التكامل التراكمي للعينات: لماذا يتراكم الانحياز؟

اجمع إزاحات الفترات قبل قراءة الموضع

تحتفظ cumtrapz بقيم التكامل الوسيطة، بينما تعيد trapz القيمة النهائية فقط. [1]

نعرّف عينة سرعة متجهة vₙ على محور واحد عند الزمن tₙ. نرتب الأزمنة ترتيبًا متزايدًا ونفترض وصلًا خطيًا بين كل عينتين. مساحة الفترة الموقعة هي عرضها مضروبًا في متوسط قيمتي طرفيها: ΔQₙ=(tₙ−tₙ₋₁)(vₙ₋₁+vₙ)/2.

يمكن اشتقاق ذلك دون برنامج: إذا كان عرض الفترة h، فالسرعة داخلها v₀+(v₁−v₀)τ/h. تكاملها من τ=0 إلى h هو hv₀+h(v₁−v₀)/2=h(v₀+v₁)/2. هذه قيمة دقيقة للوصل الخطي المعلن؛ لا يجعل ذلك الحركة الحقيقية خطية.

نبدأ Q₀=0 ثم نجمع إزاحة كل فترة: Qₙ=Qₙ₋₁+ΔQₙ. أول عينة تحدد البداية، ولا تمثل فترة زمنية قبلها. لذلك أربع عينات تعطي ثلاث فترات، لا أربعًا.

اخترنا الأزمنة 0 و0.5 و1 و1.5 s، والسرعات 2 و4 و2 و0 m/s. الإزاحات الجزئية هي 0.5×(2+4)/2=1.5 m، ثم 0.5×(4+2)/2=1.5 m، ثم 0.5×(2+0)/2=0.5 m. المجموعات المتعاقبة 0 و1.5 و3 و3.5 m.

لو استخدمنا قيم الطرف الأيسر على الفترات لكانت المجموعات 0 و1 و3 و4 m، ولو استخدمنا الطرف الأيمن لكانت 0 و2 و3 و3 m. في كل فترة، متوسط مساهمتي الطرفين هو مساهمة شبه المنحرف؛ إذن في كل بادئة Q=(L+R)/2. لا ندعي هنا أن الأيسر أصغر دائمًا أو أن الأيمن أكبر دائمًا.

وحدة الناتج m، لأن (m/s)×s=m. وإذا كان الموضع الابتدائي p₀=10 m، فنضيفه إلى Q: المواضع 10 و11.5 و13 و13.5 m. لا نستنتج من Q₀=0 أن الجسم بدأ من أصل محور الموضع.

الفاصل الزمني يغير الرقم

تفترض صيغة cumtrapz(Y) فاصلًا مقداره 1؛ يمكن تحديد فاصل ثابت أو إحداثيات العينات صراحة. [1]

حساب قيم مثالنا بفاصل 1 يعطي 0 و3 و6 و7. إذا فسرناه على أنه أمتار مع أن الفاصل الحقيقي 0.5 s، ضاعفنا إزاحة النموذج. نضرب هذه النتائج في 0.5، أو نستخدم الأزمنة نفسها في الصيغة؛ فنعود إلى 0 و1.5 و3 و3.5 m.

أربع عينات بفاصل 0.5 s تمتد من 0 إلى 1.5 s. ضرب عدد العينات في الفاصل يعطي 2 s ويفترض فترة إضافية لم توفرها البيانات. لذلك نأخذ المدة من الفرق بين آخر زمن وأوله.

لنغير الأزمنة إلى [0,0.5,1.5,2] s، مع إبقاء قيم السرعات [2,4,2,0] m/s. عروض الفترات الآن 0.5 و1 و0.5 s، فتكون إزاحاتها 1.5 و3 و0.5 m، ومجموعاتها 0 و1.5 و4.5 و5 m. تغير أزمنة القيم يغير الإزاحة حتى لو بقيت قائمة السرعات نفسها.

نعلن في هذا المقال أزمنة متزايدة. إذا كانت القياسات غير مرتبة، نرتب أزواج الزمن والسرعة معًا، ولا نرتب إحدى القائمتين وحدها. وإذا غابت عينة، لا ندخل سرعة صفرية دون دليل؛ الفاصل الأطول يفترض وصلًا خطيًا على مدة أطول.

اشتق أثر الانحياز من الفترات نفسها

نفترض أن كل قراءة سرعة تساوي القيمة الأصلية زائد b ثابت. لا نفترض وجود ضوضاء أخرى في هذه المقارنة، ولا نغير الأزمنة أو الموضع الابتدائي. عند كل فترة، فرق الإزاحتين هو h[(v₀+b)+(v₁+b)]/2−h(v₀+v₁)/2=hb.

بتجميع الفترات حتى tₙ، يصبح الفرق bΣⱼ₌₁ⁿ(tⱼ−tⱼ₋₁). الحدود الزمنية الداخلية تلغي بعضها، فيبقى b(tₙ−t₀). لا يحتاج هذا الاشتقاق إلى فاصل ثابت؛ يحتاج إلى الانحياز الثابت نفسه في جميع العينات.

في المثال الأول، نضيف b=0.2 m/s فتكون القراءات [2.2,4.2,2.2,0.2] m/s. الإزاحات الجزئية 1.6 و1.6 و0.6 m، والتراكم 0 و1.6 و3.2 و3.8 m. طرح النتائج الأصلية يعطي 0 و0.1 و0.2 و0.3 m، مطابقًا للانحياز مضروبًا في المدة.

وفي الأزمنة غير المنتظمة، تكون الإزاحات الجزئية الجديدة 1.6 و3.2 و0.6 m، والمجموع الأخير 5.4 m. الفرق 0.4 m يساوي 0.2 m/s×2 s؛ لم يتغير قانون الانحياز بسبب اختلاف عروض الفترات.

هذه مساواة بين حسابين على شبكة العينات نفسها. قد توجد أيضًا أخطاء من شكل الحركة بين العينات أو من قيمة الموضع الابتدائي. فإذا أضفنا خطأ موضع ابتدائي a، صار فرق الموضع a+b(tₙ−t₀) في هذه المقارنة. لا تضمن المساواة وحدها دقة الموضع الحقيقي.

خفض الفاصل مع بقاء المدة والانحياز ثابتين لا يخفض هذا الجزء من الخطأ؛ فالمجموع ما زال b×المدة. إزالة الانحياز المعلوم من القراءات تزيل أثره المحدد هنا، لكنها لا تزيل تلقائيًا خطأ الوصل الخطي أو ضوضاء غير معلومة.

العينات لا تحدد كل ما بينهما

يعتمد شبه المنحرف على وصل خطي بين نقاط البيانات؛ قد تنخفض الدقة عندما يكون السلوك بينها غير خطي. [2]

في مثالنا، عرفنا منحنى أول يصل العينات بخطوط مستقيمة. له إزاحة دقيقة 3.5 m. نبني منحنى ثانيًا يضيف داخل الفترة الأولى فقط h(t)=4u(1−u) m/s، حيث u=t/(0.5 s)، ثم نجعل الإضافة صفرًا في بقية المدة.

عند t=0 وt=0.5 s يكون u صفرًا أو واحدًا، فتكون الإضافة صفرًا. لا تتغير أي عينة من الأربع؛ لذا يعطي حساب شبه المنحرف النتيجة نفسها للمنحنيين. لكن داخل الفترة الأولى، عند u=1/2، تبلغ الإضافة 1 m/s.

تكامل الإضافة هو (0.5 s)×4 m/s×∫₀¹(u−u²)du=2 m×(1/2−1/3)=1/3 m. لذلك إزاحة المنحنى الثاني 3.5+1/3=23/6 m. هذا مثال مستقل يثبت أن تطابق العينات لا يثبت تطابق التكامل الحقيقي، وليس وصفًا لجهاز قياس أو نتيجة تنفيذ MATLAB.

نحتفظ بإشارة السرعة عند حساب الإزاحة. في مثال آخر على [0,1] s، اختر سرعة خطية تنخفض من 2 إلى −2 m/s؛ تكون صفرًا عند نصف ثانية. مساحة النصف الأول الموقعة 0.5 m، والثاني −0.5 m، فالإزاحة صفر.

المسافة على هذا الوصل الخطي تجمع مقداري المساحتين، فتساوي 1 m. أما أخذ القيمة المطلقة للعينتين أولًا فيعطي [2,2] m/s، وتكامل شبه المنحرف لهما يعطي 2 m. السبب أن الوصل بين مقداري الطرفين لا يساوي مقدار الوصل الأصلي عند تغير الإشارة؛ يلزم تقسيم الفترة عند الصفر أو استعمال نموذج مناسب للمسافة.

قبل تسمية العدد موضعًا أو مسافة، سجل الأزمنة ووحدة السرعة وقيمة البداية وافتراض الوصل. وافصل خطأ الانحياز عن خطأ هذا الافتراض؛ زيادة عدد الأرقام المكتوبة لا تعالج أيًا منهما.