دائرة ليستر: أربعة مراكز للمثلث على محيط واحد

الخلاصة السريعة

دائرة ليستر تمر بمركز الدائرة المحيطة O، ومركز دائرة النقاط التسع N، ونقطتي فيرما F₁ و F₂. [1] ندرس مثلثًا مختلف الأضلاع، ونميز بين نقاط المحيط ومركز الدائرة L.

• الرموز O و N و F₁ و F₂ أسماء لأربعة أدوار في المثلث نفسه؛ L مركز الدائرة التي تمر بها. المطلوب تساوي المسافات من L إلى الأربعة، وليس تساوي المسافات بينها.
• في نموذجنا O=(−11/2,−5√3/6)، و H=(7/2,√3/6) ملتقى الارتفاعات. مركز دائرة النقاط التسع هو منتصف OH؛ [3] لذلك N=(−1,−√3/3).
• ننشئ مثلثات متساوية الأضلاع خارج المثلث لاستخراج F₁، ونعكس اتجاه الإنشاء لاستخراج F₂. [2] خطوط الرؤوس المقابلة تعطي F₁=(0,0) و F₂=(−27/2,9√3/2) في المثال.
• دائرة المثال هي (x+29/6)²+(y−25√3/6)²=679/9. مركزها L=(−29/6,25√3/6)، ومربع نصف قطرها 679/9. تعويض النقاط الأربع يعطي القيمة نفسها بدقة.
• اختيار O مركزًا للدائرة الجديدة يفشل: مربعات بعدها عن F₁ و F₂ و N مختلفة. ومركز الثقل G=(−5/2,−√3/2) ليس على المحيط؛ باقي معادلة الدائرة عنده −14/3، فيقع داخلها.
• عند التكبير بعامل 2 تتضاعف إحداثيات المراكز ونصف القطر، ويصبح مربع نصف القطر 2716/9. الحساب الدقيق يثبت المثال؛ المبرهنة العامة مسندة إلى المرجع. نستبعد الرؤوس المستقيمة ولا نفترض دائرة فريدة عند تطابق المراكز.

افصل بين المراكز الواقعة على المحيط ومركز الدائرة

تجمع دائرة ليستر مركز الدائرة المحيطة ومركز دائرة النقاط التسع ونقطتي فيرما على محيط واحد. [1] في هذا المقال نحسب مثالًا مختلف الأضلاع؛ لا نعيد تسمية دائرة النقاط التسع بدائرة ليستر.

نرمز بـ O إلى مركز الدائرة التي تمر برؤوس المثلث، وبـ H إلى ملتقى ارتفاعاته، وبـ N إلى مركز دائرة النقاط التسع. أما F₁ و F₂ فتنتجان من إنشائين سنحددهما. نستخدم L لمركز الدائرة الجديدة كي لا يشير حرف واحد إلى دورين.

القول إن أربع نقاط تقع على دائرة يعني وجود مركز تبعد عنه المسافة نفسها. لا يعني أن كل مسافة بين نقطتين من الأربع متساوية. ولا يلزم أن تكون هذه النقاط رؤوس مربع أو أن يكون أحدها مركز الدائرة التي تجمعها.

نكتب الإحداثيات بوحدات طول واحدة ومحورين متساويي المقياس. عندما نعرض مربع مسافة، تكون وحدته مربعة. لذلك 679/9 مربع نصف القطر، بينما نصف القطر نفسه√679/3. الرسم يوضح المواقع؛ التعويض يقرر المساواة.

احسب المركز المحيط وملتقى الارتفاعات ثم المنتصف

نثبت A=(9,0)، B=(−15/2,15√3/2)، C=(−9,−9√3). مربعات الأضلاع AB²=441، CA²=567، BC²=819؛ كلها مختلفة. والمساحة 567√3/4، فلا تكون الرؤوس مستقيمة. أكبر مربع 819 أصغر من 441+567، فالمثلث حاد الزوايا.

لنكتب O=(h,k). مساواة OA² و OB²، ثم OA² و OC²، تلغي مربعَي h و k وتعطي معادلتين خطيتين. الحل O=(−11/2,−5√3/6). عند التعويض في المسافات الثلاث إلى الرؤوس نجد مربعًا مشتركًا 637/3.

النقطة H=(7/2,√3/6) تقع على الارتفاعات. مثلًا اتجاه AH هو (−11/2,√3/6)، واتجاه BC هو (−3/2,−33√3/2). حاصل الضرب القياسي 33/4−33/4=0؛ إذن المستقيمان متعامدان. فحص الارتفاعين الآخرين يعيد صفرًا أيضًا.

مركز دائرة النقاط التسع هو منتصف OH. [3] نجمع إحداثيي O و H المتناظرين ونقسم على 2، فنحصل على N=(−1,−√3/3). هذه نقطة أخرى؛ لا نستعمل H أو O مكان N لمجرد أن الثلاثة على خط واحد.

حدد نقطتي فيرما باتجاهين مختلفين للإنشاء

لاستخراج نقطة فيرما الأولى، ننشئ مثلثًا متساوي الأضلاع خارج كل ضلع، ونصل رأسه الجديد برأس المثلث الأصلي المقابل. للثانية نختار الإنشاء نحو الداخل بدل الخارج. [2] نأخذ تقاطع الخطوط، مع امتداد الخط عند الحاجة.

نسمي الرأس الجديد فوق الضلع BC الرمز Eₐ، وفوق CA الرمز Eᵦ، وفوق AB الرمز E𝒸. العمودان في الجدول يستخدمان الضلع نفسه واتجاهين متقابلين. كلمة «داخل» تصف جهة الإنشاء بالنسبة إلى مستقيم الضلع؛ لا تعني بقاء كل المثلث المساعد داخل المساحة الأصلية.

في الإنشاء الخارجي، خطوط AEₐ و BEᵦ و CE𝒸 تمر جميعًا بـ F₁=(0,0). يمكن فحص ذلك بمحدد متجهَي كل خط؛ مثلًا Eₐ=(−33,0) و A=(9,0)، فيقع F₁ على خطهما. لا يكفي تقاطع خطين دون اختبار الثالث.

في الإنشاء الداخلي، تقاطع الخطين الأولين هو F₂=(−27/2,9√3/2). في نموذجنا تطابق هذه النقطة Eᵦ الداخلي؛ ومع ذلك خط BEᵦ محدد لأن B تختلف عنها. أما خط CE𝒸 فيمر بالنقطة نفسها. اختلاف الإحداثيات يثبت أن F₂ ليست F₁.

استخرج معادلة الدائرة من ثلاث نقاط وافحص الرابعة

بما أن F₁=(0,0)، يمكن كتابة دائرة تمر بها على الصورة x²+y²+ux+vy=0. نعوض O و F₂ لنجد u و v. ينتج نظام خطي غير منحل، لأن F₁ و O و F₂ ليست مستقيمة؛ محدد اتجاهَي F₁O و F₁F₂ هو −36√3.

الحل u=29/3 و v=−25√3/3، فتصير المعادلة x²+y²+(29/3)x−(25√3/3)y=0. بإكمال المربع نحصل على (x+29/6)²+(y−25√3/6)²=679/9. مركزها L=(−29/6,25√3/6).

ثلاث نقاط غير مستقيمة تحدد دائرة وحيدة، لكن هذا لا يثبت تلقائيًا وقوع نقطة رابعة عليها. نعوض N أيضًا. فرق إحداثياتها عن L هو (23/6,−9√3/2)، فيكون LN²=529/36+243/4=679/9. إذن N تحقق الدائرة نفسها.

يسجل الجدول فروق الإحداثيات ومربع البعد من L. تظهر المساواة الدقيقة للأربع، بما فيها النقطة الرابعة التي لم نستعملها لإيجاد المعادلة. هذا تحقق لهذا المثلث؛ المبرهنة المذكورة في المرجع أوسع من المثال المحسوب.

اختبر المركز المحيط ومركز الثقل بدل التخمين

لو اعتبرنا O مركزًا لدائرة تمر بالأربع، لزم أن تتساوى مسافاته إلى F₁ و F₂ و N. لكنها تحقق OF₁²=97/3، OF₂²=448/3، ON²=21. حتى قبل ملاحظة أن O نفسه نقطة على المحيط، يكشف هذا الحساب فشل الاختيار.

مركز الثقل هو G=(A+B+C)/3=(−5/2,−√3/2). يعطينا LG²=637/9، أصغر من 679/9. إذن G داخل دائرة المثال، وليس على محيطها. كونه مركزًا معروفًا لا يجعله نقطة خامسة في المساواة التي اختبرناها.

الباقي LG²−679/9 يساوي −14/3. هذه قيمة بوحدة طول مربعة، وليست المسافة الأقصر من G إلى المحيط. نقارن الإشارة لتحديد داخل أو خارج؛ لا نرسم قطعة طولها 14/3 ونسمّيها المسافة إلى الدائرة.

الرسم الداخلي يكبر منطقة المراكز ويظهر G منفصلة عن N و F₁، ويعرض مربعات المسافات التي ترفض O كمركز بديل. لا نستنتج موقع G من اقتراب العلامات في صورة مصغرة؛ الفرق −14/3 هو الاختبار الدقيق.

راجع التكبير وحدود المثال قبل التعميم

عند ضرب كل الإحداثيات في 2، يصبح L=(−29/3,25√3/3)، ونصف القطر 2√679/3. مربع نصف القطر 2716/9، أربعة أمثال 679/9. تتضاعف إحداثيات الأربع أيضًا، فيبقى اختبار مساواة المسافات صحيحًا بعد التكبير.

لا نحسب دائرة محيطة فريدة لثلاثة رؤوس مستقيمة. وكذلك لا نستنتج دائرة فريدة من ثلاث نقاط اختبار مستقيمة أو متطابقة. وجود أسماء مختلفة لا يضمن مواقع مختلفة؛ لهذا فحصنا محدد F₁O و F₁F₂ قبل حل النظام.

المثلث المتساوي الأضلاع يوضح خطر التطابق: مركزه المحيط ومركز دائرة النقاط التسع ونقطة فيرما الأولى في موضع واحد. لا تحدد هذه الأسماء الثلاثة دائرة فريدة. وفي الإنشاء الداخلي يتطابق كل رأس مساعد مع الرأس المقابل، فلا يحدد الزوج خطًا جديدًا بهذه الطريقة.

للمراجعة، تحقق أولًا من المثلث ومن المراكز بأدوارها، ثم احسب دائرة ثلاث نقاط غير مستقيمة، واختبر الرابعة في المعادلة. احتفظ بالكسور والجذور حتى نهاية الحساب. النتيجة العامة هنا مرجعية، والتفاصيل الإحداثية تثبت مثالنا دون ادعاء برهان لكل مثلث.