المسافة إلى قطعة مستقيمة: تقييد الإسقاط واختيار الطرف الأقرب

القطعة تنتهي والخط يستمر

عند السؤال عن المسافة بين نقطة وقطعة مستقيمة، نريد أقصر طول يصل النقطة بموضع مسموح على القطعة، بما في ذلك طرفاها. أما الخط الذي يحمل القطعة فيستمر في الاتجاهين، وقد يقع عليه قدم عمود خارج الجزء المحدد. لذلك لا تكفي معرفة المسافة العمودية إلى الخط؛ نحتاج أن نراجع هل الموضع الأقرب على الخط جزء من القطعة أم امتداد خارجها.

نعرف القطعة بطرفين A و B ونقطة مستقلة P، جميعها في مستوى ديكارتي بوحدة طول واحدة للمحورين. نريد إحداثيات نقطة أقرب نسميها Q والمسافة من P إليها. نستعمل الإسقاط ثم تقييد معامله بالطرفين، وهو المنهج المعروف الذي يعرضه David Eberly في وثيقة Geometric Tools. أما الإحداثيات والحسابات والفحوص التالية فمؤلفة لهذا الشرح.

سنبدأ بقطعة مائلة تكون قدم العمود في داخلها، ثم نحرك نقطة السؤال إلى موضع يجعل الطرف أقرب. نراجع كذلك القطعة التي يتطابق طرفاها، وحالات أفقية ورأسية. لا نستخرج الأرقام من صورة مرسومة؛ الشكل يعرض بيانات معلنة نتحقق منها بالحساب، ولا يمثل طريقًا أو حافة عقار تحتاج قياسًا خارجيًا أو مرجعًا جغرافيًا.

مرجع الإسقاط ومجال القطعة.

وصف الموضع بمعامل واحد

متجه الاتجاه من A إلى B هو فرق إحداثي النهاية من البداية. إذا أخذنا A وزدنا إليها هذا المتجه مضروبًا في معامل t، حصلنا على نقطة على الخط الحامل. عندما يكون t صفرًا تكون النقطة A، وعندما يكون واحدًا تكون B. وبين الصفر والواحد يتحرك الموضع على القطعة، مع شمول الطرفين. القيمة السالبة تمتد قبل A، وما فوق الواحد يمتد بعد B.

المعامل ليس مسافة بوحدة متر، بل نسبة تتعلق بمتجه الاتجاه كله. إذا كان منتصف القطعة يحمل معامل نصف، فهذا لا يعني أنه يبعد نصف وحدة عن البداية. المسافة التي يقطعها من البداية هي نصف طول القطعة. ونحتاج هذا الفصل عند تفسير العدد سبعة أعشار لاحقًا؛ سنضرب الاتجاه به، لا نضيفه إلى الإحداثي الأفقي وحده.

نستخدم في المقال معاملًا أوليًا على الخط ومعاملًا مقيدًا للقطعة. الأول قد يكون خارج المجال المسموح، والثاني يقع بين صفر وواحد. حفظ الاثنين في المثال يبين لماذا تغيرت النقطة الأقرب؛ الاكتفاء بمعامل نهائي واحد قد يخفي أن قدم العمود كانت خارج القطعة أصلًا، رغم أن الناتج النهائي صالح ومحدد.

الإسقاط ثم تقييد المجال

حين يختلف الطرفان، نحسب المعامل الأولي بقسمة الجداء القياسي بين متجه A إلى P ومتجه A إلى B على مربع طول متجه A إلى B. مربع الطول هو مجموع مربعي مركبتي الاتجاه، وهو موجب في هذه الحالة. الجداء القياسي يجمع حاصل ضرب المركبتين الأفقيتين وحاصل ضرب المركبتين الرأسيّتين؛ لا نأخذ القيم المطلقة للمركبات قبل هذا الجمع.

نقيد الناتج بعد ذلك: المعامل الأقل من صفر يصبح صفرًا، والمعامل الأكبر من واحد يصبح واحدًا، وما بينهما يبقى كما هو. نحسب Q بإضافة الاتجاه مضروبًا في المعامل المقيد إلى A. ثم نحسب مربع المسافة من فروق إحداثيات P و Q، وإذا أردنا طولًا نأخذ الجذر التربيعي. هذا التسلسل يجيب عن القطعة المغلقة التي عرّفناها، لا عن خط أو شعاع مختلف.

من المهم ألا نؤخر فحص تطابق الطرفين إلى ما بعد القسمة؛ عند التطابق يصير مربع الاتجاه صفرًا. سنضع لهذه الحالة تعريفًا واضحًا لاحقًا. كما لا نحذف الطرفين من المجال لمجرد أنهما حدود؛ أقرب نقطة قد تكون أحدهما بالضبط، والسؤال عن قطعة مغلقة يشملهما كما يشمل كل نقطة بينهما.

مثال مائل بخطوة سبعة أعشار

نختار A عند الإحداثيين واحد وواحد، و B عند خمسة وثلاثة، و P عند ثلاثة وأربعة. متجه الاتجاه يساوي أربعة واثنين، ومربع طوله ستة عشر زائد أربعة، أي عشرين. متجه A إلى P يساوي اثنين وثلاثة. الجداء القياسي يساوي اثنين في أربعة زائد ثلاثة في اثنين، أي أربعة عشر، فيكون المعامل الأولي أربعة عشر على عشرين، أو سبعة أعشار.

العدد بين صفر وواحد، فلا يغيره تقييد المجال. نضيف إلى A سبعة أعشار متجه الاتجاه، فنحصل على إحداثي أفقي واحد زائد ثمانية وعشرين عُشرًا، أي تسعة عشر على خمسة. والإحداثي الرأسي واحد زائد أربعة عشر عُشرًا، أي اثنا عشر على خمسة. إذن Q عند ثلاثة وثمانية أعشار، واثنين وأربعة أعشار، وهي على القطعة نفسها.

فرق P من Q يساوي سالب أربعة أخماس أفقيًا وثمانية أخماس رأسيًا. مربع المسافة ستة عشر على خمسة وعشرين زائد أربعة وستين على خمسة وعشرين، أي ستة عشر على خمسة. طول المسافة هو جذر هذه القيمة، ويساوي أربعة على جذر خمسة. هذا طول محدد بالوحدة التي اخترناها، ولا نحول قيمة المعامل سبعة أعشار إلى المسافة نفسها.

تحقق من الداخل والعمودية

نتحقق أولًا من أن Q تقع على القطعة: هي A مضافًا إليها سبعة أعشار الاتجاه، ومعاملها صالح. ونراجع العمودية بضرب متجه Q إلى P في اتجاه القطعة. حاصل الضرب هو سالب أربعة أخماس في أربعة زائد ثمانية أخماس في اثنين، فيكون سالب ستة عشر على خمسة زائد ستة عشر على خمسة، أي صفرًا. هذا توافق هندسي مع حالة إسقاط داخلية.

لكن العمودية وحدها لا تصادق على سؤال القطعة؛ قدم خارجها قد تكون عمودية أيضًا. لذلك جمعنا في التحقق بين وقوع المعامل في المجال والجداء الصفري. في مثالنا أقرب طرف من P هو B، ومربع المسافة إليه يساوي خمسة، بينما مربع المسافة إلى A يساوي ثلاثة عشر. القيمة ستة عشر على خمسة أصغر من الخمسة ومن الثلاثة عشر، ففحص الطرفين يتفق مع اختيار نقطة داخلية.

المقارنة بمربعات المسافات تكفي لترتيب هذه الأطوال غير السالبة، فلا نحتاج تقريب الجذور لمعرفة الأقصر. إذا استعملنا قيمة عشرية للعرض، نفصلها من الكسور الدقيقة التي حسبناها. تطابق رقم مقرب مع رقم آخر لا يثبت بالضرورة تساوي الأصلين؛ هنا اخترنا الكسور كي يبقى فحص التعامد والحدود والمقارنة حسابًا دقيقًا في المثال.

عندما تقع القدم بعد النهاية

نبقي A و B كما هما، لكن نختار P عند ثمانية وثلاثة. متجه A إلى P صار سبعة واثنين، والجداء مع الاتجاه يساوي ثمانية وعشرين زائد أربعة، أي اثنين وثلاثين. بقسمته على عشرين نحصل على ثمانية أخماس، وهو أكبر من واحد. قدم العمود على الخط تقع بعد B، ولذلك لا يصح اعتمادها نقطة أقرب على القطعة.

نقيد المعامل إلى واحد فتكون Q هي B، عند خمسة وثلاثة. الفارق من B إلى P ثلاثة وصفر، لذلك المسافة إلى القطعة ثلاثة ومربعها تسعة. أما القدم غير المقيدة فتقع عند سبعة وأربعة أعشار، وأربعة واثنين أعشار. مربع المسافة إليها تسعة أخماس، وهو أقل من تسعة، لكنه يخص موضعًا غير مسموح داخل السؤال المحدد.

في هذه الحالة لا تكون القطعة من Q إلى P عمودية على اتجاه A إلى B؛ جداؤها معه اثنا عشر. غياب العمودية لا يجعل الاختيار خاطئًا، لأننا وصلنا إلى نهاية المجال المسموح. إذا أصررنا على قدم عمودية في كل حالة فسوف نغير السؤال إلى خط كامل، ونقبل نقطة خارج القطعة التي طلبنا المسافة إليها.

عندما تقع القدم قبل البداية

نختار الآن P عند سالب اثنين وواحد، مع الطرفين المائلين نفسيهما. متجه A إلى P يساوي سالب ثلاثة وصفر، وجداؤه مع الاتجاه سالب اثني عشر. المعامل الأولي سالب ثلاثة أخماس، فيقع الموضع غير المقيد قبل A. نعيد المعامل إلى صفر، فتكون أقرب نقطة مسموحة هي A، والمسافة إليها ثلاثة ومربعها تسعة.

هذه الحالة لا تعالج بأخذ القيمة المطلقة للمعامل. لو حولنا سالب ثلاثة أخماس إلى موجب ثلاثة أخماس، لاخترنا نقطة داخل القطعة ليست جواب المسألة. الإشارة تحمل معلومة عن جهة الإسقاط، ويستعملها التقييد لاختيار البداية. أما طول المسافة نفسه فيخرج غير سالب من جذر مجموع المربعات بعد اختيار النقطة الصحيحة.

وعند المعامل صفر بالضبط يكون الإسقاط في A، وعند واحد بالضبط يكون في B. لا يلزم اختيار بين إجابتين مختلفتين عند هذين الحدين؛ النقطة الداخلية التي تصل الحد هي الطرف نفسه. نذكر طريقة التصنيف في سجل الفحص، مع المحافظة على الإحداثيات والمسافة، لأن تسمية الحالة لا تغير النقطة الهندسية التي حسبناها.

ثلاث نقاط حول قطعة أفقية

لتبسيط رؤية الحدود، نختار قطعة من الأصل إلى أربعة وصفر. النقطة الوسطى P عند اثنين وثلاثة تسقط عند اثنين وصفر، بمعامل نصف. هذه قدم داخلية، ومسافتها ثلاثة. النقطة اليمنى عند ستة واثنين تسقط على الخط عند ستة وصفر، بمعامل ثلاثة أنصاف، لكن أقرب نقطة على القطعة هي النهاية أربعة وصفر، ومسافتها جذر ثمانية.

النقطة اليسرى عند سالب واحد واثنين لها إسقاط أولي عند سالب واحد وصفر، بمعامل سالب ربع. أقرب نقطة على القطعة هي البداية صفر وصفر، ومربع المسافة إليها خمسة. على الخط الكامل تبعد النقطتان اليمنى واليسرى مسافة اثنتين فقط، لكن النقطتين اللتين تحققان هاتين المسافتين خارج القطعة. الرسم الثاني يميز امتداد الخط من الجزء المسموح.

في هذا المثال لم نستخدم ميل خط مائل أو معادلة عامة للمستقيم؛ الطرح والجداء كافيان مع العقد نفسه. تقطع الصورة عند الطرفين جزءًا واضحًا، وتعرض القدم غير المقيدة بلون أهدأ من نقطة الاختيار على القطعة. لا نختار طرفًا لأنه يبدو أقرب على شاشة صغيرة؛ معاملات النصف وثلاثة أنصاف وسالب الربع تعلن الحالات حسابيًا.

عرض الرسم بالحجم الكامل

إذا تطابق الطرفان

عندما يكون A و B النقطة نفسها، لا توجد قطعة باتجاه غير صفري نُسقط عليه. المجموعة المسموح بها نقطة واحدة، وهذه هي Q في سؤال أقرب نقطة. نختار في مثال منفصل الطرفين عند واحد واثنين، و P عند أربعة وستة. الفروق ثلاثة وأربعة، فيكون مربع المسافة خمسة وعشرين، والطول خمسة، دون قسمة على مربع اتجاه يساوي صفرًا.

لا نحتاج اختراع اتجاه للمجموعة أو تمديدها إلى خط كي نستعمل قانونًا غير مناسب. نسجل أن المعامل الأولي غير معرف في هذه الحالة، ويمكن أن نستعمل معاملًا نهائيًا اصطلاحيًا صفرًا في تمثيلنا لأن أي معامل سيعيد الموضع نفسه. هذا اختيار للتمثيل، بينما النقطة الأقرب والمسافة محددتان من الإحداثيات المعطاة دون هذا الاصطلاح.

التنفيذ الذي استعملناه للفحوص يفصل حالة التطابق قبل الإسقاط، ويعيد تسمية نقطة واحدة. هذه السياسة ليست رخصة لاعتبار أي قطعة قصيرة مقربة منعدمة الطول؛ أمثلتنا بأعداد صحيحة وكسور دقيقة. إذا جاءت البيانات من قياس أو حساب عشري، يحتاج البرنامج إلى عقد واضح للدقة والمقارنة، ولا يضيف المقال عتبة تقريب عالمية لم نختبرها.

مرجع الاستعلام الرسمي.

لماذا يختار التقييد هذه النقطة؟

نراجع حساب المثال المائل من زاوية أخرى. إذا أخذنا أي معامل t على الخط، كانت فروق P من موضعه اثنين ناقص أربعة t، وثلاثة ناقص اثنين t. مجموع مربعي الفرقين يساوي ثلاثة عشر ناقص ثمانية وعشرين t زائد عشرين t تربيعًا. بإكمال المربع يصبح عشرين مضروبًا في مربع الفرق بين t وسبعة أعشار، زائد ستة عشر على خمسة.

الجزء المربع غير سالب، وأصغر قيمة له عند سبعة أعشار. هذه قيمة مسموحة في القطعة، ولذلك تعطي النتيجة التي حسبناها. لو كان مركز المربع بعد واحد، فإن أقرب قيمة مسموحة إليه هي واحد؛ ولو كان قبل صفر، فهي صفر. هذه مراجعة لمعنى التقييد على مجال مغلق، لا قاعدة تختار الطرف الأقرب بمجرد مقارنة إحداثي أفقي من دون الاتجاه.

في مثال P عند ثمانية وثلاثة، يتكون مربع المسافة من عشرين مضروبًا في مربع الفرق بين t وثمانية أخماس، زائد تسعة أخماس. لأن المجال ينتهي عند واحد، لا يمكن الوصول إلى مركز المربع داخل القطعة. لذلك اختيار واحد يقلل المسافة على هذا المجال. الحساب يفسر لماذا تظل المسافة إلى القطعة أكبر من المسافة إلى خطها في الحالة المذكورة.

عكس الطرفين لا يغير القطعة

لو عكسنا ترتيب A و B، تبقى المجموعة الهندسية نفسها، لكن يبدأ وصف المعامل من الطرف الآخر. في المثال الداخلي يصبح المعامل ثلاثة أعشار بدل سبعة أعشار، ويصل إلى Q نفسها. فالمعامل الجديد يساوي واحدًا ناقص القديم في القطعة غير المنعدمة. قد تتغير تسمية بداية أو نهاية حين نعيد الترتيب، لكن الموضع الأقرب والطول لا يتغيران.

وننقل المثال بمقدار ثماني وحدات أفقيًا وسالب خمس رأسيًا، فتتغير إحداثيات جميع النقاط بالمقدار نفسه. تبقى فروق الإحداثيات والجداءات والمعامل والمسافة كما كانت. كما أن قطعة رأسية من واحد وصفر إلى واحد وخمسة، مع P عند أربعة وثلاثة، تعطي معامل ثلاثة أخماس وقدمًا عند واحد وثلاثة ومسافة ثلاثة. لا تحتاج الصيغة إلى ميل معرف لخط رأسي.

وعند مضاعفة جميع الإحداثيات في المثال المائل، يبقى المعامل سبعة أعشار، ويتضاعف طول المسافة، ويتضاعف مربعه أربع مرات. هذه تغييرات معلنة يمكن التحقق منها، وليست خلطًا بين وحدتي المحورين. إذا كان أحد المحورين بالمتر والآخر بوحدة مختلفة، نحتاج تحويلًا إلى مقياس متوافق قبل استعمال مجموع مربعي الفروق كمسافة إقليدية.

مربع المسافة وطريقة مقارنة النتائج

الناتج ستة عشر على خمسة في مثالنا مربع مسافة، وليس طولًا مباشرًا. نكتب الوحدة المربعة عند عرضه، ثم نكتب جذر القيمة بوحدة طول إذا احتجنا المسافة نفسها. هذا الفصل يمنع نقل الرقم ثلاثة واثنين أعشار إلى جدول أطوال على أنه ثلاثة واثنان أعشار وحدة، بينما الطول الحقيقي أصغر من اثنتين في مثال الإسقاط الداخلي.

يمكن للمقارنة بين قطع متعددة أن تستعمل مربعات المسافات إذا كانت جميعها من الوحدة والنموذج نفسيهما. الأصغر مربعًا هو الأصغر طولًا لأن الأطوال غير سالبة. لكن نتيجة المقارنة لا تعطي وحدها هوية القطعة أو إحداثيات Q؛ نحتفظ بهذه المعلومات مع الناتج حتى نعرف أي جزء كان أقرب، ونعرف هل الاختيار داخل القطعة أم عند طرفها.

ولا يعني الوصول إلى نقطة أقرب أن مسار الانتقال إليها متاح في تطبيق خارجي، أو أن الأعداد تمثل مواقع على الأرض. سؤالنا هندسي في مستوى محدد؛ لم نضف عوائق أو ارتفاعًا أو شبكة طرق. إذا تغير سؤال الاستخدام، نراجع النموذج المطلوب قبل تفسير مسافة مستوية صغيرة بوصفها زمن وصول أو مسافة سفر لم تحسبها هذه المعادلات.

فحوص دقيقة وحدود ما أثبتناه

نفذنا الحساب بأعداد صحيحة للمدخلات وكسور دقيقة للمعامل والإحداثيات الناتجة ومربع المسافة. راجعنا 15625 ثلاثيًا ممكنًا للنقطة والطرفين ضمن شبكة صغيرة من سالب اثنين إلى اثنين على المحورين. لكل حالة عكسنا الطرفين وتأكدنا من بقاء النقطة الأقرب ومربع المسافة، وراجعنا الجداء الصفري للداخل وإشارات الاختيار عند البداية والنهاية.

وقارنّا النتيجة بمسافات إلى تسع نقاط مرشحة على القطعة، معاملاتُها من صفر إلى واحد بفواصل الثمن، فأجرينا 140625 مقارنة. لم تكن النتيجة أكبر من مسافة أي مرشح في هذه المجموعة. هذه فحوص خصائص محدودة، وليست بحثًا مستقلًا في جميع النقاط المستمرة أو برهانًا تجريبيًا لكل مدخل. تفسير المربع والمجال هو الحجة الرياضية التي تشرح الاختيار، أما التجارب فتراجع تنفيذنا على حالات معلنة.

حفظنا كذلك نتائج الأمثلة المائلة والأفقية والرأسية والتطابق والنقل والتكبير، واختبرنا رفض مدخلات تخالف عقد إحداثيين صحيحين. قبل حساب حالة جديدة، ثبت طرفي القطعة ووحدة المحورين وحالة التطابق، ثم احسب الإسقاط وقيده وراجع Q ومربع المسافة. بهذه الخطوات يبقى السؤال واضحًا: أقرب نقطة مسموحة على قطعة مغلقة، مع معرفة متى كان العمود داخلها ومتى حل الطرف محله.