نضع البؤرة على ارتفاع 6 سم، ونتتبّع 17 ثنية. سنحسب الموضع الذي تلمس فيه كل ثنية المنحنى، ثم الفجوة بين ثنيتين متجاورتين. تذكّر: منتصف القطعة المطوية ليس دائمًا نقطة التماس.
الخلاصة السريعة
- طي نقطة من الدليل على البؤرة يترك ثنية مستقيمة؛ تكرار الطي يكشف غلافًا على شكل قطع مكافئ.
- في مثالنا البؤرة F=(0,6) والدليل y=0، فيكون المنحنى y=x²/12+3.
- عند اختيار Q=(6,0)، تمس الثنية المنحنى عند T=(6,6)؛ منتصف FQ هو نقطة أخرى.
- المسافة الرأسية القصوى بين المنحنى وغلاف ثنيات متباعدة 1 سم تساوي 1/48 سم داخل النطاق المغطى، في النموذج المثالي.
جهّز الورقة وحدد مواضع الطي
تستخدم أنشطة الطي نقطة ثابتة بوصفها بؤرة وخطًا بوصفه دليلًا. طابق نقطة من الخط مع البؤرة، اضغط الثنية، ثم افتح الورقة وتتبع أثرها بالقلم. كرر ذلك عند مواضع مختلفة. هذا أصل النشاط الموضح في ورقة Texas Instruments.
لتنفيذ إحداثياتنا، ضع ورقة A4 بالعرض وارسم خطًا يبعد 2 سم عن حافتها السفلى. سمِّ نقطة منتصف هذا الخط O، واجعلها الأصل. الاتجاه الموجب لـx إلى اليمين، والموجب لـy إلى أعلى. من O اصعد 6 سم وحدد F.
علّم على الخط المواضع من −8 إلى 8 سم بفاصل سنتيمتر، وعددها 17 لأن الصفر محسوب بينها. ابدأ بـQ=(0,0)، ثم جرّب Q=(6,0) وQ=(−6,0)، وأكمل الباقي. تكفي هذه الثلاثة أولًا لتتبين اختلاف الاتجاه: ثنية أفقية ثم ثنيتان مائلتان متناظرتان.
الخط المرسوم يبعد عن حافة الورقة، لذلك طابق العلامة المختارة نفسها مع F؛ لا تطابق الحافة السفلى معها. سجل قيمة u بجوار كل أثر، حيث Q=(u,0). الأرقام في الرسم تمثل سنتيمترات على الورقة الأصلية؛ حجم الصورة على شاشة الهاتف لا يصلح مسطرة قياس.
ما العلاقة بين الثنية والقطع المكافئ؟
الثنية التي تطابق نقطتين تقع على العمود المنصف للقطعة الواصلة بينهما. نقاطها متساوية البعد عن النقطتين. أما القطع المكافئ فكل نقطة عليه متساوية البعد عن البؤرة وعن الدليل؛ والمسافة إلى الخط تقاس عموديًا عليه. يوجّه نشاط جامعة إلينوي إلى وصل هذا الإنشاء بشرط المسافتين.
في نموذجنا خذ نقطة عامة P=(x,y) على الثنية الناتجة من Q=(u,0). تساوي مربعَي PF وPQ يعطي المعادلة الأولى أدناه. افتح الأقواس واحذف x² وy² من الطرفين؛ يظهر مستقيم يتغير ميله مع u:
x² + (y−6)² = (x−u)² + y²
12y = 2ux + 36 − u²
y = (u/6)x + 3 − u²/12الفرق بين PQ وبعد P عن الدليل مهم. ما دام x مختلفًا عن u، تكون القطعة PQ مائلة، فلا تختصر إلى ارتفاع P. اختر النقطة الواقعة فوق Q مباشرة، أي عوّض x=u في معادلة الثنية:
T = (u, u²/12 + 3)إذن تقع نقاط الاختيار على المنحنى y=x²/12+3. وفيها TF=TQ، وTQ عمودية على الدليل؛ فتتحقق المسافتان المطلوبتان. لاحظ أن أدنى ارتفاع هو 3 سم عند الصفر، لا 6 سم عند ارتفاع البؤرة.
افحص خمس ثنيات قبل إكمال الرسم
| u | معادلة الثنية | نقطة التماس T |
|---|---|---|
| −6 | y=−x | (−6,6) |
| −3 | y=−x/2+2.25 | (−3,3.75) |
| 0 | y=3 | (0,3) |
| 3 | y=x/2+2.25 | (3,3.75) |
| 6 | y=x | (6,6) |
في صف u=6، منتصف القطعة FQ هو M=(3,3). يقع على الثنية y=x، لكنه لا يقع على المنحنى: عند x=3 يكون ارتفاع المنحنى 9/12+3=3.75. نقطة التماس هي T=(6,6)؛ بعدها عن F يساوي 6، وارتفاعها عن الدليل يساوي 6 أيضًا.
برهان التماس وخطأ المسافات بين الثنيات
يمكن التحقق من كلمة «تماس» دون تقريب بصري. اطرح ارتفاع الثنية من ارتفاع المنحنى عند أي x:
(x²/12+3) − [(u/6)x+3−u²/12]
= (x−u)²/12 ≥ 0الفرق لا يصبح صفرًا إلا عند x=u. إذن الثنية كلها تحت المنحنى أو عليه، وتلتقيه في نقطة واحدة. وأي تغير بسيط في x يضيف فرقًا تربيعيًا؛ لذا لا يعبر الخط إلى الجهة الأخرى من المنحنى.
عرّف غلاف الثنيات المحدودة هنا بأنه أعلى خط منها عند كل إحداثي x. المعادلة السابقة تقول إن الخط الأعلى هو صاحب قيمة u الأقرب إلى ذلك الإحداثي. بين علامتين متتاليتين تفصل بينهما مسافة h، أبعد موضع عن أقرب علامة هو المنتصف؛ وبعده h/2. لذلك أكبر فرق رأسي هو h²/48.
مع علامات كل 2 سم نستخدم تسع ثنيات بين −8 و8، ويبلغ الفرق 1/12 سم. مع علامات كل 1 سم نستخدم 17 ثنية وينخفض إلى 1/48 سم؛ أي ربع الفرق السابق. هذه حدود هندسية داخل الفترة من −8 إلى 8 فقط، ولا تشمل سمك القلم أو خطأ محاذاة الطي. خارج الفترة قد يزيد الفرق لأن أقرب ثنية تقع عند طرفها.
ما الذي اختبرناه، وما الذي تسجله أنت؟
شغّلنا نموذجًا بكسور دقيقة لثلاث وثلاثين قيمة من u، وفحصنا 81 موضعًا على كل ثنية: 2,673 مقارنة لمسافات الثنية وفرقها عن المنحنى. تحققنا كذلك من انعكاس F إلى Q والعكس في 66 فحصًا، ومن تساوي مسافات التماس بعد ثلاثة تكبيرات في 99 فحصًا.
وفي اختبار منفصل، حسبنا أعلى الثنيات مباشرة عند 321 موضعًا داخل الفترة لكل من الفواصل 1 و2 و4 سم. بلغت الفروق القصوى 1/48 و1/12 و1/3 سم، كما تتنبأ المعادلة. لم نستخدم صورة مطوية لتقدير هذه الأعداد، ولم نجرّب الطي الفعلي.
إذا نفذت النشاط، سجل موضع Q، واتجاه الثنية، وهل تمر فوقه قرب الارتفاع المحسوب لـT. اكتب ملاحظات المحاذاة والسمك منفصلة عن الحساب المثالي. لا تضع منتصف FQ على المنحنى تلقائيًا؛ مثال M يبين لماذا.