارن به مقدار الفرق. ويمكن إبقاء الكسور كما هي أثناء المراجعة، ثم تقريب العرض النهائي دون تغيير حكم المقارنة.
الحد الأخير قد لا يحدد إشارة النسبة
افترض أن الحد الأول 4، والحد الخامس 64، لكن النسبة لم تعطَ. من صيغة الحد نحتاج 4 مضروبة في النسبة للقوة 4 لتساوي 64، أي إن القوة الرابعة للنسبة 16. على الأعداد الحقيقية، يحقق هذا الشرط موجب 2 وسالب 2. النسبتان تعطيان الحد الخامس نفسه، لكن الحدود الواقعة بين الطرفين ليست متطابقة.
بالنسبة موجب 2، القائمة 4 و 8 و 16 و 32 و 64، والمجموع 124. وبالنسبة سالب 2، القائمة 4 وسالب 8 و 16 وسالب 32 و 64، والمجموع 44. إذن معطيات الطرفين والترتيب لا تفرض مجموعًا وحيدًا هنا. إذا نص السؤال على أن النسبة سالبة، اختير سالب 2 وزال الغموض. وإذا لم يذكر ذلك، نقدم الاحتمالين بدل حذف إشارة سالبة مسموحة في النموذج.
ولا نأخذ الجذر الموجب وحده ثم نزعم أنه جميع الحلول. القوة الزوجية أخفت الإشارة، لذلك نراجع حلول المعادلة وشروطها. قد تختلف حالة قوة فردية لأنها تحفظ إشارة النسبة، لكننا لا ننقل الحكم دون فحص الأس المحدد. هذه الفقرة تميز بين حساب مجموع عندما تكون النسبة معلومة، واستنتاج النسبة نفسها من معطيات قد تكون غير كافية.
إيجاد عدد الحدود يحتاج فحص المقدار والإشارة
في النموذج ذي البداية 4 والنسبة سالب 2، نعرف أن حدًا قيمته 64 ونريد ترتيبه. بقسمة المقدار 64 على 4 نجد 16، وهو 2 للقوة 4. لذلك نحتاج أربع انتقالات من البداية، ويكون الترتيب الخامس. نراجع الإشارة أيضًا؛ أربع ضربات في السالب تعيد الموجب، فيوافق 64. المعطى والمقدار وعدد الانتقالات وشكل الإشارة متسقة في هذا الحل.
لو أعطي الحد سالب 64 مع البداية والنسبة نفسيهما، لوجدنا المقدار نفسه الذي يشير إلى أربع انتقالات، لكن الإشارة الناتجة موجبة. لا يوجد ترتيب صحيح موجب يحقق هذا المعطى في النموذج. لا نغير الترتيب إلى الرابع لأن القيمة سالبة؛ الحد الرابع سالب 32 لا سالب 64. نحتاج المطابقة في القيمة والإشارة معًا.
في مسائل أكبر قد نستخدم أدوات أخرى لحل معادلة الأس، لكن نحتفظ بشرط أن الترتيب عدد صحيح وأن النموذج يطابق المعطيات. لا نضع لوغاريتمًا لعدد سالب ضمن حساب حقيقي دون تعريف مختلف، ولا نقرب ترتيبًا غير صحيح إلى أقرب عدد ثم ندعي أنه حل تام. أحيانًا تكون النتيجة أن بيانات السؤال لا تصف حدًا في القائمة المعطاة.
قائمة مراجعة وتمارين أخيرة
في تمرين مستقل، البداية 6 والنسبة سالب 3 ونريد ثلاثة حدود. القائمة 6 وسالب 18 و 54، والمجموع 42. مقام الصيغة 1 ناقص سالب 3 يساوي 4، والبسط 6 مضروبة في 28 يساوي 168، والقسمة تعيد 42. أما مجموع حدين فهو سالب 12. لاحظ أن الحد الثالث 54 ليس مجموع الثلاثة 42، وأن الحد المضاف موجب فأعاد المجموع إلى جهة موجبة.
وفي تمرين آخر، البداية 8 والنسبة سالب نصف، وأول أربعة حدود 8 وسالب 4 و 2 وسالب 1. المجموع 5، مع أن آخر حد سالب 1. مقدار النسبة الأصغر من 1 يوافق بقاء المجموع موجبًا. إذا أردت جمع الحدين الثالث والرابع فقط، فالمجموع 1؛ لا تستعمل البداية 8 للمقطع الجديد الذي يبدأ 2. اكتب طرفيه وعدد عناصره أولًا ثم راجع الجمع.
قبل اعتماد أي جواب، حدد هل المطلوب حد أم مجموع، واكتب بداية الترقيم والنسبة وعدد الحدود أو طرفي المقطع. راجع الأقواس حول الأساس السالب، وقوة الحد مقابل قوة المجموع، واستثناء موجب 1، وشروط التقارب إن كان السؤال غير منتهٍ. وأعد جمع حالة صغيرة أو فرق مجموعين متتاليين للمراجعة. للمقدمة العامة في الرموز والأنواع، اقرأ شرح المتتابعات؛ هذا المقال خصص الحساب للإشارات السالبة والحالات التي تغير جواب الجمع.
المصادر ومتابعة القراءة
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.