المرافق متساوي القطع: اعكس نقاط الأضلاع حول منتصفاتها

الخلاصة السريعة

المرافق متساوي القطع، أو الإيزوتومي، هو اجتماع الوصلات إلى صور نقاط التقاطع على الأضلاع بعد انعكاسها حول منتصفات تلك الأضلاع. نبدأ بنقطة داخلية ونصل كل رأس بأثره على الضلع المقابل، ثم نعكس الأثر على الضلع نفسه. [1]

• نختار P=(42/5,6) داخل المثلث. تقاطعات AP و BP و CP مع الأضلاع المقابلة هي D=(21/2,15/2)، E=(30/7,60/7)، F=(54/5,0). هذه آثار الخطوط، وليست أقدام أعمدة.
• منتصفات BC و CA و AB هي MD=(12,6)، ME=(3,6)، MF=(9,0). الصور D′=(27/2,9/2)، E′=(12/7,24/7)، F′=(36/5,0) تحقق أن كل منتصف يقع في وسط أثر وصورته.
• الخطوط AD′ و BE′ و CF′ تلتقي عند Q=(216/31,72/31). تحقق Q المعادلات x−3y=0، 4x+19y=72، 10x+y=72؛ فحص خطين وحده لا يكفي.
• الأوزان 2 و 3 و 5 تصف P بمتوسط الرؤوس الموزون. مقلوباتها، بعد توحيد المقام، تعطي الأوزان 15 و 10 و 6 للنقطة Q. نبرهن ذلك بالأوزان الموجبة؛ لا نقلب الإحداثيين الديكارتيين مباشرة.
• عكس P حول مركز الثقل G=(8,4) يعطي W=(38/5,2)، وهي لا تحقق x−3y=0. والإبقاء على D مع عكس E و F لا يمرر AD بالنقطة Q؛ يجب تنفيذ البناء على الأضلاع الثلاثة.
• تكرار البناء يعيد P، لأن عكس كل أثر مرتين يعيده. مركز الثقل ثابت عندما تكون الآثار منتصفات؛ التكبير الموحد يحفظ البناء. نتقيد بنقطة داخلية ومثلث غير منعدم، ولا نعمم على نقاط الرؤوس أو اللانهاية.

حدد التقاطعات على الأضلاع المقابلة

رؤوس المثلث هي A=(0,0)، B=(18,0)، C=(6,12). خطوط أضلاعه AB: y=0، CA: 2x−y=0، BC: x+y=18. مساحته 18×12/2=108؛ فهي موجبة، والرؤوس ليست على خط واحد.

نكتب P=(2A+3B+5C)/10. الإحداثي الأفقي (54+30)/10=42/5، والرأسي 60/10=6. الأوزان الثلاثة موجبة ومجموعها بعد القسمة 1، فتقع P داخل المثلث. لا نختار نقطة على ضلع كي يبقى لكل رأس أثر مقابل واضح.

خط AP هو 5x−7y=0؛ تقاطعه مع x+y=18 يعطي D=(21/2,15/2). وخط BP هو 5x+8y=90؛ تقاطعه مع y=2x يعطي E=(30/7,60/7). وخط CP هو 5x+2y=54؛ عند y=0 يعطي F=(54/5,0).

على BC، نكتب D=B+(5/8)(C−B). وعلى CA، نكتب E=C+(2/7)(A−C). وعلى AB، نكتب F=A+(3/5)(B−A). المعاملات بين صفر وواحد؛ لذلك تقع التقاطعات داخل القطع. لا نطلب تعامد الخطوط مع الأضلاع، فهذه ليست مسألة ارتفاعات.

اعكس كل أثر حول منتصف ضلعه

منتصف BC هو MD=(12,6). نحسب D′=B+C−D=(27/2,9/2). منتصف D و D′ هو ((21/2+27/2)/2,(15/2+9/2)/2)=(12,6). تبقى D′ على BC لأن مجموع إحداثييها 18.

وعلى CA، المنتصف ME=(3,6). الصورة E′=C+A−E=(12/7,24/7)، وتحقق y=2x. وعلى AB، المنتصف MF=(9,0)، والصورة F′=A+B−F=(36/5,0). لا نستعمل منتصفًا واحدًا للأضلاع كلها.

إذا كتبنا نقطة على ضلع من U إلى V بالصورة U+t(V−U)، فإن انعكاسها حول منتصفه هو U+(1−t)(V−U). في نموذجنا تتبدل 5/8 إلى 3/8، و 2/7 إلى 5/7، و 3/5 إلى 2/5. الموضع الجديد لا يساوي المنتصف إلا عندما t=1/2.

إذن تتبادل قطعتا الضلع: BD=CD′، و DC=BD′. هذه مساواة أطوال على ضلع واحد؛ لا تعني أن D و D′ متطابقتان. النقطة الأصلية وصورتها على جهتين متقابلتين من منتصف ذلك الضلع.

احسب الاجتماع الجديد وافحص الخط الثالث

الخط AD′ يحقق x−3y=0، لأن 27/2−3×9/2=0. أما BE′ فمعادلته 4x+19y=72؛ عند B نجد 72، وعند E′ نجد 48/7+456/7=72. وخط CF′ يحقق 10x+y=72 عند C وعند F′.

من x=3y في المعادلة الثانية نحصل على 12y+19y=72، أي y=72/31، ثم x=216/31. لذلك تقاطع AD′ و BE′ هو Q=(216/31,72/31). الكسور الدقيقة أوضح من اختبار بواقي تقريب عشري.

نراجع الخط الثالث: 10×216/31+72/31=2232/31=72. تمر Q بالخطوط الثلاثة. ويمكن فحصها في الأول 216/31−216/31=0، وفي الثاني 864/31+1368/31=72؛ لا يوجد اعتماد على تقدير تقاطع مرئي.

قبل الانعكاس كانت الخطوط تمر بـ P=(42/5,6)، وبعده تمر بـ Q=(216/31,72/31). اختلاف النقطتين متوقع لأن آثار P ليست منتصفات الأضلاع. الصورة الرئيسية تعرض مجموعتي الوصلات على المثلث نفسه لتوضيح ما تغير.

برهن الاجتماع بالأوزان الموجبة

لتفسير الاجتماع العام في النطاق المختار، اكتب P=(uA+vB+wC)/(u+v+w) مع u و v و w موجبة. أثر AP هو D=(vB+wC)/(v+w)، وصورته D′=(wB+vC)/(v+w). بتبديل الأوزان على الضلع نحصل على الانعكاس حول منتصفه.

عرّف S=vw+uw+uv، ثم Q=(vwA+uwB+uvC)/S. نجمع الحدين الأخيرين لنكتب Q=[vwA+u(v+w)D′]/S. الأوزان موجبة؛ لذلك تقع Q على AD′. وبالتبديل الدوري تقع على BE′ و CF′. هذا يثبت الاجتماع لكل الأوزان الموجبة المختارة.

في مثالنا u=2، v=3، w=5، فتكون vw=15، uw=10، uv=6، ومجموعها 31. إذن Q=(15A+10B+6C)/31؛ الأفقي (180+36)/31=216/31، والرأسي 72/31. توافق هذه النتيجة حل المعادلات المستقل.

قسمة الأوزان 15 و 10 و 6 على 30 تعطي 1/2 و 1/3 و 1/5. لذلك يمكن وصف العملية بقلب الأوزان النسبية، ثم إعادة تطبيعها. لا يعني ذلك Q=(1/x,1/y) في الإحداثيات الديكارتية؛ ولا نستعمل صيغة الإحداثيات الثلاثية الخطية بدل الأوزان نفسها.

اختبر انعكاس النقطة والإبقاء على أثر واحد

مركز الثقل G=(A+B+C)/3=(8,4). عكس P حوله يعطي W=2G−P=(38/5,2). عند التعويض في x−3y يكون 38/5−6=8/5، وهو غير صفر. إذن W ليست على AD′، فلا تكون الاجتماع الذي طلبه البناء.

انعكاس الأثر D يستعمل منتصف BC، وانعكاس P حول G يستعمل نقطة مختلفة ويحول كائنًا مختلفًا. لفظ «انعكاس» وحده لا يحدد العملية؛ اكتب اسم النقطة التي تعكسها واسم مركز انعكاسها قبل الحساب.

لنترك D دون انعكاس، ونعكس E و F فقط. يتقاطع BE′ و CF′ عند Q نفسها، لكن AD الأصلي معادلته 5x−7y=0. عند Q نجد 1080/31−504/31=576/31، وهو غير صفر؛ إذن الخط الثالث لا يمر بالتقاطع.

الرسم المقارن يبين W خارج الخط الصحيح، ويضع بطاقة بباقي 8/5. كما يبين AD الأصلي بجانب AD′، مع بطاقة 576/31. هذان باقيَا معادلتين، وليسا مسافتين عموديتين؛ لا نكتب لهما وحدة طول أو نستنتج منهما مقدار الفجوة الهندسية.

راجع التكرار والمركز الثابت وحدود البناء

ابدأ الآن من Q. آثار خطوطها هي D′ و E′ و F′؛ عكسها حول المنتصفات نفسها يعيد D و E و F، فيعود اجتماع الوصلات إلى P. ويمكن مراجعة الأوزان: مقلوبات 15 و 10 و 6 تتناسب مع 2 و 3 و 5 بعد ضربها في 30.

إذا بدأنا من G=(8,4)، كانت آثاره MD و ME و MF نفسها. انعكاس المنتصف حول نفسه لا يغيره؛ فتظل المتوسطات الثلاثة وتجتمع عند G. يفسر ذلك حالة ثابتة داخل المثلث، ولا يعني أن كل نقطة ثابتة أو أن كل أثر يقع في المنتصف.

عند تكبير النموذج بعامل 2 يصبح P=(84/5,12)، Q=(432/31,144/31)، G=(16,8). تتضاعف الرؤوس والآثار ومنتصفاتها كذلك، وتظل معاملات التقسيم نفسها. جمع الإحداثيات وطرحها في قانون الانعكاس يتوافق مع هذا التكبير.

نطاق الشرح مثلث غير منعدم ونقطة داخلية ذات أوزان موجبة. لا نطبق قلب وزن صفر عند رأس أو ضلع، ولا نستنتج من هذا المثال معالجة التقاطعات على الامتدادات أو النقاط عند اللانهاية. حدد هذه الحالات في مسألة منفصلة قبل توسيع النطاق.