ثبات محيط المثلث: هل يعني ثبات مساحته؟

ثبات محيط المثلث لا يثبت مساحته؛ الأكبر لمتساوي الأضلاع. [1][2]

الخلاصة السريعة

لا؛ نقارن المساحات. [1]

• لمثلث مستوٍ: a,b,c أضلاع موجبة تحقق متباينات المثلث الصارمة؛ P=a+b+c محيطه، و s=P/2 نصفه، و K مساحته. cm سنتيمتر. [1]
• مثال مؤلف بأضلاع 5cm و 9cm و 10cm: P=24cm، s=12cm. هيرون يعطي K²=s(s−a)(s−b)(s−c)، أي K²=12×7×3×2=504cm⁴؛ إذن K=6√14cm². [1]
• طول كل ضلع 8cm يحفظ المحيط؛ K²=12×4³=768cm⁴ و K=16√3cm²، أكبر لأن 768>504. [1]
• u=s−a و v=s−b و w=s−c موجبة ومجموعها s. متوسطها الحسابي s/3؛ بمتباينة المتوسطين uvw≤(s/3)³، والمساواة فقط عند u=v=w. [1][2]
• نضرب في s>0: K²≤s⁴/27، ثم بالجذر K≤P²/(12√3)، حد المساحة للمثلث ذي المحيط P. [1][2]
• المساواة عند u=v=w، أي a=b=c=P/3. عند P=24cm، أضلاع 8cm تحقق أكبر مساحة 16√3cm²؛ الأضلاع المختلفة تمنع بلوغها. [1][2]

المراجع

1. هيرون
2. متباينة المتوسطين

مساحة متساوي الأضلاع

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.