خطأ تقدير الجاذبية بالبندول: اختر النموذج المناسب للسعة. [1]
الخلاصة السريعة
السعة الكبيرة تطيل زمن الدورة؛ إدخاله في قانون الزوايا الصغيرة يعطي تقديرًا أقل للجاذبية. [2]
- نموذج مفترض: كتلة نقطية وخيط خفيف لا يتمدد، بطول L>0 من التعليق إلى الكتلة، وجاذبية ثابتة g>0. نحرر البندول من السكون بسعة زاوية θ0، من الرأسي للأسفل، بلا تخميد أو دفع. T زمن دورة كاملة. [1]
- المعادلة θ̈=−(g/L)sinθ. للزوايا الصغيرة بالراديان نستبدل sinθ≈θ فنحصل على T0=2π√(L/g). T0 حد السعة المتناهية الصغر؛ ليس فترة دقيقة لكل زاوية. الكتلة تلغى من المعادلة المثالية. [1]
- ليبقى الخيط مشدودًا عند التحرير نختار 0<θ0<π/2؛ مثالنا θ0=π/3. نعرف k=sin(θ0/2)، وK(k)=∫₀^(π/2)du/√(1−k²sin²u). التكامل الإهليلجي يعطي T=4√(L/g)K(k). u متغير تكامل، وθ وθ0 بالراديان. [2]
- إذا حسبنا تقدير الجاذبية g_app=4π²L/T² من زمن واسع السعة، وبتعريف r=T/T0، نستنتج g_app/g=1/r². زيادة الفترة تجعل التقدير أصغر؛ لا تعني أن الجاذبية الفعلية تغيرت. [1]
- مثال حسابي L=1m وg=10m/s² وθ0=60°=π/3: k=0.5 وK(k)≈1.685750؛ T0≈1.986918s وT≈2.132324s. بالتكامل العددي نجد r≈1.073182، أي أن الفترة أطول بنحو 7.32%. الأرقام ليست قياسًا ميدانيًا. [2]
- للمثال نفسه g_app≈8.682669m/s²؛ الانخفاض النسبي 100(1−g_app/g)≈13.17%. لا يساوي نسبة زيادة الفترة أو خطأ تقريب الجيب. m متر وs ثانية؛ θ̈ تسارع زاوي. نفترض طولًا وجاذبية معلومين، ونحسب انحياز النموذج وحده دون أخطاء التوقيت. [1]
ثبت نموذج البندول
نموذج مفترض: كتلة نقطية وخيط خفيف لا يتمدد، بطول L>0 من التعليق إلى الكتلة، وجاذبية ثابتة g>0. نحرر البندول من السكون بسعة زاوية θ0، من الرأسي للأسفل، بلا تخميد أو دفع. T زمن دورة كاملة. [1]
ميز الحد الصغير
المعادلة θ̈=−(g/L)sinθ. للزوايا الصغيرة بالراديان نستبدل sinθ≈θ فنحصل على T0=2π√(L/g). T0 حد السعة المتناهية الصغر؛ ليس فترة دقيقة لكل زاوية. الكتلة تلغى من المعادلة المثالية. [1]
احسب الفترة خارج التقريب
ليبقى الخيط مشدودًا عند التحرير نختار 0<θ0<π/2؛ مثالنا θ0=π/3. نعرف k=sin(θ0/2)، وK(k)=∫₀^(π/2)du/√(1−k²sin²u). التكامل الإهليلجي يعطي T=4√(L/g)K(k). u متغير تكامل، وθ وθ0 بالراديان. [2]
افحص صيغة تقدير الجاذبية
إذا حسبنا تقدير الجاذبية g_app=4π²L/T² من زمن واسع السعة، وبتعريف r=T/T0، نستنتج g_app/g=1/r². زيادة الفترة تجعل التقدير أصغر؛ لا تعني أن الجاذبية الفعلية تغيرت. [1]
عوض سعة ستين درجة
مثال حسابي L=1m وg=10m/s² وθ0=60°=π/3: k=0.5 وK(k)≈1.685750؛ T0≈1.986918s وT≈2.132324s. بالتكامل العددي نجد r≈1.073182، أي أن الفترة أطول بنحو 7.32%. الأرقام ليست قياسًا ميدانيًا. [2]
فسر الانحياز والوحدات
للمثال نفسه g_app≈8.682669m/s²؛ الانخفاض النسبي 100(1−g_app/g)≈13.17%. لا يساوي نسبة زيادة الفترة أو خطأ تقريب الجيب. m متر وs ثانية؛ θ̈ تسارع زاوي. نفترض طولًا وجاذبية معلومين، ونحسب انحياز النموذج وحده دون أخطاء التوقيت. [1]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.