قاعدة ديكارت: أربع تغيرات لا تعني أربعة جذور

عد الانتقالات بين الإشارات

نقرأ إشارات المعاملات غير الصفرية من أعلى قوة إلى أدناها. الانتقال بين موجب وسالب تغير واحد؛ الإشارتان المتجاورتان المتساويتان لا تضيفان تغيرًا. [1]

لنقارن ثلاثة كثيرات حدود: A(x)=x⁴−10x³+35x²−50x+24؛ B(x)=x⁴−3x³+4x²−3x+1؛ C(x)=x⁴−2x³+3x²−2x+1.

في كل منها الإشارات+،−،+،−،+؛ توجد أربع انتقالات. القاعدة تترك ثلاثة أعداد ممكنة للجذور الموجبة مع التكرار:4 أو2 أو0. [2]

لا تختَر العدد الأكبر تلقائيًا. سنثبت بعد قليل أن الأمثلة الثلاثة تحقق الاحتمالات الثلاثة المختلفة، رغم تشابه تسلسل الإشارات.

ثلاثة أمثلة تكشف الفرق

فيA، التحليل هوA(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4). حاصل ضرب العاملين الأولينx²−3x+2، والأخيرينx²−7x+12؛ بضربهما نستعيد المعاملات1،−10،35،−50،24.

إذن جذورA هي1 و2 و3 و4؛ كلها موجبة وبسيطة، فيكون العدد4 سواء مع التكرار أو للقيم المتميزة.

أماB(x)=(x−1)²(x²−x+1). نكتب العامل التربيعيx²−x+1=(x−1/2)²+3/4؛ لذلك هو موجب لكلx حقيقي ولا يعطي جذرًا حقيقيًا.

يبقى الجذر1 وحده، والعامل(x−1)² يجعله مكررًا مرتين. أس العامل الخطي يحدد تكرار الجذر. [3]

بهذا يكون عدد جذورB الموجبة مع التكرار2، وعدد قيمها المتميزة1. القول إن الأربع تغيرات تسمح بعدد1 يخلط بين طريقتي العد؛ العدد الموافق للقاعدة هنا2.

وفيC(x)=(x²−x+1)²، العامل نفسه موجب دائمًا، ومربعه موجب أيضًا؛ فلا جذر حقيقي، ويكون عدد الجذور الموجبة0.

احسب السالب من التعويض

لفحص عدد الجذور السالبة، نستبدلx بـ−x، ثم نعد تغيرات إشارات المعاملات غير الصفرية. الاحتمالات تساوي العدد أو تنقص عنه بمقدار زوجي. [2]

في كثيرات الحدود الثلاثة، القوى الفردية تغير إشارتها عند التعويض، والقوى الزوجية تحتفظ بها. تصبح جميع المعاملات موجبة، ولذلك لا يوجد تغير.

مثلًاB(−x)=x⁴+3x³+4x²+3x+1. صفر تغيرات يعني صفر جذور سالبة؛ وهذا يتفق مع التحليل السابق. [2]

التعويضf(−x) مختلف عن ضربf(x) كله في−1. الأخير يقلب كل الإشارات ويحافظ على مواقع الانتقال، كما يحافظ على الجذور لأن المضاعف غير صفري.

في−B الإشارات−،+،−،+،−؛ ما زالت أربع تغيرات، والجذر1 ما زال مكررًا مرتين. لا تستعمل−f(x) بدلf(−x) لعد السالب.

الصفر ليس إشارة ثالثة

نأخذR(x)=x³−4x. معاملات القوى3 و2 و1 و0 هي1،0،−4،0. بعد حذف الصفرين نقرأ+،−: تغير واحد، فيوجد جذر موجب واحد مع التكرار. [1]

عند التعويض نجدR(−x)=−x³+4x. بعد حذف الصفرين، الإشارات−،+: تغير واحد، فيوجد جذر سالب واحد مع التكرار. [2]

التحليلR(x)=x(x−2)(x+2) يثبت القيم0،2،−2؛ كلها بسيطة. الجذر0 لا يدخل في عدد الموجب أو السالب، ولذلك لا تضفه إلى أحدهما.

النتيجة هنا دقيقة لأن تغيرًا واحدًا لا يمكن خفضه بعدد زوجي موجب مع بقاء العدد غير سالب. أما عند أربع تغيرات، فالمعلومات وحدها لا تختار بين4 و2 و0.

لا تشترط القاعدة معاملات صحيحة؛ يكفي أن تكون حقيقية. ونستبعد كثير الحدود الصفري الذي يساوي صفرًا لكلx. القاعدة لا تعطي قيم الجذور. [1]