المتوسط التوافقي للمعدلات الموجبة: المقلوب والأوزان وتقسيم الأجزاء

ابدأ بتعريف المتوسط لا باسمه وحده

يعرف المرجع الأول المتوسط التوافقي بمقلوب المتوسط الحسابي للمقلوبات، ويعطي صيغًا مكافئة لقيمتين وثلاث قيم. سنحصر حسابنا في قيم موجبة، كي تكون المقلوبات معرفة والمقارنات واضحة. يوضح المرجع الثاني تعريف المتوسط الحسابي الذي يجمع القيم ثم يقسم على عددها. تشابه الاسم العام، متوسط، لا يجعل العمليتين تعطيان النتيجة نفسها.

نختار المعدلين 8 و 20 لتطبيق التعريف. المقلوبان 1 على 8 و 1 على 20، ومجموعهما 7 على 40. متوسط المقلوبين هو 7 على 80، لأن لدينا قيمتين. وعند قلب هذا المتوسط نحصل على 80 على 7. الرقم 7 على 80 خطوة وسيطة، وليس المتوسط التوافقي النهائي، كما أنه يحمل وحدة معكوسة عندما تكون القيم معدلات ذات وحدات.

سنربط الحساب بأجزاء كمية معلنة وأزمنة في نموذج مؤلف، ثم نراجع الأوزان وحدود المقارنة. لا ندعي أن المعدلات قياسات لمعدات فعلية أو تنبؤ بأداء عمل. قيمة المتوسط تلخص المدخلات التي نحددها، ولا تثبت صحة تلك المدخلات أو قابلية نقلها إلى ظرف جديد. تحديد ما نريد تلخيصه يسبق اختيار صيغة سهلة أو رقم أعلى.

[1] [2]

لماذا تدخل المقلوبات في جمع معدلات؟

نفترض أن جزءًا معلومًا من العمل يتكون من 40 وحدة، وأن معدله ثابت 8 وحدات في الساعة. الزمن اللازم في النموذج 40 مقسومًا على 8، أي 5 ساعات. جزء آخر منفصل يتكون من 40 وحدة بمعدل 20، وزمنه ساعتان. نعالج الجزأين بالتتابع دون تداخل زمني، لذلك نجمع الكميات 80، ونجمع الأزمنة 7. المعدل الكلي 80 على 7 وحدة في الساعة.

لو قسمنا الزمن على الكمية في كل جزء لوجدنا 1 على 8 و 1 على 20 ساعة للوحدة، وهما مقلوبا المعدلين. لأن الكميتين متساويتان، نعطي زمن الوحدة في الجزأين وزنًا متساويًا عند تلخيصهما. متوسط زمن الوحدة 7 على 80 ساعة للوحدة، وقلبه يعيد المعدل 80 على 7 وحدة في الساعة. هذه مراجعة بوحدات المعنى، لا مجرد تبديل شكلي للبسط والمقام.

يشترط النموذج أن تمثل الوحدات كميات يمكن جمعها دون عد الشيء نفسه مرتين، وأن تكون الأزمنة مشمولة في الفترة المحددة. إذا كانت عمليتان على الوحدات نفسها، أو كان التنفيذ متوازيًا، فإضافة جميع الكميات والأزمنة قد تصف سؤالًا مختلفًا. نعلن هذه الشروط كي لا ينتقل المثال الحسابي إلى نموذج آخر بمجرد وجود رقمين يسمى كل منهما معدلًا.

تساوي الكميات يختلف عن تساوي الأزمنة

نثبت المعدلين 8 و 20، لكن نعطي لكل جزء ساعتين بدل 40 وحدة. عند 8 وحدات في الساعة، تنتج ساعتان 16 وحدة؛ وعند 20 تنتجان 40. المجموع 56 وحدة خلال 4 ساعات، فيكون المعدل 14. هنا وافق الناتج المتوسط الحسابي للقيمتين، لأن وزني الزمن متساويان في جمع المسافات أو الكميات الناتجة من المعدلات.

في المثال السابق، زمن الجزء البطيء 5 ساعات وزمن الأسرع ساعتان، رغم تساوي الكميتين 40 و 40. لذلك لا يحصل المعدلان على وزن زمني متساوٍ. المتوسط الحسابي 14 لم يكن جوابًا للمثال السابق، لكنه جواب للمثال الحالي ذي المعطيات المختلفة. لا نصف أحد النوعين بأنه دائمًا الصحيح للمعدلات؛ نقرأ ما هو متساوٍ وما هو معلوم في النموذج.

للمراجعة العامة، إذا عرفت الأزمنة والمعدلات الثابتة، احسب كمية كل جزء بضربهما، ثم اجمع الكميات واقسم على مجموع الأزمنة. وإذا عرفت الكميات والمعدلات، احسب زمن كل جزء بالقسمة أولًا. الطريقتان تتفقان عندما تصفان البيانات نفسها، لكن اختيار أوزان غير مناسبة قد يغير السؤال. اسم المعدل وحده لا يحدد الأوزان التي يحتاجها تلخيصه.

صيغة القيمتين: راجع المقلوب الأخير

من تعريف المتوسط التوافقي للقيمتين x و y، نأخذ 2 مقسومة على مجموع 1 على x و 1 على y. توحيد المقامات يجعل مجموع المقلوبين مساويًا x مع y، مقسومًا على xy. بقلب هذا الكسر في الخطوة الأخيرة نحصل على 2xy مقسومة على x مع y. نحتاج موجبية القيمتين هنا؛ فذلك يمنع مقامًا صفريًا ويثبت اتجاه المقارنات اللاحقة.

للمعدلين 8 و 20، حاصل الضرب 160، وضعفه 320، ومجموع القيمتين 28. قسمة 320 على 28 تختصر إلى 80 على 7. وإذا كتبت 28 على 320، فقد حسبت متوسط المقلوبين لا مقلوبه. قارن النتيجة بوحداتها وبمجال القيم: 80 على 7 يقع بين 8 و 20، أما 7 على 80 فيصف وحدة معكوسة لا معدلًا من النوع نفسه.

لا تستعمل المتوسط التوافقي لصفين مختلفين من حيث الكمية لمجرد أن الصيغة ذات متغيرين قصيرة. هذه الصيغة غير المرجحة تعطي القيمتين الوزن نفسه. سنشتق في القسم التالي نسخة توازن حجم كل جزء، ويمكنها أن تعود إلى صيغة القيمتين إذا اتفق الوزنان. كتابة نوع المتوسط إلى جانب الناتج تحافظ على الفرق بين اختيار رياضي وبين نتيجة نموذج الكميات.

[1]

الأجزاء غير المتساوية تحتاج أوزانها

نختار 20 وحدة عند المعدل 8، و 60 وحدة عند المعدل 20. الزمن الأول 20 على 8، أي 2.5 ساعة، والثاني 60 على 20، أي 3 ساعات. مجموع الكمية 80 والزمن 5.5، لذلك المعدل 80 على 5.5، ويساوي 160 على 11، أي نحو 14.545455 وحدة في الساعة. لم نغير المعدلين؛ غيرنا الكمية التي يقضيها كل منهما في النموذج.

صيغة المعدل الكلي هنا هي مجموع الكميات، مقسومًا على مجموع كمية كل جزء مقسومة على معدله. وإذا قسمنا جميع الكميات على مجموعها، صارت الأوزان ربعًا وثلاثة أرباع. يصبح الناتج مقلوب ربع مقسوم على 8، زائد ثلاثة أرباع مقسومة على 20. الحساب يعيد 160 على 11. الأوزان هنا حصص كمية، وليست حصص زمن، لذلك تبقى المقلوبات في المقام.

وقد تجاوز هذا الناتج المتوسط الحسابي غير المرجح 14، وهذا لا يناقض مقارنة المتوسطين بأوزان متطابقة. المقارنة 14 استعملت وزن النصف لكل معدل، بينما نموذجنا يستعمل ربعًا وثلاثة أرباع. لا نقارن تعريفين تغيرت أوزانهما ثم ننقل حكم الأوزان المتساوية إليهما. إذا أردت مقارنة حسابية مرجحة، استعمل الأوزان نفسها في كلا التعريفين وسمِّ المقارنة بوضوح.

تطبيع الأوزان لا يغير المتوسط

يمكن كتابة أوزان المثال السابق 20 و 60، أو 1 و 3، أو 0.25 و 0.75. الأولان يعبران عن الكمية بأعداد متناسبة، والأخيران عن حصتين مجموعهما 1. في الصيغة المرجحة نضع مجموع الأوزان في البسط، ومجموع وزن كل قيمة مقسومًا عليها في المقام. باستخدام 1 و 3 نحصل على 4 مقسومة على 1 على 8 مع 3 على 20، وهي 160 على 11 نفسها.

إذا ضربنا جميع الأوزان في 4، تضاعف البسط 4 مرات وكذلك المقام، فيلغى العامل المشترك. لذلك لا يتغير المتوسط. لا يعني هذا أن إضافة 4 إلى كل وزن تؤدي الأثر نفسه؛ الإضافة لا تحفظ نسبة الأوزان عمومًا. كذلك ضرب وزن واحد فقط يغير حصته ويغير السؤال. نراجع التناسب، لا مجرد كون الأرقام الجديدة أكبر أو أصغر.

يحتاج الحساب إلى أوزان غير سالبة ومجموع وزن موجب، وإلى قيم موجبة للأجزاء التي تحمل وزنًا موجبًا. إذا أردت استبعاد جزء بوزن صفر، فاستبعده قبل حساب مقلوب قيمة غير صالحة؛ لا تنشئ قسمة على صفر ثم تتوقع أن الضرب في وزن صفر سيصلحها. في أمثلتنا جميع الأجزاء الداخلة ذات كميات ومعدلات موجبة، لذا لا تظهر هذه القسمة أصلًا.

ثلاث قيم: مثال يمكن مراجعته بجدول أزمنة

نختار المعدلات 6 و 10 و 15، مع وزن متساوٍ. مجموع المقلوبات 1 على 6 مع 1 على 10 مع 1 على 15. بتوحيد المقام إلى 30 يصبح المجموع 5 على 30 مع 3 على 30 مع 2 على 30، أي 10 على 30 أو ثلثًا. نقسم عدد القيم 3 على الثلث فنحصل على 9. أما المتوسط الحسابي فهو 31 على 3، نحو 10.333333، وهو تعريف مختلف للمدخلات نفسها.

لإعطاء الحساب معنى كميًا، نفترض ثلاثة أجزاء منفصلة، كل منها 30 وحدة. الأزمنة عند المعدلات المختارة 5 ساعات و 3 ساعات وساعتان. مجموع الوحدات 90 والزمن 10، فتكون النتيجة 9 وحدات في الساعة. هذا النموذج يراجع المتوسط التوافقي المتساوي الأوزان، لأن كل معدل طبق على الكمية نفسها 30، لا على المدة نفسها.

يمكن فحص كل جزء قبل جمعه: 6 مضروبة في 5 تعيد 30، و 10 في 3 تعيد 30، و 15 في 2 تعيد 30. هذه المراجعة تكشف قلب المعدل إلى زمن من النوع الخطأ أو اختلاف وحدة في أحد الصفوف. الرسم الداخلي يضع الأزمنة في شرائط بمقياس واحد، ويظهر أن تساوي المخرجات لا يفرض تساوي طول الفترات. البيانات أصلية مؤلفة، وليست سجل إنتاج منشأة.

عرض الرسم بالحجم الكامل

تقسيم جزء إلى صفين لا يخلق وزنًا جديدًا

نعود إلى المثال 40 وحدة عند 8 و 40 وحدة عند 20. نقسم الجزء الأول إلى صفين، في كل منهما 20 وحدة عند المعدل 8. الأزمنة الجديدة 2.5 و 2.5 وساعتان، ومجموعها 7 كما كان. مجموع الوحدات 80 لم يتغير، لذلك بقي المعدل 80 على 7. تقسيم سجل الحساب لم يغير العمل الذي وصفه، ما دمنا احتفظنا بالكميات الصحيحة في الصفوف.

لكن المتوسط التوافقي غير المرجح للقائمة 8 و 8 و 20 يساوي 10؛ مجموع المقلوبات ثلاث أعشار، وعدد الصفوف 3، والقسمة تعطي 10. هذا الرقم يصف أوزانًا متساوية لثلاث قيم، لا كميات 20 و 20 و 40. الصف الثالث يمثل ضعف كمية كل صف أول، لذلك تساوي عدد مرات ظهور المعدل لا يبرر تساوي وزن الأجزاء.

عند استعمال الأوزان 20 و 20 و 40، تعيد الصيغة المرجحة 80 على 7. هذه خاصية مهمة لمراجعة الجدول: تقسيم كمية إلى جزأين بالمعدل نفسه لا يغير المعدل الكلي إذا حافظت على الأوزان. أما عد الصفوف بوصفه وزنًا فقد يجعل النتيجة تعتمد على طريقة كتابة السجل. قبل التلخيص، اسأل هل التكرار يمثل مشاهدة مستقلة متساوية الوزن أم تقسيمًا تحريريًا لجزء واحد.

الوحدات: المعدل ومقلوبه لهما دور مختلف

إذا كان المعدل بوحدة لكل ساعة، فمقلوبه ساعة لكل وحدة. متوسط المقلوبات يحتفظ بوحدة ساعة لكل وحدة، وعند قلبه نعود إلى وحدة لكل ساعة. هذه المراجعة تجعل الفرق بين 80 على 7 و 7 على 80 ظاهرًا في مثال المعدلين. لا نعطي القيمتين الوحدة نفسها ثم نسمي الاختلاف تقريبًا؛ كل واحدة تصف نسبة معكوسة للأخرى.

كما يجب توحيد وحدة الزمن قبل جمع القيم. المعدل 8 وحدات في الساعة يساوي 2 على 15 وحدة في الدقيقة، والمعدل 20 وحدة في الساعة يساويثلث وحدة في الدقيقة. المتوسط التوافقي بوحدة الدقيقة يكون 4 على 21 وحدة في الدقيقة، وضربه في 60 يعيد 80 على 7 وحدة في الساعة. عامل تحويل جميع المعدلات واحد، ولذلك يحافظ على التناسب ويحول الناتج أيضًا.

لا تجمع معدلًا بالساعة مع معدل بالدقيقة كأن الأرقام وحدها تكفي. ولا تجمع قيمًا تقيس وحدات مختلفة من المخرجات دون علاقة تحويل معلنة. إذا اختلف تعريف الوحدة، فقد لا يكون هناك مجموع كميات صالح للنموذج. نحتاج جدولًا موحدًا في معنى البسط ووحدة المقام قبل حساب أي متوسط، حتى لو أمكن إجراء قسمة عددية على كل رقم مكتوب.

لماذا يقع المتوسط داخل مجال القيم؟

افترض أن أصغر قيمة موجبة في القائمة m وأكبرها M. يكون مقلوب كل قيمة بين 1 على M و 1 على m. المتوسط الحسابي المرجح للمقلوبات، بأوزان غير سالبة مجموعها موجب، يبقى داخل المجال نفسه. وعند قلب مقدار موجب في هذا المجال يعود المتوسط التوافقي إلى المجال من m إلى M. قلب الحدود يعكس ترتيبها، لذلك ننتبه إلى الأصغر والأكبر عند الانتقال بين المجالين.

في المثال غير المرجح 8 و 20، النتيجة 80 على 7 بين 8 و 20. وفي المثال المرجح بالأوزان 1 و 3، النتيجة 160 على 11 ضمن المجال نفسه أيضًا. هذه حدود مراجعة لا تعطي الناتج الفعلي وحدها؛ قيم عديدة بين الطرفين يمكن أن تحقق الحد دون أن تكون متوسطنا. نحتاج الحساب والأوزان لتحديد القيمة، ونستخدم المجال لكشف تعارض واضح.

إذا ظهر ناتج أقل من 8 أو أكبر من 20 في أي من هذين المثالين بأوزان موجبة، فراجع قلب الكسر والوحدات والأوزان. لا تثبت حدود المجال صحة كل خطوة، كما أن تجاوزها قد يأتي من بيانات سالبة أو تعريف خارج النطاق الذي نفترضه. نحن نقصر البرهان والتطبيق هنا على قيم موجبة، فلا ننقل الحكم إلى أعداد مختلطة الإشارة دون تحليل جديد.

مقارنة القيمتين بالحسابي: مقدار الفرق

للقيمتين الموجبتين x و y بوزن متساوٍ، المتوسط الحسابي هو x مع y مقسومًا على 2، والتوافقي 2xy مقسومة على x مع y. بطرح الثاني من الأول وتوحيد المقامات، نحصل على مربع الفرق بين x و y، مقسومًا على ضعفي مجموعهما. البسط غير سالب والمقام موجب، لذلك لا يزيد التوافقي على الحسابي. التساوي يحدث عندما يكون فرق القيمتين صفرًا.

في المثال 8 و 20، مربع الفرق 144، وضعف المجموع 56، ومقدار الفرق 18 على 7، نحو 2.571429. بطرح 80 على 7 من 14 نصل إلى 18 على 7 أيضًا. هذا فحص مستقل لمقدار الفجوة، لا مجرد مقارنة بصريًا بين رقمين مقربين. يعرض المرجع الثاني ترتيب المتوسطات للقيم الموجبة، لكننا راجعنا حالة القيمتين بعملية طرح صريحة في نموذجنا.

ولا نقرأ كلمة أصغر بوصفها أفضل أو أسوأ؛ المتوسطان يلخصان القيم وفق عمليتين مختلفتين. إن كان السؤال عن كمية كلية في زمن كلي ضمن النموذج، نستخدم البيانات التي تحقق ذلك السؤال. وإن كان عن متوسط حسابي لقيمتين متساويتي الوزن، فلا نستبدله بتوافقي لأن الأخير أصغر. المقارنة الرياضية لا تختار هدف التلخيص بدل تعريفه.

[2]

المجموع الثابت لا يحفظ المتوسط التوافقي

نثبت مجموع قيمتين عند 28. الزوج 14 و 14 متوسطه التوافقي 14. الزوج 8 و 20 له المتوسط 80 على 7. والزوج 2 و 26 متوسطه 26 على 7، نحو 3.714286. المتوسط الحسابي 14 في الحالات الثلاث، لأن مجموع القيمتين لم يتغير. لكن حاصل الضرب تغير، ولذلك تغير التوافقي الذي يعتمد في صيغة القيمتين على ذلك الحاصل مع المجموع.

في هذه المقارنة تساوى عدد القيم والأوزان ومجموعها، فظهر أثر توزيع المقدارين. لا نستنتج أن كل تغيير في قيمة صغيرة يملك أثرًا ثابتًا أو أن التوافقي يقيس تشتتًا مستقلًا عن المستوى؛ إنه ما زال متوسطًا ذا وحدة القيم نفسها. الأمثلة تختار ثلاث مجموعات واضحة يمكن إعادة حسابها، ولا تقدم قانونًا تجريبيًا عن جودة خدمة أو أداء مؤسسة.

إذا اقتربت إحدى القيمتين الموجبتين من صفر بينما الأخرى محددة، يقترب المتوسط التوافقي من صفر في صيغة القيمتين. هذا حد لنماذج قيم موجبة أصغر فأصغر، وليس تصريحًا بإدخال الصفر في قسمة 1 علىالقيمة. نميز الحديث عن الاقتراب من حد من إجراء حساب عند الحد نفسه، ونعود إلى شروط التعريف عندما تتغير البيانات.

التوقف زمن إضافي لا كمية بمعدل صفر

في نموذج 40 وحدة عند 8 و 40 عند 20، زمن العمل المعلن 7 ساعات، والمعدل 80 على 7. إذا أدخلنا ساعة توقف ضمن الفترة المطلوبة، أصبحت الفترة 8 ساعات مع بقاء المخرجات 80، فيكون المعدل للفترة كاملة 10 وحدات في الساعة. لم يتغير معدلا الجزأين العاملين، لكن نطاق المقام الزمني تغير عندما أضفنا وقتًا لا ينتج وحدات في النموذج.

لا نمثل هذه الساعة بوصفها كمية موجبة أنجزت بمعدل صفري، لأن قسمة تلك الكمية على صفر لا تعطي زمنًا محدودًا صالحًا. كما أن وضع كمية صفر عند معدل صفر في جدول الأوزان لا يعيد ساعة التوقف من تلقاء نفسه؛ الكمية وحدها لا تحدد زمنًا إضافيًا. نسجل وقت التوقف مباشرةً إذا كان داخل الفترة التي نريد تلخيصها.

ونعلن كذلك إن كانت الأزمنة متتابعة أو متداخلة. جمع مدد جزأين ينفذان في الوقت نفسه قد يضاعف حساب زمن تقويمي واحد. نماذجنا اختارت أجزاء متتابعة دون تداخل، ولا نستخدمها وصفًا لمنظومة عمل متوازية. تسمية الفترة والأجزاء تمنع أن يكون المتوسط صحيحًا عدديًا لكنه يجيب عن وقت عمل مجموع بدل مدة كاملة مقصودة.

التقريب المبكر يغير مقامًا حساسًا

في المثال 8 و 20، أبقينا مجموع المقلوبات 7 على 40 والمتوسط 7 على 80، ثم قلبنا الكسر النهائي إلى 80 على 7. لو قربنا متوسط المقلوبات 0.0875 إلى 0.09 قبل قلبه، لحصلنا على 100 على 9، نحو 11.111111، بدل 11.428571. الاختلاف جاء من تغيير المدخل الوسيط إلى عدد مقرب، لا من وجود صيغتين دقيقتين للمتوسط نفسه.

وإذا قربناه إلى 0.088، صار مقلوبه 125 على 11، نحو 11.363636. زيادة عدد المنازل جعلت الفرق أصغر في هذا المثال، لكنها لا تمنح ضمانًا عامًا عن دقة بيانات حقيقية. أفضل مراجعة هنا أن نحتفظ بالكسر الدقيق حتى النهاية، أو نستعمل حسابًا بدقة مناسبة ونعلن عدد منازل العرض. لا نختار منزلة تقريب لمجرد أن رقمًا وسيطًا بدا صغيرًا.

كل الأعداد في النموذج قيم مفروضة وليست قياسات ذات عدم يقين معلوم. لذلك لا نستخرج حد خطأ القياس من طريقة عرضها، ولا ننسب الفرق إلى أداء فعلي. يمكننا تحديد خطأ التقريب الذي أحدثناه نحن بمقارنة العدد الدقيق بالمقرب. حافظ على الفرق بين تلك المراجعة العددية وبين جودة مصدر الأرقام أو دقة أداة لم نستخدمها.

تمارين قصيرة تكشف اختيار الوزن

التمرين الأول: للمعدلين 12 و 18 بوزن متساوٍ، المتوسط التوافقي 2 مضروبة في 216 ثم مقسومة على 30، أي 14.4. المتوسط الحسابي 15. إذا أعطيت كل معدل 36 وحدة في أجزاء متتابعة، كانت الأزمنة 3 وساعتين، والمعدل 72 على 5 يعيد 14.4. أما ساعتان عند كل معدل فتعطيان 60 وحدة خلال 4 ساعات، ويكون المتوسط 15. الأرقام نفسها أنتجت جوابين لأن شرط التساوي تغير.

التمرين الثاني: قيمتان 5 و 10 بأوزان 1 و 3. المتوسط المرجح 4 مقسومة على 1 على 5 مع 3 على 10، أي 8. يمكنك ربطه بكميتين 10 و 30؛ الأزمنة ساعتان وثلاث ساعات، والمجموع 40 على 5 يعطي 8. لا تعوض عدد القيمتين 2 مكان مجموع الأوزان 4 في هذه الصيغة، إلا إذا طبعتهما أولًا إلى ربع وثلاثة أرباع ووضعت 1 في البسط.

وفي مراجعة نهائية، اسأل عما يمثله كل وزن، وهل الوحدات والأجزاء والفترة موحدة، وهل أي صف تكرار لكمية سبق عدها. احسب المقلوبات للقيم الموجبة، ثم المتوسط المناسب لها، ثم اقلب الناتج مرة واحدة. راجع مجال القيم، وأبق التقريب للنهاية، واذكر ما لم يدخل في الفترة. للمقارنة مع تطبيق ذي هدف مختلف، يمكن قراءة دليل F1؛ استعمال التوافقي هناك لا ينقل تفسير أخطاء التصنيف إلى نموذج معدلاتنا.

درجة F1 والمتوسط التوافقي