إكمال المربع بمعامل غير واحد: لماذا نضيف أربعة هنا واثني عشر هناك؟

افصل إعادة كتابة العبارة عن حل المعادلة

إكمال المربع يعيد كتابة عبارة تربيعية على صورة مربع مع ثابت مكافئ. يورد مرجع MathWorld الهوية العامة: ax²+bx+c تساوي a(x+b/(2a))²+c−b²/(4a)، مع a غير صفري. عند تحويل معادلة نحتفظ بالمساواة؛ وعند إعادة كتابة عبارة منفردة نعوض التغيير في ثابتها، حتى تبقى قيمتها نفسها. ^[1]

سننشئ المثال f(x)=3x²−12x+5، ثم نسأل عن حل f(x)=0 في الأعداد الحقيقية. الحرف f اسم للعبارة بوصفها دالة، وليس عملية جديدة نطبقها على المعادلة. يمكن إعادة كتابة العبارة لكل قيمة حقيقية من x، بينما حل المعادلة يبحث عن القيم التي تجعلها صفرًا فقط. الفرق مهم لأن خطوة تضيف مقدارًا إلى طرفي مساواة لا تعني أن بإمكاننا إضافة المقدار نفسه إلى عبارة منفردة وترك قيمتها بلا تعديل مقابل.

نضع ورقتين للمثال، تحمل الأولى عنوان «قسمة ثم إضافة»، والثانية «إضافة قبل القسمة». سنصل منهما إلى المربع نفسه، لكن مقدار الإضافة المكتوب على الورقتين يختلف. الأعداد والمعادلات الفرعية التي نعرضها أمثلة أصلية للتدريب، ويمكن إعادة حسابها بالنشر والتعويض. المطلوب تتبع كل تغيير في طرفي المساواة، ثم قراءة الثابت المكافئ في العبارة، حتى لا نخفي الخطوة التي جعلت أربعة في ورقة تقابل اثني عشر في الورقة الأخرى.

الورقة الأولى: اقسم المعادلة كلها على ثلاثة

نبدأ من 3x²−12x+5=0، وننقل خمسة إلى الطرف الآخر فنحصل على 3x²−12x=−5. نقسم الطرفين على ثلاثة، لتصبح x²−4x=−5/3. لاحظ أن معامل x صار سالب أربعة، وأن الطرف الآخر صار سالب خمسة أثلاث. القسمة شملت الحدين في الطرف الأول والعدد في الطرف الثاني؛ لم نقسم معامل الحد التربيعي وحده ثم نترك بقية الأعداد كما كانت. نكتب هذا الصف كاملًا قبل اختيار العدد الذي سنضيفه.

نصف سالب أربعة هو سالب اثنين، ومربع هذا النصف أربعة. لذلك نضيف أربعة إلى الطرفين: x²−4x+4=−5/3+4. الطرف الأيمن يساوي −5/3+12/3=7/3. وننشر المربع الذي سنكتبه للتحقق: (x−2)²=x²−4x+4. أصبحت المعادلة (x−2)²=7/3. الواحد الذي يسبق x² في الورقة المقسومة هو ما يسمح باستعمال هذه المتطابقة مباشرة، من دون أن ننسى معاملًا خارج المربع.

إذا أخذنا نصف سالب اثني عشر من الصف الأصلي قبل القسمة فسنكتب سالب ستة بدل سالب اثنين، وسنطلب مربعًا آخر. لكن معامل x في الصف الذي نكمله الآن هو سالب أربعة، لا سالب اثني عشر. لتجنب هذا الخطأ ضع دائرة حول الصف الحالي، ثم استخرج النصف منه. الحساب لا يحتفظ بمعامل قديم لأننا كتبناه أولًا؛ يتغير المعامل حين نطبق القسمة على المعادلة كلها. هذه مراجعة للصف المستعمل، وليست قاعدة تطلب أن يكون كل معامل عددًا صحيحًا.

الورقة الثانية: أكمل المربع قبل القسمة

نعود إلى الصف 3x²−12x=−5. نستطيع إخراج ثلاثة من الطرف الأول، فنكتب 3(x²−4x)=−5. نريد أن يصبح ما داخل القوس x²−4x+4، لكن إضافة أربعة داخل قوس مضروب في ثلاثة تعني إضافة اثني عشر إلى الطرف الأول كله. ولذلك نضيف اثني عشر إلى الطرف الآخر أيضًا. ينتج 3(x²−4x+4)=7، ثم 3(x−2)²=7. بقسمة الطرفين على ثلاثة نعود إلى (x−2)²=7/3.

القيمة أربعة في الورقة الأولى تضاف إلى معادلة سبق أن قسمناها على ثلاثة. والقيمة اثنا عشر في الثانية تضاف إلى معادلة ما زال معاملها الأصلي ثلاثة. لا يوجد اختلاف في الحلين النهائيين، لأن الورقتين تتتبعان مساواة واحدة مع عمليات مكافئة. ويمكن مراجعة العلاقة العددية بضرب صف الورقة الأولى بعد الإضافة كله في ثلاثة: الطرف الأول يصبح 3x²−12x+12، والطرف الآخر يصبح سبعة، وهما ما وجدناه في الورقة الثانية.

لو أدخلنا أربعة داخل القوس وتركنا الطرف الآخر عند −5، لكتبنا 3(x−2)²=−5. هذه معادلة مختلفة عن الأصل: الطرف الأول زاد اثني عشر والطرف الآخر لم يتغير. وبقسمة هذه المعادلة الخاطئة على ثلاثة يصبح مربع حقيقي مساويًا لعدد سالب، فنظن أن المثال الأصلي لا يملك حلًا حقيقيًا. الخطأ وقع قبل مرحلة استخراج الجذر؛ لذلك لا نعالجه بتغيير علامة الجذر أو حذف الفرع السالب. نرجع إلى عملية الإضافة التي لم تطبق على الطرفين.

أعد كتابة العبارة من دون تغيير قيمتها

العبارة الأصلية f(x)=3x²−12x+5 لها صورة مكافئة هي 3(x−2)²−7. ننشر الصورة الجديدة: ثلاثة في المربع تعطي 3x²−12x+12، ثم يزيل طرح سبعة الجزء الزائد من الثابت، فيبقى خمسة. بهذه الطريقة تطابقت معاملات الحدود الثلاثة. أما كتابة 3(x−2)²+5 فتعطي ثابتًا يساوي سبعة عشر عند النشر. إنها عبارة أخرى أعلى من الأصل بمقدار اثني عشر، وليست مجرد صياغة جديدة له.

نراجع الصورة عند قيم محددة لتوضيح الفرق: في x=0 تعطي الأصلية خمسة، وتعطي الصورة الصحيحة 3×4−7=5، بينما تعطي الصورة الخاطئة 3×4+5=17. وفي x=2 تعطي الأصلية سالب سبعة، وتعيد الصورة الصحيحة الرقم نفسه، بينما تعطي الخاطئة خمسة. اختلاف نتيجة واحدة يكفي لإظهار أن العبارتين المختلفتين لا تتطابقان. لكن اتفاقهما عند قيمة واحدة لا يغني عن مراجعة جميع المعاملات بالنشر إذا كان المطلوب إثبات هوية.

يعرض الرسم الداخلي الدالة الصحيحة والصورة التي نسيت تعويض الثابت. لكل x يكون الفرق اثني عشر، ولهذا تبدو الصورة الخاطئة مزاحة إلى أعلى على محور القيم. السهم أو لون المنحنى لا يغيران المعادلة؛ مصدر الفصل هو حساب الثابت عند النشر. كما أن المنحنى الخاطئ لا يقطع محور الصفر في هذا المثال، بينما يقطعه الصحيح مرتين. الرسم يساعد على كشف أثر الخطأ، وتبقى المراجعة الجبرية هي التي تثبت مقدار الفرق الدقيق.

استخرج الحلين ثم راجع التقريب

من (x−2)²=7/3 نحصل على x−2=±√(7/3)، ثم x=2±√(7/3). ويمكن كتابة المقدار الجذري على صورة √21/3؛ تربيع كل منهما يعيد سبعة أثلاث. لدينا قيمة تقع يسار اثنين وأخرى يمينه، لأننا نضيف المقدار الموجب نفسه مرة ونطرحه مرة أخرى. نحتفظ بالصيغة الدقيقة في الجواب، ونستخدم الأعداد التقريبية فقط إذا طلب السؤال قراءة عددية أو موقعًا تقريبيًا على الرسم.

الحلان تقريبًا 0.472 و3.528 إلى ثلاث منازل عشرية. إذا عوضنا العدد الأول المقرب في العبارة الأصلية نجد 3×0.472²−12×0.472+5=0.004352، وليس صفرًا تمامًا. ويعطي العدد الثاني المقرب الباقي نفسه بسبب التماثل حول اثنين. هذه نتيجة التقريب الذي أجريناه، فلا نستبدل به الجواب الدقيق ثم نستنتج أن التحويل الجبري فشل. لوجود الصفر الدقيق نعوض 2±√(7/3) في الصورة المكافئة؛ المربع يصبح 7/3، فتكون 3×7/3−7=0.

من المهم أيضًا أن نفصل بين الجذر الرئيسي √(7/3) وبين معادلة المربع التي قادت إليه. الجذر المكتوب وحده مقدار موجب في مثالنا، لكن القيمتين الموجبة والسالبة قبل إرجاع x تعطيان المربع نفسه. إذا احتفظنا بعلامة الجمع فقط فسنفقد القيمة الأصغر، مع أنها تحقق الأصل بالتعويض الدقيق. ويظهر هذا الفقد على الرسم عندما يحدد الحل نقطة تقاطع واحدة ويتجاهل النقطة المقابلة، رغم أننا لم نضع شرطًا يقيد x إلى جانب معين من اثنين.

مثال كسري: نصف المعامل قد لا يكون عددًا صحيحًا

ننشئ مثالًا مختلفًا: 4x²+3x−1=0. بنقل الثابت ثم القسمة على أربعة نحصل على x²+(3/4)x=1/4. نصف ثلاثة أرباع هو ثلاثة أثمان، ومربعه تسعة أجزاء من أربعة وستين. نضيف 9/64 إلى الطرفين، فتصبح (x+3/8)²=1/4+9/64. نحول الربع إلى 16/64، ومن ثم يساوي الطرف الأيمن 25/64. الأعداد الكسرية هنا تحافظ على الدقة ولا تمنع إكمال المربع.

جذر 25/64 الرئيسي هو 5/8، فينتج x=−3/8±5/8. من الجمع نحصل على 2/8=1/4، ومن الطرح نحصل على −8/8=−1. نراجع في الأصل: عند ربع يكون 4×1/16+3/4−1=0، وعند سالب واحد يكون 4−3−1=0. هذه قيمتان مختلفتان فعلًا. لم نبحث عن عدد صحيح لنصف معامل x، ولم نقرب ثلاثة أثمان إلى قيمة عشرية مبكرة؛ إبقاء المقامات جعل التحقق مباشرًا في بضعة أسطر.

إذا اخترنا الإضافة قبل القسمة في المثال الكسري، فالعدد الذي يضاف إلى الطرفين الأصليين هو أربعة في 9/64، أي 9/16. يبدأ الصف من 4x²+3x=1، وينتهي بعد الإضافة إلى 4(x+3/8)²=25/16. بقسمة الطرفين على أربعة نصل إلى 25/64 كما سبق. هكذا تظهر العلاقة نفسها التي كانت بين أربعة واثني عشر في المثال الأول، لكن بأعداد كسرية. نراجع معامل القوس بدل أن نفترض أن الإضافة الأصلية يجب أن تكون عددًا صحيحًا.

معامل سالب: تتبع الإشارة في الإضافة الأصلية

لنأخذ −2x²+8x+1=0. ننقل الواحد إلى الطرف الآخر، ثم نقسم على سالب اثنين، فنحصل على x²−4x=1/2. نصف معامل x سالب اثنين ومربعه أربعة، لذلك نضيف أربعة للطرفين المقسومين: (x−2)²=9/2. تذكر أن قسمة الطرف الأيمن −1 على −2 أعطت موجب نصف؛ الخطأ في هذه الإشارة سيغير العدد الذي يقع بعد تكوين المربع، حتى لو كان المربع في الطرف الأول صحيحًا.

قبل القسمة نكتب −2(x²−4x)=−1. إدخال أربعة داخل القوس يضيف إلى الطرف الأصلي −8، لأن القوس مضروب في −2. نضيف −8 للطرف الآخر أيضًا، فنحصل على −2(x−2)²=−9. بقسمة الطرفين على −2 تصبح النتيجة 9/2. كانت الإضافة إلى الصف المقسوم موجبة أربعة، بينما كانت إلى الصف الأصلي سالب ثمانية. الاسم «إضافة» لا يلزم أن يكون العدد المضاف موجبًا في كل صورة من صور المعادلة.

الصورة المكافئة للعبارة كلها هي −2(x−2)²+9. نشرها يعيد −2x²+8x+1، لأن الحد الثابت من المربع سالب ثمانية، ثم يضيف التسعة فيبقى واحد. الحلول هي x=2±√(9/2)، ويمكن كتابة الجذر 3√2/2. يعيد التعويض في الصورة المكافئة −2×9/2+9=0 للفرعين. تغير اتجاه معامل المربع في العبارة لم يفرض حذف أحد الحلين؛ تتبعنا الإشارات ثم حللنا معادلة المربع الناتجة في المجموعة المطلوبة.

غيّر الثابت مع إبقاء الجزء التربيعي نفسه

ننشئ أسرة عبارات 3x²−12x+c، حيث c عدد ثابت نختاره لكل حالة. الصورة المكتملة هي 3(x−2)²+c−12. عند c=5 نحصل على المثال الأول، وعند c=12 تصبح المعادلة 3(x−2)²=0. القيمة التي تجعل المربع صفرًا هي x=2، وتوافق علامتا الجمع والطرح القيمة نفسها. لذلك يوجد في هذه الحالة حل حقيقي مختلف واحد، وليس قيمتان لمجرد أننا نستخدم عادة رمز الفرعين عند استخراج الجذر.

عند c=15 تصبح المعادلة 3(x−2)²+3=0، ومنها (x−2)²=−1. لا يتحقق هذا في الأعداد الحقيقية التي اخترناها للدرس. يمكن مراجعة ذلك مباشرة: المربع غير سالب، وثلاثة في المربع ثم إضافة ثلاثة تبقى موجبة. نكتب «لا حل حقيقي» ونحافظ على اسم المجموعة، بدل أن نضيف إلى المقال حسابًا في مجموعة أخرى لم نحددها في المطلوب. الصورة المكتملة كشفت اختلاف الحالات بإبقاء الثابت الجديد ظاهرًا.

لاحظ أن العدد المضاف بعد القسمة بقي أربعة في الحالات الثلاث؛ معامل x لم يتغير بعد قسمة الصف على ثلاثة. الذي تغير هو العدد في الطرف الآخر بعد نقل c ثم إضافته إلى أربعة. في الحالة الأولى نحصل على 7/3، وفي الثانية صفر، وفي الثالثة سالب واحد. لا نستنتج من الاتفاق في مقدار الإضافة اتفاق الحلول، لأن الثابت الأصلي جزء من البيانات أيضًا. دفتر الحساب يسجل كلا العددين حتى لا يستبدل أحدهما بالآخر.

النشر يكشف خطأ اختيار نصف المعامل

لو أخذنا سالب ستة من المعامل الأصلي −12 وكتبنا 3(x−6)²، فإن نشره يعطي 3x²−36x+108. الحد الأوسط أصبح سالب ستة وثلاثين، ولذلك لا تصلحه إضافة ثابت جديد مهما كان مقداره. الثابت قد يغير الحد العددي فقط، ولا يحول معامل x من −36 إلى −12. هذا الفحص يميز خطأ اختيار نصف المعامل من خطأ تعويض الثابت؛ لكل منهما موضع مختلف في المعاملات الناتجة بعد النشر.

أما الصورة 3(x−2)²+5 فقد أعادت الحد الأوسط الصحيح −12x، لكنها أخطأت في الثابت كما رأينا. نضع في دفتر المراجعة ثلاثة أعمدة: معامل x²، ومعامل x، والثابت. في الصورة الصحيحة القيم 3 و−12 و5. وفي خطأ النصف يختلف العمود الثاني، وفي خطأ الثابت يختلف الثالث. المراجعة المعاملية لا تحتاج إلى اختيار عدة قيم تجريبية للمجهول؛ إنها تكشف نوع التغيير في العبارة نفسها وتساعد على تصحيح موضعه مباشرة.

يمكن استخدام التعويض كفحص سريع إلى جانب النشر. لكن إذا اتفقت عبارتان عند قيمة واحدة فهذا لا يثبت تطابقهما لكل x. مثلًا الفرق بين 3x²−12x+5 و 3x²−36x+5 هو 24x، فيساوي صفرًا عند x=0 فقط. ولو اكتفينا بتعويض الصفر لظننا أن الخطأ غير موجود. بمجرد قراءة معاملي x عند النشر ينكشف الفرق. لهذا نستخدم التعويض لمراجعة الجذور، والنشر لمراجعة صورة العبارة المكافئة، مع إبقاء غرض كل فحص واضحًا.

حافظ على الشروط حين يتغير معامل التربيع

القسمة في طريقنا الأول تعتمد على معامل تربيعي غير صفري. إذا أخذنا من الأسرة مثالًا تغير فيه هذا المعامل إلى صفر، مثل 0x²−12x+5=0، تصبح المعادلة −12x+5=0، وحلها x=5/12. لا نقسم على الصفر كي نجعل معامل x² واحدًا، لأن الحد التربيعي غاب أصلًا. هذه حالة أخرى لها معادلة خطية مباشرة، ولا تحتاج إلى العدد المضاف الذي حسبناه حين كان المعامل ثلاثة.

كذلك نحدد ما نريد من إعادة الكتابة. إذا كان المطلوب قيمة العبارة عند عدد معلوم، نستطيع استعمال أي صورة مكافئة بعد مراجعتها. وإذا كان المطلوب حلول مساواتها للصفر، نضيف مرحلة استخراج قيم x ونختبرها. في المثال الأساسي، الصورة المكتملة تعطينا عند x=2 القيمة −7، لكنها لا تقول إن اثنين حل للمعادلة، لأن القيمة هناك ليست صفرًا. توجد الحلول على جانبي اثنين بالمقدار الجذري الذي حسبناه، وهي تختلف عن القيمة التي تجعل المربع الداخلي صفرًا.

لا تكفي دائرة حول مربع في الورقة لتحديد جميع الإجابات. نسأل عن معامل المربع الخارجي، وعن الثابت الذي يقابله، وعن مجموعة الحل المطلوبة. ونقرأ الصف الذي سبق القسمة والصف الذي لحقها إذا اختلف مقدار الإضافة المكتوب. هذه التفاصيل تثبت أن الرقم في الجواب جاء من المعادلة المقصودة، وتمنع نقل حل من مثال معامل موجب إلى مثال معامل سالب أو من حالة ثابت خمسة إلى حالة ثابت خمسة عشر.

دفتر مراجعة يعيد المثال إلى أصله

يمكن إنهاء المثال الأساسي بأربعة أسطر مراجعة مستقلة: المعادلة الأصلية 3x²−12x+5=0؛ وبعد القسمة وإضافة أربعة تصبح (x−2)²=7/3؛ والصورة المكافئة للعبارة 3(x−2)²−7؛ والحلان 2±√(7/3). نعيد النشر في السطر الثالث والتعويض الدقيق في الرابع. وإذا كتبنا طريق الإضافة الأصلية، نسجل أن المضاف اثنا عشر وأن الطرف الآخر صار سبعة قبل القسمة. هكذا يبقى الانتقال بين الورقتين ظاهرًا بدل أن يبدو اختلاف الأرقام تناقضًا.

عند مراجعة حل طالب، يمكن أولًا إخفاء الجذور النهائية والنظر إلى صف الإضافة. هل زاد الطرفان بالمقدار نفسه في صورة المعادلة المستعملة؟ ثم ننظر إلى المربع: هل يعيد النشر معامل x الصحيح؟ وبعدها ننظر إلى الثابت: هل تعيد الصورة المكتملة ثابت العبارة الأصلية؟ هذه أسئلة مختلفة، ومن الأفضل فحصها بهذا الترتيب. فقد تكون صيغة الجذر مكتوبة بدقة لمعادلة تغيرت بالخطأ في صف سابق، فلا يعالج تجميل الجواب النهائي أصل المشكلة.

الهوية المرجعية تصف إعادة كتابة العبارة، ولا تمنحنا إذنًا بتغيير قيمتها أو إسقاط شرط المعامل غير الصفري. الأمثلة هنا تبين كيف نسجل العمليات ونراجعها، مع إبقاء الحل الحقيقي الدقيق منفصلًا عن التقريب العددي. ^[1]

في نهاية الدفتر نحتفظ بالفرق بين أربعة واثني عشر كأثر للمعامل ثلاثة، لا كعددين نحفظهما لأي مسألة أخرى. في المثال الكسري تحول 9/64 إلى 9/16 قبل القسمة، وفي السالب تحولت الأربعة إلى −8 في الصف الأصلي. تشترك هذه الحالات في مراجعة مقدار الإضافة عند مستوى المعادلة كله. بذلك يستطيع القارئ تغيير المعاملات، وإعادة الخطوات، واكتشاف خطأ الثابت أو النصف بالنشر بدل الاعتماد على تشابه شكل الأقواس مع مثال سابق.