الاشتقاق العددي للإشارة: لماذا لا يكفي طرح العينات؟

فرق قيمة أم معدل بالنسبة إلى الزمن؟

توثق الدالة العددية diff طرح كل عنصر من التالي؛ ينقص طول متجه الفروق بواحد عن متجه القيم. [2]

نعلن تعريفًا خلفيًا: D[n]=(x[n]−x[n−1])/Δ، حيث Δ زمن موجب ثابت بين العينتين. نرتب القيم وفق الوقت، ونحسب الناتج عند وصول العينة n. طرح طولين يعطي طولًا، وقسمة هذا الفرق على ثوانٍ تعطي مترًا لكل ثانية.

لنأخذ نموذج إزاحة تعليميًا x(t)=5t²، حيث t بالثواني، والمعامل 5 بوحدة متر/ثانية². قيم النموذج عند 0 و0.1 و0.2 و0.3 و0.4 ثانية هي 0 و0.05 و0.20 و0.45 و0.80 متر. هذه قيم مفترضة دقيقة، لا قياسات جهاز.

فروق القيم المجاورة 0.05 و0.15 و0.25 و0.35 متر. بالقسمة على 0.1 ثانية نحصل على 0.5 و1.5 و2.5 و3.5 متر/ثانية. لكل نتيجة زوج محدد؛ لا نكتب قيمة خامسة عند أول الوقت إذا لم نعرف العينة السابقة.

إذا اخترنا بدلًا من ذلك الزوج 0.1 و0.3 ثانية، فالطرح 0.45−0.05=0.40 متر، والزمن 0.20 ثانية. المعدل 0.40/0.20=2 متر/ثانية. القسمة على 0.1 تعطي 4، لكنها تستخدم فترة لا تخص هذا الزوج.

لأزمنة غير منتظمة استخدم [x(tₙ)−x(tₙ₋₁)]/[tₙ−tₙ₋₁] مع أزمنة مرتبة وفارق موجب. إذا تساوى الوقتان لم يعد هذا الكسر معرفًا؛ وإذا فقدت عينة فلا تعوضها بصفر وتواصل كأن الفاصل الزمني بقي نفسه.

وقت الوصول ليس دائمًا وقت التفسير الأدق

المشتقة المستمرة لنموذجنا هي x′(t)=10t متر/ثانية. عند t=0.2 تكون 2. أما فرق الفترة المنتهية هناك فهو [0.20−0.05]/0.1=1.5 متر/ثانية؛ اختلاف العددين لا ينتج عن خطأ في الطرح.

نحسب لجميع t وΔ>0 في هذا النموذج: [5t²−5(t−Δ)²]/Δ=[10tΔ−5Δ²]/Δ=10t−5Δ. لذلك إذا نسبنا الفرق إلى الزمن الحالي t، كان خطؤه عن x′(t) هو −5Δ، بوحدات متر/ثانية وفق معامل النموذج.

وتساوي النتيجة أيضًا 10(t−Δ/2)=x′(t−Δ/2). عند t=0.2 وΔ=0.1، منتصف الفترة 0.15 ثانية ومشتقته 1.5. يمكن كتابة هذا الوقت مع الناتج، لكن لا نعمم التطابق الدقيق في المنتصف إلى كل دالة.

من الخمس قيم السابقة تكون أوقات المنتصف 0.05 و0.15 و0.25 و0.35 ثانية، وبها مشتقات 0.5 و1.5 و2.5 و3.5. الحساب متاح بعد وصول كل عينة نهاية؛ نسبته إلى منتصف فترة سابقة لا يجعله متاحًا قبل وصول نهايتها.

نقارن بفرق مركزي: C(t)=[x(t+Δ)−x(t−Δ)]/(2Δ). في نموذج 5t² يصير البسط 20tΔ، فالناتج 10t. عند t=0.2 وΔ=0.1 نحصل على [0.45−0.05]/0.2=2 متر/ثانية.

هذا التقدير يحتاج قيمة t=0.3؛ في متابعة حيّة لا نحصل عليه عند 0.2 نفسها. من السجل المعطى يمكن حساب الفروق المركزية عند 0.1 و0.2 و0.3 فقط، لأنها تحتاج جارين. عند الطرفين نحتاج قاعدة أخرى أو بيانات إضافية، ولم نعلن أن المركزي دقيق لكل إشارة.

فترة أصغر قد تعني ضوضاء أكبر

يعرض المرجع مشكلة تضخيم الضوضاء بالفروق ومقارنةً بمرشح اشتقاق مصمم. [1]

نجعل العينة المقاسة x[n]+v[n]. خطأ الفرق الناتج من الضوضاء وحدها هو ε[n]=(v[n]−v[n−1])/Δ. نفترض E[v[n]]=0 وتباينًا σ²=0.0001 متر²، وتغايرًا صفرًا بين الفهرسين المختلفين. لا نستنتج استقلالًا أو غاوسية من هذه الفروض.

بتربيع الفرق وأخذ المتوسط الاحتمالي E: Var(ε)=[E(v[n]²)+E(v[n−1]²)−2E(v[n]v[n−1])]/Δ²=2σ²/Δ². عند Δ=0.1 ثانية يصبح 0.0002/0.01=0.02 (متر/ثانية)²؛ هذه قيمة تباين، وليست خطأ كل قراءة بعينها.

لنقلل Δ إلى 0.05 ثانية مع إبقاء σ² والتغايرات نفسها لكل عينة. يصير التباين 0.0002/0.0025=0.08 (متر/ثانية)²، أي أربعة أمثال السابق. في المقابل يتغير خطأ تقريب نموذجنا −5Δ من −0.5 إلى −0.25 متر/ثانية عند الزمن الحالي، فينخفض مقداره المطلق إلى النصف.

نقارن أيضًا حدًا حتميًا مختلفًا عن التباين: إذا كان |v[n]| و|v[n−1]| لا يزيدان على 0.01 متر، فإن |ε|≤0.02/Δ. الحد 0.2 متر/ثانية عند Δ=0.1 و0.4 عند Δ=0.05. يتحقق الحد الموجب بأخطاء +0.01 للحالية و−0.01 للسابقة، والسالب بالعكس.

إذا كانت الضوضاء v[n]=Z عند جميع الفهارس، للمتغير نفسه Z، أصبح ε=(Z−Z)/Δ=0. قد يظل خطأ الإزاحة نفسه غير صفري، لكن الفرق يلغيه. لا نطبق نتيجة التغاير الصفري على هذه الحالة؛ متوسط الجداء بين العينتين فيها هو تباين Z عندما يكون متوسطه صفرًا.

التقليل من Δ ليس ضمانًا لتحسن الناتج المقاس كله. المقارنة السابقة تثبت اتجاهين في نموذج محدد: خطأ التقريب يقل وتباين الضوضاء يزيد. لم نختر فترة مثلى لجهاز، ولم نجمع مصدري الخطأ في معيار تحسين أو نفترض ثبات ضوضاء أجهزة حقيقية مع تغير معدل أخذ العينات.

الفرق الخلفي مرشح، لكنه ليس مشتقة مستمرة دقيقة

لإشارة ممتدة على جميع الفهارس x[n]=e^(iωn)، تعطي القاعدة D[n]=H(ω)e^(iωn)، حيث H(ω)=(1−e^(−iω))/Δ. نحصل عليها بتعويض العينة السابقة، دون برنامج تصميم. مربع كسب السعة |H|²=(2−2cosω)/Δ².

نثبت Δ=0.1 ثانية وFs=10 عينات/ثانية، ونضع ω=2πf/Fs. عند f=0 تكون H=0، فيختفي الثابت. وعند f=2.5 هرتز تكون ω=π/2 وH=10(1+i)، فيكون الكسب 10√2 ثانية⁻¹. وعند f=5 هرتز تكون ω=π وH=20، والكسب 20 ثانية⁻¹.

فمثلًا المتتالية x[n]=(−1)ⁿ متر تعطي D[n]=[(−1)ⁿ−(−1)ⁿ⁻¹]/0.1=20(−1)ⁿ متر/ثانية. التغير المتناوب من عينة إلى التالية يكبر بعد القسمة على الفترة القصيرة؛ لا يعني هذا أن كل تذبذب ظاهر قياس لسرعة جسم.

لرؤية الفرق عن المشتقة، نختار دالة مستمرة معلومة x(t)=cos(10πt) متر، حيث معامل t داخل جيب التمام بوحدة راديان/ثانية. عيناتها عند t=n/10 هي (−1)ⁿ متر؛ لذلك تعطي الفرق السابق. لكن x′(t)=−10πsin(10πt) متر/ثانية، وعند أوقات العينات sin(πn)=0، فتكون المشتقة المستمرة صفرًا هناك.

هذا مثال عند نصف معدل أخذ العينات، أي 5 هرتز. لا نزعم أن الناتج المتناوب 20 هو المشتقة المستمرة عند تلك الأوقات. ولا نستنتج دالة مستمرة وحيدة من قائمة العينات دون فروض أخرى؛ اخترنا الدالة صراحةً لكي تصبح المقارنة قابلة للحساب.

في هذه الحسابات افترضنا التاريخ اللازم لكل فرق. لسجل يبدأ عند صفر دون عينة سابقة، لا نحسب أول فرق خلفي بهذه القاعدة. وقبل قراءة نتيجة، اكتب فترة العينات ووحدة الإشارة ووقت نسبة التقدير ونموذج الضوضاء؛ فهي تحدد معنى العدد.