مبرهنة ديكارت للدوائر: حل موجب وآخر يحيط بالثلاث

الخلاصة السريعة

تربط مبرهنة ديكارت انحناءات أربع دوائر متماسة زوجيًا بالمعادلة 2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²)=(k₁+k₂+k₃+k₄)²، مع إشارة سالبة لانحناء الدائرة المحيطة. [1] سنطبقها على ثلاث دوائر متساوية متماسة خارجيًا.

• نستخدم الانحناء الموجّه k: للدوائر الثلاث k=1/3. نصف القطر طول موجب، أما إشارة k فتميز الدائرة المحيطة في البناء الذي ندرسه. شرط التماس الزوجي أساسي؛ مساواة الأنصاف وحدها لا تكفي.
• المراكز A=(0,0)، B=(6,0)، C=(3,3√3) تبعد عن بعضها 6، أي مجموع نصفي القطر. مركز الحلين M=(3,√3)، وبعده عن كل مركز 2√3؛ نستخرجه من مساواة المسافات، لا من معادلة الانحناءات وحدها.
• التعويض يعطي k²−2k−1/3=0، والجذرين k₊=1+2√3/3 و k₋=1−2√3/3. الأول موجب والثاني سالب في هذا المثال. نصف الصغيرة r=2√3−3، ونصف المحيطة R=3+2√3، وكلاهما موجب.
• تتحقق الصغيرة من MA=3+r=2√3، فتلامس كل دائرة خارجيًا. وتتحقق المحيطة من MA=R−3=2√3، فتلامس الثلاث داخليًا. مركزهما واحد هنا، لكن أنصافهما مختلفة.
• استبدال k₋ بقيمته المطلقة يفسد معادلة الانحناءات. وإذا أبقينا الأنصاف 3 وأبعدنا المراكز إلى مسافات 8، صار مربع البعد من المركز المتساوي المسافات 64/3، بدل 12 المطلوب للحل الأصلي؛ فلا يصلح نقله إلى الوضع الجديد.
• التكبير بعامل 2 يجعل الأنصاف الأصلية 6، ونصف الصغيرة 4√3−6، ونصف المحيطة 6+4√3؛ تنقسم الانحناءات على 2. الحساب يثبت مثالنا، وليس برهانًا عامًا للمبرهنة؛ ولا نعمم إشارة الجذر الأصغر على كل ثلاثة أنصاف مختلفة.

افصل بين نصف القطر والانحناء الموجّه

تستعمل علاقة ديكارت الانحناءات الموجّهة لأربع دوائر متماسة زوجيًا. للدائرة العادية نأخذ مقلوب نصف القطر، وللدائرة التي تحيط بالثلاث نأخذه بإشارة سالبة. [1] نقتصر على دوائر ذات أنصاف موجبة ومحدودة.

سنكتب a=3 لنصف كل دائرة أصلية، و r لنصف الصغيرة، و R لنصف المحيطة. الرموز الثلاثة أطوال؛ أما k في معادلة الانحناءات فله وحدة مقلوب الطول. إذا قيس نصف القطر بالسنتيمتر، قيس الانحناء بمقلوب السنتيمتر.

السالب هنا يصف اختيار الاتجاه، لا مسافة سالبة من المركز إلى المحيط. عند تحويل انحناء سالب إلى نصف قطر هندسي نأخذ r=1/|k|. احتفظ بالإشارة داخل المعادلة، واستعمل الطول الموجب حين تقارن المسافات بين المراكز.

لفظ «متماسة زوجيًا» يعني أن كل زوج من الدوائر الأربع يمس أحدهما الآخر. لا يكفي أن تمس الرابعة كلًا من ثلاث دوائر كيفما كانت. سنفحص أولًا تماس الدوائر الأصلية الثلاث، ثم نضيف الرابعة ونراجع المسافات الست المطلوبة.

ثبت التماس الأول واستخرج المركز من الإحداثيات

نضع A=(0,0)، B=(6,0)، C=(3,3√3)، ونصف كل دائرة 3. لدينا AB²=36، AC²=9+27=36، BC²=9+27=36. إذن المسافات الثلاث 6، وتساوي مجموع نصفي القطر 3+3؛ فتتماس كل دائرتين خارجيًا.

مساواة الأنصاف تفرض أن يكون مركز أي دائرة تمس الثلاث بالطريقة نفسها متساوي البعد عن A و B و C. إذا كتبناه M=(h,t)، فإن MA²=MB² تعطي h=3. ثم MA²=MC² تعطي 6h+6√3t=36؛ بالتعويض نحصل على t=√3.

إذن M=(3,√3). مربع MA يساوي 9+3=12؛ ومربع MB هو 12 أيضًا، بينما MC²=(2√3)²=12. البعد المشترك 2√3. هذا الحساب مستقل عن معادلة ديكارت، التي لا تحتوي أصلًا على إحداثيات المراكز.

نقاط التماس بين الدوائر الأصلية هي منتصفات قطع المراكز: بين A و B النقطة (3,0)، وبين B و C النقطة (9/2,3√3/2)، وبين C و A النقطة (3/2,3√3/2). كل نقطة تبعد 3 عن المركزين المناسبين؛ هذه فحوص أخرى للبناء الأول.

حل المعادلة التربيعية قبل تحويل الجذور إلى أنصاف

الانحناءات الأصلية الثلاث تساوي 1/3. ضع k للرابعة في العلاقة المذكورة، فنحصل على (1+k)²=2(1/3+k²). عند التوسيع يصبح 1+2k+k²=2/3+2k²، ومنه k²−2k−1/3=0.

بإكمال المربع نجد (k−1)²=4/3، ولذلك k₊=1+2√3/3 و k₋=1−2√3/3. بما أن 2√3 أكبر من 3، يكون k₋ سالبًا. هذا فحص لإشارة الجذر في أرقامنا، وليس افتراضًا مبنيًا على كلمة «أصغر».

للجذر الموجب r=1/k₊=2√3−3. نتحقق بالضرب: (1+2√3/3)(2√3−3)=1. أما الجذر السالب فيعطي R=−1/k₋=3+2√3؛ حاصل ضرب k₋ في R هو −1. لم نأخذ المقلوب السالب طولًا للدائرة.

تقريبًا r=0.4641016 و R=6.4641016 بوحدة الطول الأصلية. التقريب يساعد على تصور الحجم، لكن فحص التماس يستعمل الجذور الدقيقة. نصف المحيطة أكبر من 6، بينما الصغيرة أصغر من 1؛ ظهور مركز واحد لا يعني تطابق الدائرتين.

راجع مجموع الأنصاف وفرقها في الحلين

للصغيرة، البعد بين M و A هو 2√3، ومجموع الأنصاف 3+r=3+(2√3−3)=2√3. تقع نقطة التماس على القطعة من M إلى A، لأن الدائرتين متماستان خارجيًا. يتكرر الحساب مع B و C إذ إن المسافات الثلاث متساوية.

للمحيطة، الفرق R−3=2√3 يساوي البعد نفسه. لأي نقطة X في القرص الأصلي ذي المركز A، لدينا MX≤MA+AX≤2√3+3=R. لذلك يحتوي القرص الكبير ذلك القرص، وتتحقق المساواة على الشعاع من M مرورًا بـ A.

نقطة التماس الداخلي تقع بعد A في الاتجاه من M إلى A؛ أما تماس الصغيرة فيقع بينهما. مثلًا على خط MA، نقطة الصغيرة M+[r/(2√3)](A−M)، ونقطة المحيطة M+[R/(2√3)](A−M). اختلاف عاملي الضرب يحدد موقع كل تماس.

الرسم الأول يوضح الدائرة الصغيرة بين الثلاث، والرسم الداخلي يضيف المحيطة ويستعمل مقياسًا أصغر يتسع لها. تظهر القطع من M إلى المراكز لتوضيح المسافة المشتركة؛ ليست هذه القطع نفسها أنصاف أقطار الدوائر الأصلية.

اختبر حذف الإشارة وفقدان شرط التماس

إذا استبدلنا k₋ بالعدد الموجب 2√3/3−1، صار باقي الطرف الأيسر ناقص الأيمن في (1+k)²=2(1/3+k²) مساويًا −4+8√3/3، وهو غير صفر. نصف المحيطة الموجب صحيح هندسيًا، لكن إدخال مقلوبه موجبًا في المعادلة يغير الاتجاه المطلوب.

ولا يمكن جعل الرابعة مساوية للأصلية بلا حساب. لو وضعنا k=1/3، كان (1+k)²=16/9، في حين 2(1/3+k²)=8/9. الاختلاف يرفض هذا الانحناء. لا تمنح مساواة الدوائر الثلاث الأصلية الرابعة نصف القطر نفسه.

لنغير المراكز إلى A₀=(0,0)، B₀=(8,0)، C₀=(4,4√3)، مع إبقاء أنصافها 3. المسافات الزوجية 8، لا 6؛ فقدنا التماس. المركز المتساوي المسافات M₀=(4,4√3/3)، ومربع بعده عن كل مركز 64/3، بدل 12.

لو نقلنا r=2√3−3 إلى هذا المركز، لبقي مربع مجموع الأنصاف (3+r)²=12، مختلفًا عن 64/3. إذن الدائرة المنقولة لا تمس الثلاث بالطريقة الأصلية. لا نزعم أن الوضع الجديد يمنع وجود أي دائرة رابعة؛ إنما نرفض تطبيق العلاقة دون شرطها.

تحقق من التكبير وحدود الاستنتاج

عند التكبير بعامل 2 تصبح المراكز A=(0,0)، B=(12,0)، C=(6,6√3)، ويصبح M=(6,2√3). أنصاف الأصلية 6، ونصف الصغيرة 4√3−6، ونصف المحيطة 6+4√3. البعد المشترك 4√3 يساوي المجموع أو الفرق المناسب.

تنقسم جميع الانحناءات على 2 لأن كل نصف قطر يتضاعف. كل طرف من علاقة ديكارت مجموع حدود تربيعية، ولذلك ينقسم على 4؛ تبقى المساواة صحيحة. لا تضاعف الانحناء حين تضاعف نصف القطر، ولا تخلط وحدة الطول بوحدة مقلوبه.

التناظر في المراكز الثلاثة والأنصاف المتساوية هو ما جعل مركز الحلين واحدًا هنا. عندما تختلف الأنصاف لا يكفي نسخ M، ولا نقرر من الجذر الأصغر وحده أنه سالب أو أن دائرته تحيط بالثلاث. نحتاج شروط البناء وإشارته وموقعه الهندسي.

للمراجعة، ثبت التماس الأول، ثم احتفظ بإشارات الانحناء أثناء حل المعادلة، وحول الجذور إلى أطوال موجبة. استخرج المركز من الإحداثيات وافحص المجموع أو الفرق. المبرهنة العامة مسندة إلى المرجع؛ الاشتقاق والفحوص في المقال تثبت هذا المثال المحدد.