برهان أن√2 غير نسبي: لماذا يلزم كسر مختزل؟

لماذا نبدأ بكسر مختزل؟

نفترض√2=m/n مختزلًا: m وn صحيحان موجبان بلا قاسم مشترك أكبر من1. [2]

في6/10 البسط6=2×3 والمقام10=2×5؛ بالقسمة على2 نجد3/5. الحساب يعيد القيمة نفسها، بينما6 و10 زوجيان، و3 و5 فرديان.

العدد1.4142 نسبي: يساوي14142/10000=7071/5000. هذا يصف العدد العشري المكتوب، ولا يثبت مساواته للجذر. سنفحصه بحساب صحيح دون الاعتماد على دقة شاشة الحاسبة.

كيف تنتقل الزوجية من المربع؟

إذا قسم العدد الأولي2 حاصل الضرب m×m، فإنه يقسمm؛ هذه حالة من قاعدة القاسم الأولي للضرب. [3]

إذا كان m=2t+1، فمربعه4t²+4t+1=2(2t²+2t)+1 فردي؛ لذلك مربع الفردي ليس زوجيًا. [1][3]

مثالان للتوضيح فقط:9²=81 فردي، و10²=100 زوجي. لا تُثبت هاتان القيمتان القاعدة لجميع الأعداد؛ الصيغة العامة هي التي تمنع الاستثناء.

في6²=36، نكتب36=4×9 لكن6=4×1+2؛ الباقي الأول0 والثاني2.

سلسلة التناقض خطوة بخطوة

نفترض√2=m/n؛ إذن m²=2n²، فيكونm=2k، حيثk صحيح. بالتعويض4k²=2n²، ومنها n²=2k²؛ كلاهما زوجي، خلاف الاختزال. [1][2]

البسط الزوجي ممكن، مثل2/3. شرط الاختزال يمنع العامل المشترك؛ لا يلزم أن يكون الطرفان أوليين. [2]

القسمة على2 تعطي n²=2k²، لاn²=k². [1]

في√4=2/1، المساواة m²=4n² تعطي m=2n دون إلزامn بالزوجية؛ المقام1 فردي. [1]

تقريب قريب لا يعني مساواة

في مثال7/5:49−2×25=−1؛ مربع الكسر49/25=1.96، وهو أقل من2. إذن7/5 أقل من√2، مع أن قيمته1.4 قريبة منه.

في مثال99/70:9801−2×4900=1؛ مربعه2+1/4900، أكبر من2. هذه الزيادة الصغيرة لا تختفي لمجرد أن الكسر يعطي تقريبًا جيدًا.

في مثال7071/5000:7071²=49999041 و2×5000²=50000000؛ الفرق−959. لذلك1.4142²=1.99996164، لا2. القرب لا يبدّل علامة≈ إلى علامة=.

الفرق الصحيح m²−2n² يكفي لنفي مساواة كسر معين بالجذر إذا لم يكن صفرًا. لكنه ليس الخطأ في قيمة الجذر نفسه؛ خطأ المربع هو هذا الفرق مقسومًا علىn².

البرهان يشمل أي كسر مختزل مفترض؛ فحص الأمثلة وحده ليس برهانًا عامًا. [1][2]