حجم المكعب هو الحيز الذي يشغله، ويساوي طول ضلعه مضروبًا في نفسه ثلاث مرات: V = s³. السبب أن الطول والعرض والارتفاع متساوية؛ فإذا كان كل منها 3 سم، أمكن تصور المكعب في ثلاث طبقات، بكل طبقة تسعة مكعبات وحدة، فيكون الحجم 27 سم³. [1]
ابدأ بطول الضلع ووحدة القياس
نرمز إلى الضلع بالرمز s، ونكتب V = s × s × s. هذه حالة خاصة من حجم متوازي المستطيلات V = lwh عندما تتساوى أبعاده الثلاثة. [1]
| طول الضلع | الحساب | الحجم |
|---|---|---|
| 4 سم | 4 × 4 × 4 | 64 سم³ |
| 0.5 م | 0.5 × 0.5 × 0.5 | 0.125 م³ |
| 12 مم | 12 × 12 × 12 | 1728 مم³ |
الوحدة تتكعب مع العدد. لذلك 64 سم³ ليست 64 سم ولا 64 سم²؛ الأولى حجم، والثانية طول، والثالثة مساحة. وإذا أردت الحساب بالمتر فحوّل طول الضلع إلى متر قبل تكعيبه.
كيف تجد الضلع إذا عرفت الحجم؟
نعكس التكعيب بأخذ الجذر التكعيبي: s = ∛V. لمكعب حجمه 216 سم³ يكون الضلع 6 سم، لأن 6³ = 216. ولا نستخدم الجذر التربيعي هنا؛ فهو يعكس التربيع لا التكعيب.
تحقق بالتعويض في القانون الأصلي. إذا أعطاك الحساب ضلعًا 6 سم، فإن حاصل ضرب الأبعاد الثلاثة يعيد 216 سم³. هذه مراجعة بسيطة تكشف كثيرًا من أخطاء الأسس والوحدات.
قطر الوجه يختلف عن القطر الداخلي
الوجه مربع، ولذلك قطره f يحقق f² = s² + s²، أي f = s√2. أما القطر D الواصل بين رأسين متقابلين عبر داخل المكعب فيحقق D² = f² + s² = 3s²، أي D = s√3.
إذا أعطيت قطر الوجه، فاستخدم s = f/√2 ثم كعّب الضلع. وإذا أعطيت القطر الداخلي، فاستخدم s = D/√3. العلاقات مشتقة من تطبيق فيثاغورس على مثلثين قائمين مختلفين؛ لا يمكن تبديل √2 و √3.
مثال مستقل: قطر وجه مكعب 4√2 cm يعطي ضلعًا 4 سم وحجمًا 64 سم³. والقطر الداخلي 5√3 cm يعطي ضلعًا 5 سم وحجمًا 125 سم³.
ما الذي يتغير إذا تضاعف الضلع؟
عندما يتضاعف الضلع، تصبح الأبعاد الثلاثة مضاعفة؛ لذا يتضاعف الحجم ثماني مرات: (2s)³ = 8s³. مكعب ضلعُه 2 سم حجمه 8 سم³، وآخر ضلعه 4 سم حجمه 64 سم³، رغم أن الضلع زاد إلى الضعف فقط.
ولا تخلط الحجم مع مساحة السطح. تغطية الوجوه تقاس بوحدات مربعة، بينما مقدار الحيز يقاس بوحدات مكعبة. كذلك لا يوجد «محيط» واحد للمكعب بمعنى محيط شكل مستوٍ؛ محيط وجهه 4s، ومجموع أطوال حوافه الاثنتي عشرة 12s.
المصادر ومتابعة القراءة
- Roy Simpson، كلية Cosumnes River: حجم المنشور ووحداته ومساحة سطحه (يفتح في نافذة جديدة)math.libretexts.org
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.