منحنى فك الدائرة: هل الخيط مماس لمسار طرفه؟

الخلاصة السريعة

الخيط ليس مماسًا لمسار طرفه؛ إنه عمودي على مماس هذا المسار في المواضع المنتظمة. عند زاوية فك π/2 تكون T=(0,2) وP=(π,2): الخيط أفقي وطولهπ، بينما مماس المسار رأسي x=π، وطول المسار من البدايةπ²/4.

• نثبت دائرة مركزها O=(0,0) ونصف قطرها2. تبدأ النهاية الحرة عند A=(2,0)، ثم نفك الخيط دون انزلاق. زاوية نقطة التلامس t موجبة عكس عقارب الساعة، وبالراديان؛ ندرس t≥0.
• نقطة التلامس T=(2cos t,2sin t)، وطول الجزء المستقيم2t. النهاية P=(2(cos t+t sin t),2(sin t−t cos t)). [1][2] اتجاه الخيط هو(sin t,−cos t)، عمودي على نصف القطر.
• عند t=π/2 يكون T=(0,2) وP=(π,2)، وطول TP=π. البعد OP=√(π²+4) أكبر من2؛ النهاية الحرة ليست نقطة على دائرة الأساس.
• المشتقة P′=(2t cos t,2t sin t) موازية لنصف القطر OT وعمودية على TP. عند P=(π,2) يكون مماس المسار x=π، والخيط على y=2 مماسًا للدائرة عند T فقط.
• لأن مقدار المشتقة2t في t≥0، فإن طول المسار s(t)=t². عند π/2 يكونπ²/4＜π، وعند π يصبحπ²＞2π. يتساويان عند t=2 راديان. طول القوس المنفك يساوي طول الخيط المستقيم، ولا يساوي عمومًا طول مسار النهاية.
• في البداية t=0 تنعدم المشتقة، لكن اتجاه المماس الحدي من الفرع الموجب أفقي y=0. المعامل زاوية وليس زمنًا. الصور أجزاء محدودة من نموذج هندسي، ولا تمثل تجربة فعلية أو تصميم ترس.

ثبت الدائرة وحدد اتجاه الفك

دائرة الأساس مركزها O=(0,0)، ونصف قطرها2 وحدات. نسمي النقطة A=(2,0) بداية الطرف الحر. في هذا النموذج يبقى مركز الدائرة ومحيطها في موضعهما؛ الذي يتغير هو الجزء المنفك من الخيط ونقطة تلامسه مع الدائرة.

نفرض خيطًا مثاليًا بلا سمك، مشدودًا وغير قابل للتمدد، ينفك دون انزلاق. الجزء الذي يغادر المحيط يمتد مستقيمًا في اتجاه مماس الدائرة عند نقطة التلامس. هذا وصف هندسي لبناء المسار، وليس قياسًا لقوى الشد.

نسمي زاوية نقطة التلامس t، مقاسة من الاتجاه الأفقي الموجب عكس عقارب الساعة. نستخدم الراديان وt≥0. طول القوس الذي غادر الدائرة هو2t، فيساويه طول الجزء المستقيم المنفك TP.

النقطة T على دائرة الأساس، أما P فهي النهاية الحرة التي تتتبع المنحنى. مساواة طول الخيط بالقوس المنفك لا تعني أن نهاية الخيط تتحرك على ذلك القوس؛ إنها تتحرك خارج الدائرة في مسار آخر.

الاسم الإنفولوتي يحدد المنحنى المرجعي الذي سنراجع معادلته. [1] نركز على البناء والمماس والطول، دون استعمال تاريخ الساعات أو هندسة أسنان التروس لتبرير الحساب.

استخرج موضع النهاية من قطعة المماس

إحداثيات نقطة التلامس T=(2cos t,2sin t). متجه الوحدة في الاتجاه المختار للخيط هو(sin t,−cos t). حاصل ضربه القياسي مع متجه نصف القطر(2cos t,2sin t) يساوي صفرًا، لذلك الاتجاهان متعامدان.

طول TP هو2t، لذا يكون متجهها(2t sin t,−2t cos t). نضيفه إلى T، فنحصل على P=(2(cos t+t sin t),2(sin t−t cos t)). تتفق هذه الصيغة مع معادلتي المنحنى في المرجعين عند نصف القطر2. [1][2]

عند t=0 نجد T=P=A=(2,0)، لأن طول الجزء المنفك صفر. للزاوية الموجبة الصغيرة تتحرك T صعودًا على المحيط، بينما اتجاه القطعة الحرة له مركبة رأسية سالبة؛ جمعهما يعطي مسار P المحدد، فلا نحذف إشارة السالب من الصيغة.

نراجع طول القطعة مباشرة: TP²=4t²(sin²t+cos²t)=4t². ومع t≥0 يكون TP=2t. كذلك OT²=4، لذلك تبقى نقطة التلامس على الدائرة ذات نصف القطر2.

المتجهان OT وTP متعامدان؛ المثلث OTP قائم عند T. ينتج OP²=4+4t²=4(1+t²). عند كل t موجب يكون OP أكبر من2، ولذلك لا يجوز رسم النهاية الحرة على محيط دائرة الأساس.

هذه صيغة بمعامل زاوي. لا نعامل t بوصفه المسافة نفسها أو زاوية ميل OP تلقائيًا؛ إنه زاوية OT التي تحدد التلامس، ومنه نحسب الموضع والطول والاتجاه.

ربع فك يعطي نقطة خارج الدائرة

نختار t=π/2. الجيب1 وجيب التمام0، لذلك T=(0,2)، وP=(π,2). الخيط TP أفقي من نقطة التلامس أعلى الدائرة إلى النهاية الحرة على يمينها.

طول القطعة TP=π، وطول القوس الدائري من A إلى T يساوي2×π/2=π أيضًا. تساوي هذين الطولين جزء من شرط الفك دون انزلاق؛ لا يثبت أن طول المسار المنحني من A إلى P يساويπ.

نصف القطر OT رأسي وطوله2، والخيط أفقي وطولهπ. من المثلث القائم نجد OP=√(π²+4)، أي نحو3.724192. أما معامل نصف قطر دائرة الأساس فيبقى2؛ هذه المسافة إلى النهاية ليست نصف قطر جديدًا للدائرة.

الرسم الرئيسي يعرض دائرة الأساس كاملة والجزء من مسار النهاية الموافق0≤t≤π/2. القوس الدائري الذهبي والقطعة TP الذهبية لهما الطول نفسهπ؛ الأزرق مسار النهاية الحرة، وليس قوسًا من دائرة الأساس.

يضع الجدول الأصل وبداية الفك ونقطة التلامس والنهاية، ثم وضع نصف الفك H=(-2,0) وQ=(-2,2π). هذا الوضع الأخير يقابل t=π، وسنستخدمه لمقارنة الأطوال في فترة أطول.

الخيط مماس للدائرة وعمودي على المسار

نشتق الإحداثيين بالنسبة إلى t. في الأول تلغي مشتقة cos t الحد sin t الناتج من مشتقة t sin t، فيبقى dx/dt=2t cos t. وفي الثاني تلغي مشتقة sin t الحد cos t، فيبقى dy/dt=2t sin t.

إذن P′=(2t cos t,2t sin t). عند t موجب هذا المتجه غير صفري، واتجاهه موازٍ للمتجه OT. إنه اتجاه مماس مسار النهاية عند P، وليس اتجاه الخيط TP.

للتأكد من التعامد نحسب P′·(P−T)=4t²(cos t sin t−sin t cos t)=0. الخيط عمودي على مماس المسار؛ أي إنه يقع على المستقيم العمودي على المنحنى عند نهايته الحرة.

في مثال t=π/2 تصبح P′=(0,π)، فيكون المماس رأسيًا x=π. أما الخيط فيقع على المستقيم الأفقي y=2، وهو مماس الدائرة عند T=(0,2). الخطان يتعامدان عند P.

لا ننقل وصف المماس من منحنى إلى آخر لمجرد اشتراكهما في خط البناء. المستقيم y=2 يلمس الدائرة عند T، لكنه يمر بالنهاية P في اتجاه عمودي على مماس مسارها.

عند t=π يكون H=(-2,0) وQ=(-2,2π). الخيط HQ رأسي، ومشتقة المسار(-2π,0) أفقية. يظهر التعامد نفسه باتجاهين متبادلين في الصورة الداخلية؛ الخاصية ليست مصادفة تخص ربع الفك.

افصل طول الخيط عن طول المسار

مقدار المشتقة هو√((2t cos t)²+(2t sin t)²)=2|t|. على الفرع المدروس t≥0 يساوي2t. هذه كمية طول لكل وحدة زاوية؛ لا نسميها سرعة بوحدة طول لكل ثانية دون تحديد الزمن.

طول مسار النهاية من A إلى الموضع ذي المعامل t هو تكامل2u بين0 وt. نستخدم u متغيرًا داخل التكامل حتى يبقى t حد النهاية. الناتج s(t)=t²، وهو ما يوافق صيغة نصف القطر2 في المرجع. [1]

عند ربع الفك نحصل على s(π/2)=π²/4≈2.467401، بينما طول TP=π≈3.141593. المسار المنحني هنا أقصر من قطعة الخيط الحالية، رغم أن كلاهما طول صحيح في البناء نفسه.

عند نصف الفك t=π يكون s(π)=π²≈9.869604، وطول HQ=2π≈6.283185. هنا المسار أطول من الجزء المنفك. لذلك لا نعمم مقارنة موضع ربع الفك على جميع الزوايا.

لأي t موجب، فرق الطولين s(t)−2t=t(t−2). يتساويان عند t=2، ويكون المسار أقصر قبل هذه الزاوية وأطول بعدها. العدد2 هنا راديان، وليس دورتين أو وحدتي طول.

هناك ثلاثة أطوال ينبغي تسمية طرفيها: القوس على دائرة الأساس من البداية إلى التلامس، والقطعة المستقيمة من التلامس إلى النهاية، والمسار الذي رسمته النهاية من A. يتساوى الأول والثاني بشرط الفك؛ الثالث ينتج من تكامل مساره الخاص.

راجع البداية وحدود الجزء المرسوم

عند t=0 تنعدم مشتقتا الإحداثيين، فتكون نسبة dy/dt إلى dx/dt من النوع0/0. هذا لا يحذف النقطة A=(2,0) من المسار، ولا يعطي وحده قيمة للميل.

لـt موجب، اتجاه المشتقة بعد قسمتها على مقدارها هو(cos t,sin t). عندما t→0⁺ يقترب من(1,0)، فيكون المماس الحدي من هذا الفرع أفقيًا y=0. أما مماس دائرة الأساس عند A فهو رأسي x=2.

في بداية الفك تتلاشى القطعة TP، ولذلك لا نستخدم اتجاه قطعة بطول صفر بدل الحد. نحن ندرس الفرع غير السالب وحده؛ الاستنتاج هنا يحدد مماسه الابتدائي من جهة واحدة.

الصورة الداخلية تعرض0≤t≤π، لا كامل امتداد المسار. البعد OP=2√(1+t²) يزداد بلا حد مع t؛ العودة إلى اتجاه على الدائرة بعد دورة لا تعيد النهاية الحرة إلى موضعها الأول.

يمكن تغيير موضع الدائرة أو مقياسها، لكن يجب نقل البناء كله معًا. صورنا تستعمل مركزًا ثابتًا ونصف قطر2، ومقياسًا متساويًا على المحورين في كل لوحة، لكي تظهر عمودية الخيط والمماس بصورة صحيحة.

هذه مخططات محسوبة لخيط مثالي ودائرة هندسية. لم ننفذ تجربة فك فعلية، ولا نستخدم الصور لإثبات أداء ساعة أو ترس. صحة المثال تقوم على الإحداثيات والتعامد والاشتقاق وتكامل الطول.