يعرض NRICH التنغرام كتقسيم مربع إلى سبع قطع، يمكن إعادة ترتيبها لاستكشاف أشكال أخرى. [1]
سنرسم تركيبًا محددًا على شبكة، ونحسب مساحة كل قطعة، ثم نحرك مثلثًا واحدًا لنتبين لماذا لا يكفي تطابق مجموع المساحات مع مساحة الإطار. الأرقام والرسوم في هذا المقال مشتقة من إحداثياتنا المعلنة، والاختبار المنفذ حساب هندسي، وليس تجربة قص ورق فعلية.
الخلاصة السريعة
- مربعنا يمتد من صفر إلى أربعة في الاتجاهين؛ مساحته 16 وحدة مربعة.
- مساحات القطع السبع هي 4،4،2،1،1،2،2؛ مجموعها ست عشرة.
- كل مثلث كبير يساوي ربع المربع، وكل مثلث صغير يساوي جزءًا من ستة عشر.
- أكد الفحص أن القطع الأصلية داخل الإطار، وأن تقاطعات الأزواج الواحد والعشرين لا تحمل مساحة موجبة.
- بعد تحريك المثلث S2 نصف وحدة إلى الأسفل، بقي مجموع المساحات ست عشرة، لكن ظهر فراغ مساحته 3/4 وتداخل بالمساحة نفسها.
ارسم القطع من رؤوسها
اجعل نقطة (0,0) عند الزاوية السفلية اليسرى. تزداد x إلى اليمين وy إلى الأعلى. ارسم مربعًا طول ضلعه أربع وحدات، ثم علّم خطوط الشبكة عند الأعداد الصحيحة. الرمز الأول في كل زوج هو الإحداثي الأفقي، والثاني هو الرأسي.
الأسماء L1,L2 للمثلثين الكبيرين، وM للمتوسط، وS1,S2 للصغيرين. نرمز للمربع المائل بـQ، ولمتوازي الأضلاع بـP. صل رؤوس كل سطر بالترتيب، ثم صل آخر رأس بأوله؛ لا تصل رؤوس سطر برؤوس السطر التالي.
| القطعة | الرؤوس بالترتيب |
|---|---|
| L1 | (0,0) → (4,0) → (2,2) |
| L2 | (0,0) → (2,2) → (0,4) |
| M | (4,2) → (4,4) → (2,4) |
| S1 | (2,2) → (3,1) → (3,3) |
| S2 | (0,4) → (1,3) → (2,4) |
| Q | (1,3) → (2,2) → (3,3) → (2,4) |
| P | (3,1) → (4,0) → (4,2) → (3,3) |
ابدأ مثلًا بالمثلث L1: ضلع كامل بين (0,0) و(4,0)، ورأس عند المركز (2,2). يشترك L2 معه في الحافة المائلة من الصفر إلى المركز. هذه حافة مشتركة، وليست منطقة يغطيها المثلثان بمساحة موجبة.
احسب المساحات قبل مقارنة النسب
قاعدة L1 الأفقية طولها أربعة وارتفاع الرأس عنها اثنان؛ نصف حاصل ضربهما يعطي 4×2÷2=4. وباختيار القاعدة الرأسية لـL2 نحصل على الأربعة نفسها. طول الضلع القائم في كل منهما هو جذر ثمانية، لكننا لا نحتاج حساب الجذر كي نجد المساحة.
المثلث M عند الزاوية العليا اليمنى له ضلعان متعامدان طول كل منهما اثنان، فتكون مساحته 2×2÷2=2. وفي S1 نستعمل القاعدة الرأسية من (3,1) إلى (3,3): طولها اثنان، والمسافة الأفقية للرأس الآخر عنها واحد، فتكون المساحة واحدًا.
لـS2 قاعدة أفقية بطول اثنين على الحافة العليا، ورأس يبعد عنها وحدة واحدة؛ مساحته واحد أيضًا. أما Q فقطراه أفقي ورأسي، طول كل منهما اثنان. تقسيمه عند المركز (2,3) يعطي أربعة مثلثات قائمة صغيرة، لكل منها مساحة نصف، فيكون المجموع اثنين.
في P الضلعان الرأسيان يقعان عند x=3 وx=4، وطول كل منهما اثنان. عرض الشريط بينهما واحد، فيكون حاصل القاعدة في ارتفاعها العمودي 2×1=2. لا تستعمل طول الحافة المائلة بدل المسافة العمودية بين الضلعين.
| القطعة | المساحة | حصتها من المربع |
|---|---|---|
| L1 | 4 | 1/4 |
| L2 | 4 | 1/4 |
| M | 2 | 1/8 |
| S1 | 1 | 1/16 |
| S2 | 1 | 1/16 |
| Q | 2 | 1/8 |
| P | 2 | 1/8 |
تعني الحصة 1/4 ربع المربع كاملًا، لا ربع مجموع المثلثات فقط. ويشغل المثلثان الكبيران معًا نصف المساحة، بينما يشغل الصغيران معًا الثمن. يجمع الجدول 4+4+2+1+1+2+2=16، ثم يجمع الحصص إلى واحد.
تحقق من الأنواع دون الاعتماد على اللون
فحصنا مربعات أطوال أضلاع كل مثلث. للكبيرين القيم 8،8،16، وللمتوسط 4،4،8، وللصغيرين 2،2،4. في كل سطر ضلعان متساويان، ومجموع مربعيهما يساوي مربع الثالث. هذه مراجعة عددية لكون المثلثات قائمة ومتساوية الساقين.
حواف Q الأربع لها مربع طول اثنين، وحاصل الضرب القياسي لكل حافتين متجاورتين صفر. لذلك دورانه على الشبكة لا يغير كونه مربعًا. ولـP زوجان من متجهات الحواف المتقابلة المتساوية في المقدار والمتعاكسة في الاتجاه. توثيق هذه الصفات يفصل اسم الشكل عن اتجاهه في الصورة.
ثلاثة أسئلة لفحص تركيب المربع
أولًا: هل تبقى كل قطعة داخل المربع؟ ثانيًا: هل تشترك قطعتان في منطقة ذات مساحة موجبة؟ ثالثًا: بعد استبعاد التداخل، هل يساوي مجموع المساحات مساحة المربع؟ اختبر البرنامج الاحتواء لكل القطع، ثم تقاطع كل زوج. عدد الأزواج هو 7×6÷2=21، وقد كانت مساحات تقاطعاتها جميعًا صفرًا.
تطابق المجموع مع الست عشرة، مع الاحتواء وانعدام التداخل، يعني عدم بقاء منطقة موجبة المساحة فارغة. وفي ترتيب مضلعاتنا المغلقة، أكد فحص مستقل التغطية الكاملة للإطار. يمكن أن تلتقي حافتان أو تتشارك قطع في رأس؛ هذا تماس مسموح ولا يحسب مساحة تداخل.
اختبر تركيبًا خاطئًا له المجموع نفسه
أبقينا القطع الست الأخرى كما هي، وأنقصنا الإحداثي الرأسي لكل رأس في S2 بمقدار نصف. صارت رؤوسه (0,3.5) و(1,2.5) و(2,3.5). حافظت الإزاحة على شكله ومساحته، وبقي داخل المربع؛ لذلك لم يتغير مجموع مساحات القطع.
في موضعه الجديد يتداخل المثلث مع L2 بمساحة 7/16، ومع Q بمساحة 5/16. المجموع 12/16=3/4. لا توجد منطقة تغطيها ثلاث قطع في هذه الحالة، وقد تحققنا من ذلك؛ لذا تكون مساحة الجزء المغطى من المربع 16−3/4=61/4، أي 15.25.
يمكن فحص الفراغ العلوي يدويًا أيضًا. إنه شبه منحرف بين الارتفاعين 3.5 و4، بقاعدتين طولهما واحد واثنان. مساحته (1+2)×0.5÷2=3/4. هكذا يوافق حساب الفراغ المباشر حساب التداخل، مع أن مجموع مساحات القطع بقي ست عشرة تمامًا.
إذا أردت رسم نسخة طول ضلعها ثمانية سنتيمترات
يقترح نشاط NRICH الرسم على ورق مربعات باستعمال مسطرة وتلوين القطع. خطواته الأولى تخص نموذجًا من ثلاث قطع، ثم يعرض نموذجًا من سبع. [2]
لنسختنا ذات الإحداثيات المعلنة، اجعل وحدة الشبكة سنتيمترين: يصير الضلع 4×2=8 سم ومساحة المربع 64 سم². تتضاعف الأطوال مرتين، وتتضاعف المساحات أربع مرات. يصبح كل كبير 16 سم²، وكل صغير 4 سم²، وكل من المتوسط والمربع ومتوازي الأضلاع 8 سم².
ضع أسماء القطع داخلها قبل فصلها، واحتفظ بصورة للرسم الأصلي كي تراجع الرؤوس عند إعادة التركيب. ليس عرض الرسم في المتصفح معايرة بالسنتيمتر؛ استخدم مسطرة على الورقة إذا كان القياس الفعلي مهمًا. لم نقص هذه النسخة أو نقس سماكة خطوطها، ولا نحول دقة النموذج الحسابي إلى ادعاء دقة قص يدوي.
كيف أعدنا الحساب بطريقة مستقلة؟
استعمل النموذج الأول الكسور الدقيقة لقص مضلع بكل حدود المضلع الآخر، ثم حسب مساحة التقاطع. راجع كذلك تكبير الإحداثيات مرتين ودوران التركيب ربع دورة حول مركز المربع. لم يغير الدوران مساحات القطع أو عدم التداخل، ورفع التكبير المساحات أربع مرات كما توقعنا.
بنى الفحص الثاني مقاطع أفقية مستقلة بدل إعادة استعمال دالة القص. قسم الارتفاع عند الرؤوس وتقاطعات الحواف، وحسب أطوال المناطق المغطاة صفر مرة أو مرة أو مرتين. في التركيب الصحيح غُطيت الست عشرة مرة واحدة. في التركيب المعدل كان الفراغ 3/4، والتغطية مرة واحدة 29/2، والتغطية مرتين 3/4.
تغيّر عرض كل مقطع خطيًا بين مستويات الفصل، ولذلك أعطى عرض منتصف الشريحة مضروبًا في ارتفاعها مساحة دقيقة، دون تقريب شبكي. اتفقت هذه الطريقة مع قيمتي التداخل 7/16 و5/16. النتيجة تخص هذه الإحداثيات وهذا التحريك المحدد؛ لإقرار تركيب جديد، أعد فحوص الاحتواء والتداخل والتغطية على مواضعه الجديدة.
المصادر
أُعد المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، مع مراجعة ذاتية وحسابين هندسيين مستقلين في التنفيذ. لا يُنسب إلى مراجع بشري، ولا يتضمن ادعاء تجربة قص فعلية.