قانون بيك لمساحة مضلع شبكي: عد الداخل والحافة دون تكرار

المساحة من نقاط لا من أطوال

قد ترى مضلعًا على ورقة شبكية، فتبدأ بجمع أطوال أضلاعه. لكن هذا يحسب محيطه، ولا يعطي مساحة المنطقة التي يحيط بها. في هذا المقال نراجع سؤالًا آخر: كيف تستعمل عدد النقاط الشبكية الواقعة في الداخل وعلى الحافة لحساب مساحة مضلع له شروط محددة؟ نثبت شكلًا وإحداثيات، ثم نعد النقاط ونقارن النتيجة بحساب مساحة مستقل.

نستعمل صيغة بيك المعروفة: المساحة تساوي عدد النقاط الداخلية زائد نصف عدد نقاط الحافة ناقص واحد. تعرض مراجع CP-Algorithms و NRICH هذه العلاقة، وتوضح ورقة Tom Davis شرط المضلع البسيط ورؤوس الشبكة. سنقصر تطبيقنا على مضلع مغلق بلا تقاطع ذاتي أو ثقب، ورؤوسه بإحداثيات صحيحة في شبكة المستوى. لا يحتاج المضلع إلى أن يكون محدبًا، كما يظهر مثالنا المقعر.

الأعداد والرسوم التالية مؤلفة للشرح، وليست حدود قطعة أرض أو نتيجة قياس من صورة. نتعامل مع وحدة مربعة في شبكة معلنة، ونفصل النقطة من الخانة التي حولها. الهدف أن يستطيع القارئ مراجعة قائمة النقاط، لا أن يستنتج عددها من لون مساحة أو من سماكة خط مطبوع. سنستخدم مثالًا ثانيًا مائل الحافة لاختبار هذا الفصل أيضًا.

صيغة وشروط بيك، برهان وشروط الثقوب، الورقة التعليمية.

ما المقصود بنقطة شبكية؟

نرسم محورين ونختار النقاط التي يكون إحداثياها عددين صحيحين. النقطة ذات س تساوي اثنين وص تساوي ثلاثة نقطة شبكية، وكذلك نقطة الأصل ذات الإحداثيين صفرًا. أما نقطة عند س تساوي نصفًا وص تساوي واحدًا فلا تدخل شبكة الأعداد الصحيحة التي حددناها. يمكن أن تقع هذه النقطة على خط في الرسم، لكن وقوعها عليه لا يجعل إحداثياتها صحيحة.

وجود نقطة على الحافة لا يشترط أن تكون رأسًا. ضلع مستقيم من الأصل إلى س تساوي ستة وص تساوي صفرًا يمر بسبع نقاط شبكية، منها رأسان وخمس نقاط بينهما. لهذا لا نضع عدد الرؤوس بدل عدد نقاط الحافة في الصيغة. الرؤوس تصف تغير اتجاه الأضلاع، بينما النقاط الشبكية على تلك الأضلاع قد تكون أكثر عددًا بكثير.

ونميز النقاط الداخلية بأنها تقع داخل المنطقة تمامًا، دون لمس الحد. إذا كان أحد إحداثيي النقطة يوافق خط حافة فعليًا، نراجع موقعها على القطعة قبل تصنيفها. امتداد خط الحافة خارج القطعة ليس حافة للمضلع. وفي المثال المقعر ستظهر نقاط داخل مستطيل يحيط بالرسم لكنها خارج المنطقة المختارة؛ المستطيل المساعد لا يقرر وحده العضوية.

مضلع مقعر له ستة رؤوس

نعطي الرؤوس بالتتابع حول الحد: الأول عند صفر وصفر، والثاني عند ستة وصفر، والثالث عند ستة وأربعة، والرابع عند ثلاثة وأربعة، والخامس عند ثلاثة واثنين، والسادس عند صفر واثنين. ثم نعود إلى الرأس الأول لإغلاق الحد. لا نرتب الرؤوس بحسب الإحداثي الأفقي؛ ترتيب الاتصال جزء من تعريف الشكل، وتغييره عشوائيًا قد ينتج مضلعًا آخر أو خطوطًا متقاطعة.

الشكل الناتج يشبه منطقة درجات: مستطيل سفلي بعرض ستة وارتفاع اثنين، وفوق قسمه الأيمن مستطيل بعرض ثلاثة وارتفاع اثنين. الركن عند ثلاثة واثنين ركن مقعر، لكن الحد لا يتقاطع مع نفسه. لا يوجد ثقب داخل المنطقة؛ الجزء العلوي الأيسر المستبعد متصل بالخارج، وليس جزيرة فارغة يحيط بها المضلع من جميع الجهات.

تعرض الصورة الرئيسية جميع نقاط الشبكة في المستطيل المحيط، وتلون الداخلية والحافة بألوان مختلفة. وجود نقاط رمادية في الجزء المستبعد يساعد على رؤية الفرق بين الداخل الهندسي وبين مجرد الوجود داخل مجال الإحداثيات. نحتاج القائمة المحددة والرسم معًا، لأن عد كل النقاط بين صفر وستة وبين صفر وأربعة سيشمل نقاطًا خارج المنطقة المطلوبة.

عد الداخل بحسب الصفوف

نبدأ بالصف الأفقي عند ص تساوي واحدًا. تقع النقطتان عند س تساوي صفرًا وستة على الحافتين، وتوجد خمس نقاط داخلية بينهما: س تساوي واحدًا واثنين وثلاثة وأربعة وخمسة. لا نحسب نقطتي الطرف ضمن الداخل، رغم أنهما تنتميان إلى المنطقة المغلقة. هذا الصف يعطي خمسة من العدد الداخلي الذي سنرمز له بالحرف I.

عند ص تساوي اثنين، يقع الجزء من س صفر إلى ثلاثة على الحافة الأفقية في الركن المقعر. النقطتان عند س أربعة وخمسة داخليتان، والنقطة عند س ستة على الحافة اليمنى. وعند ص تساوي ثلاثة تبقى نقطتا أربعة وخمسة داخليتين، بينما ثلاثة وستة على الحافتين. النقطتان عند س واحد واثنين في هذا الصف خارج المضلع، فلا تدخلان أيًا من عددي الداخل والحافة.

الصف عند ص صفر حافة سفلية، والصف عند ص أربعة لا يحمل نقاطًا داخلية؛ جزؤه من ثلاثة إلى ستة حافة علوية. لذلك العدد الداخلي يساوي خمسة زائد اثنين زائد اثنين، أي تسع نقاط. يمكن كتابة النقاط التسع صراحة ثم التحقق منها في الصورة. هذا العد يعتمد على موضع كل نقطة، ولا يستنتج أن الصف الأفقي كله داخل الشكل لأنه قطع منه جزءًا.

عشرون نقطة على الحد لا ستة

نعد الحافة بحسب الصفوف حتى لا تتكرر الرؤوس. الصف عند ص صفر يحوي سبع نقاط على الضلع السفلي، من س صفر إلى ستة. الصف عند ص واحد يحوي نقطتين حدّيتين، عند صفر وستة. الصف عند ص اثنين يحوي خمسًا: صفر وواحد واثنان وثلاثة على القطعة الأفقية الداخلية الاتجاه، وستة على الحافة اليمنى. تسمية القطعة داخلية الاتجاه لا تعني أنها داخل المنطقة؛ إنها جزء من الحد المقعر.

الصف عند ص ثلاثة يحوي نقطتين حدّيتين، عند ثلاثة وستة. والصف عند ص أربعة يحوي أربع نقاط، من ثلاثة إلى ستة. المجموع سبعة زائد اثنين زائد خمسة زائد اثنين زائد أربعة، أي عشرون. هذا العدد B يختلف من عدد الرؤوس الستة، لأن كثيرًا من النقاط يقع بين الرؤوس. لا نحتاج إضافة الرأس المقعر مرة ثانية لمجرد أن ضلعين يلتقيان عنده.

تستطيع إجراء عد آخر بالسير حول الحافة، لكن عليك منع تكرار كل رأس مشترك بين ضلعين. في مثال الأضلاع الموازية للمحاور، تعطي أطوال الخطوات الشبكية الستة 6 و 4 و 3 و 2 و 3 و 2، ومجموعها عشرون إذا نسبنا لكل قطعة نقطة بدايتها وما قبل نهايتها. سنطبق الفكرة على ضلع مائل لاحقًا بدل افتراض أن عدد خطواته طول مادي مقرب.

تعويض العددين والتحقق بمستطيلين

صار لدينا I يساوي تسعة، و B يساوي عشرين. نعوض في صيغة بيك فنحصل على تسعة زائد نصف عشرين ناقص واحد. نصف العشرين عشرة، ولذلك المساحة ثماني عشرة وحدة مربعة. لا نضيف الرؤوس مرة أخرى؛ هي دخلت عدد الحافة بالفعل، كما لا نخلط نصف نقاط الحافة بنصف المحيط الذي يقاس بوحدات طول.

نراجع النتيجة بطريقة مستقلة من عد النقاط. المستطيل السفلي مساحته ستة في اثنين، أي اثنتا عشرة وحدة مربعة. والمستطيل العلوي الأيمن مساحته ثلاثة في اثنين، أي ست وحدات مربعة. داخلاهما لا يتداخلان، وخط التماس بينهما لا يضيف مساحة، فيكون المجموع ثماني عشرة. يمكن أيضًا أخذ المستطيل الكامل ذي المساحة أربع وعشرين وطرح الجزء العلوي الأيسر ذي المساحة ست.

توافق الطرق الثلاث في هذا المثال يزيد وضوح الحساب، لكنه لا يجعل عدًا غير موثق صحيحًا تلقائيًا. إذا حصلت على عشرين بدل ثماني عشرة، راجع الداخل والحافة والرؤوس والوحدة. وإذا تغير شكل الاتصال بين الرؤوس، أعد تعريف المنطقة قبل مقارنة النتائج؛ لا تستخدم مساحة مستطيلين يصفان الرسم القديم للتحقق من مضلع جديد.

ماذا يقع على الحافة المائلة؟

نختار مثلثًا آخر رؤوسه عند صفر وصفر، وخمسة وصفر، واثنين وثلاثة. ضلعاه المائلان لا يجعلان رؤوسه خارج الشبكة؛ جميع إحداثيات الرؤوس صحيحة. مساحة المثلث من قاعدة طولها خمسة وارتفاع ثلاثة تساوي سبعًا ونصف وحدة مربعة. وجود نصف في المساحة لا يخالف شرط الشبكة، لأن الشرط يتعلق بالرؤوس لا بضرورة أن تكون المساحة عددًا صحيحًا.

على الضلع من خمسة وصفر إلى اثنين وثلاثة، نجد النقاط خمسة وصفر، وأربعة وواحد، وثلاثة واثنان، واثنين وثلاثة. التغير الأفقي سالب ثلاثة والرأسي ثلاثة، ويمكن تقسيمه إلى ثلاث خطوات صحيحة، كل واحدة سالب واحد وواحد. أما الضلع من الأصل إلى اثنين وثلاثة فلا يمر بنقطة صحيحة الإحداثيين بين طرفيه. ظهور علامات شبكية قريبة من الخط لا يعني أنها عليه.

القاعدة من صفر إلى خمسة تحمل ست نقاط، لكن رأسيها مشتركان مع الضلعين الآخرين. قائمة النقاط الفريدة على الحد تحمل تسع نقاط إجمالًا. في هذا المثال تساعد الإحداثيات والمعادلات الدقيقة أكثر من النظر إلى رسم صغير. لا نقدر تلامس نقطة بالخط من بكسلات الصورة، بل نراجع كونها تقع على القطعة المحددة.

أربع نقاط داخل مثلث مائل

عند الصف ص تساوي واحدًا، يمر الحد الأيسر عند س تساوي ثلثين، ويمر الحد الأيمن عند س تساوي أربعة. تقع ثلاث نقاط صحيحة داخلية بينهما، هي واحد وواحد، واثنان وواحد، وثلاثة وواحد. النقطة أربعة وواحد على الحافة اليمنى، لا في الداخل، والنقطة صفر وواحد خارج المثلث. هكذا يعطي الصف ثلاثة للعدد الداخلي.

عند ص تساوي اثنين، يقع الحد الأيسر عند س تساوي أربعة أثلاث، والأيمن عند س تساوي ثلاثة. توجد نقطة داخلية واحدة هي اثنان واثنان، بينما ثلاثة واثنان حدّية. أما الصف الأعلى عند ثلاثة فلا يحمل إلا الرأس اثنين وثلاثة. صار العدد I أربعة، وعدد الحافة B تسعة، فتكون مساحة بيك أربعة زائد أربعة ونصف ناقص واحد، أي سبعًا ونصف.

هذا المثال يراجع احتمال المساحة النصفية ويظهر خطأ شائعًا: عد النقطة الحدّية الرابعة في صف واحد ضمن الداخل. إذا فعلنا ذلك سنزيد المساحة المحسوبة بوحدة كاملة، مع بقاء شكل الرسم نفسه. لذلك نكتب حالة النقطة بجانب إحداثياتها، ونميز النقطة الشبكية الداخلية من تقاطع خط حافة مع صف لا يقع بالضرورة عند عدد صحيح.

عرض الرسم بالحجم الكامل

خطوة مشتركة تمنع عد رؤوس مرتين

للقطعة التي تصل رأسين شبكيين، نأخذ فرق الإحداثيين الأفقي والرأسي بالقيم المطلقة. عدد الفواصل الشبكية بين نقاط القطعة يساوي القاسم المشترك الأكبر لهذين الفرقين. في الضلع ذي الفرقين ثلاثة وثلاثة، العدد ثلاثة؛ وفي الضلع ذي الفرقين اثنين وثلاثة، العدد واحد. أما الضلع الأفقي ذي فرق ستة وصفر، فالعدد ستة. هذه الأعداد تصف فواصل لا نقاطًا مع الطرفين.

يمكن مراجعة القاعدة من الخطوة الصحيحة الأصغر على اتجاه القطعة: نقسم الفرقين على القاسم المشترك، ثم نكرر هذه الخطوة حتى الطرف الآخر. ثلاث فواصل تعطي أربع نقاط إذا شملنا طرفي القطعة المنفردة. لكن حين نسير حول مضلع مغلق، فإن نهاية قطعة بداية التالية. جمع عدد الفواصل لكل ضلع يحسب كل نقطة على الحافة مرة واحدة، دون إضافة عدد الرؤوس لاحقًا.

في المثلث مجموع الفواصل خمسة وثلاثة وواحد، أي تسعة. وفي المضلع المقعر مجموعها عشرون كما سبق. نستعمل هذا فحصًا إضافيًا لقائمة نقاط الحافة التي عددناها مستقلًا، لا بديلًا عن شروط المضلع السليم. الأضلاع الصفرية أو ترتيب رؤوس ينتج تقاطعًا يحتاجان مراجعة التعريف أولًا؛ نجاح جمع أعداد لا يصادق على صلاحية المنطقة الهندسية.

نقل الشبكة وعكس اتجاه السير

ننقل المضلع المقعر بمقدار ثماني وحدات أفقيًا وسالب خمس رأسيًا. يصبح كل رأس بإحداثيين صحيحين جديدين، وتنتقل معه نقاط الداخل والحافة. بقيت تسع نقاط داخلية وعشرون حدّية، وبقيت المساحة ثماني عشرة. هذا تحويل معلوم يحافظ على الفروق والمساحات، وليس إعادة تقريب صورة إلى شبكة أخرى بعد تحريكها في برنامج رسم.

يمكن كذلك عكس الإحداثي الأفقي، فتصبح قيمه سالبة دون أن يخرج الشكل من شبكة الأعداد الصحيحة. تبقى أعداد النقاط والمساحة كما كانت. كما أن السير حول الرؤوس بالترتيب المعكوس يصف الحد نفسه في الاتجاه الآخر، فلا يغير الداخل والحافة. أما تبديل ترتيب الرؤوس عشوائيًا فلا نساويه بعكس السير؛ قد يغير اتصال القطع أو يسبب تقاطعًا ذاتيًا.

الانتقال بنصف وحدة لا يقدم المثال نفسه على الشبكة الصحيحة التي ثبتناها، لأن الرؤوس الجديدة لا تقع بالضرورة عند إحداثيات صحيحة. يمكن تعريف مرجع آخر للشبكة، لكن يجب ذكره وإعادة النظر في النقاط بالنسبة إليه. لا نأخذ عدد نقاط شبكة قديمة ثم نستعمله تلقائيًا لمساحة شكل وصفناه بإحداثيات على مرجع مختلف.

التكبير يغير الداخل والوحدة المربعة

نكبر إحداثيات المضلع المقعر بمعامل اثنين، مع بقاء شبكة الوحدة الأصلية. تضاعفت الأطوال وصارت المساحة اثنين وسبعين، أي أربعة أمثال ثماني عشرة. وعدد نقاط الحافة صار أربعين لأن فواصل كل ضلع تضاعفت. لكن العدد الداخلي لم يصبح ثماني عشرة أو ستًا وثلاثين؛ عد الشبكة الجديدة داخل الشكل المكبر يعطي ثلاثًا وخمسين نقطة.

نحافظ في التعويض على العدد الداخلي الذي عددناه، وهو ثلاث وخمسون، ثم نضيف نصف الأربعين ونطرح واحدًا، فنحصل على اثنتين وسبعين. هذه المقارنة توضح لماذا لا نضرب كل عدد في الصيغة بمعامل واحد دون مراجعة. نقاط شبكية جديدة تظهر بين النقاط التي كانت موجودة، واحتساب الداخل يتبع المنطقة المكبرة على الشبكة نفسها.

إذا كانت خطوة الشبكة تمثل مترين أفقيًا ورأسيًا، فالوحدة المربعة الواحدة تمثل أربعة أمتار مربعة. مساحة الأصل ثماني عشرة وحدة مربعة تمثل حينها اثنين وسبعين مترًا مربعًا، لكن هذا تفسير وحدة معلنة، يختلف من تكبير الإحداثيات على شبكة ثابتة. نحدد هل تغير الشكل أم وحدة القياس قبل قراءة العدد نفسه بوصفه تجربة واحدة.

ثقوب وتقاطع ورؤوس خارج الشبكة

الشروط التي ثبتناها لها أثر فعلي، فلا نحذفها بعد تعلم الصيغة. مثال مثلث رؤوسه الأصل، وواحد وصفر، وصفر ونصف، مساحته ربع وحدة مربعة. فيه نقطتان شبكيتان على الحافة ولا نقاط شبكية داخلية، فيعطي التعويض العادي صفرًا. السبب أن الرأس الأخير ليس صحيح الإحداثيين على شبكتنا؛ الشكل خارج الشروط، فلا نسمي هذا نقضًا لقانون بيك.

وفي مثال آخر نأخذ مربعًا خارجيًا من صفر إلى أربعة في المحورين، ونفرغ مربعًا داخليًا من واحد إلى ثلاثة. مساحة المنطقة المتبقية اثنتا عشرة. لا توجد نقاط شبكية في داخل هذه المنطقة المفتوح بين الحدين، وعدد نقاط حدّيها معًا أربع وعشرون. الصيغة العادية تعطي إحدى عشرة، لكنها ليست صيغة الشكل الذي له ثقب. نكتفي هنا بإظهار أن شرط غياب الثقب لازم لنطاق مقالنا.

كذلك لا نختار شكلًا تتقاطع أضلاعه ثم نجمع نقاطه وكأنه يحيط بمنطقة بسيطة محددة. وقد ينتج هذا من ترتيب خاطئ لرؤوس صحيحة. نراجع الإغلاق وعدم التقاطع وغياب الثقوب وصحة الإحداثيات قبل الحساب. لا نقدم في هذا الشرح تعميمًا لكل منطقة مثقوبة أو متقاطعة، ولا سياسة لعد المساحات المتداخلة التي قد يحتاجها سؤال آخر.

كيف تحققنا وما الذي بقي خارج الفحص؟

عددنا النقاط الصحيحة في المستطيل المحيط بالمثالين، وفصلنا الحافة باختبار وقوع النقطة على القطعة. ثم اختبرنا الداخل بمرجع عبور شعاع يستعمل كسورًا دقيقة بدل تقريب تقاطعات الخطوط. حسبنا المساحة كذلك من فروق جداءات الرؤوس، وراجعنا الحافة بمجموع الفواصل المشتركة. توافق هذه النتائج مع العد اليدوي والتقسيم المستطيلي في المثال المقعر.

وفحصنا عائلة من 420 مضلعًا مقعرًا مشابه البناء، بعروض من اثنين إلى ثمانية وارتفاعات من اثنين إلى ستة، مع أحجام مختلفة للجزء المستبعد. لكل شكل قارنّا نقاط الداخل والحافة والمساحة الإحداثية بتقسيم مستطيلي مستقل. جربنا أيضًا النقل والانعكاس وعكس السير والتكبير في مثالنا المعلن. هذه تجارب محدودة على أشكال صحيحة معلومة، ولا تمثل برهانًا تجريبيًا على جميع المضلعات الممكنة.

قبل اعتماد نتيجة جديدة، احفظ الرؤوس بترتيبها والشبكة والوحدة، ثم قائمة نقاط الداخل والحافة أو طريقة عد موثقة. راجع رأسًا ونقطة وسط ضلع ونقطة قرب ركن مقعر. بعد ذلك عوض العددين وقارن بمساحة مستقلة إن كانت متاحة. يصبح القانون وسيلة حساب مفهومة: مساحة منطقة مناسبة للشروط، من نقاط شبكة محددة، مع معرفة أين انتهى المثال وأين تحتاج مسألة أخرى تعريفًا جديدًا.