زاوية بروكار: ثلاث زوايا متساوية ونقطتان داخل المثلث

الخلاصة السريعة

زاوية بروكار هي الزاوية المشتركة عند نقطة داخل المثلث تحقق∠PAB=∠PBC=∠PCA. وعند النقطة الثانية يتبدل ترتيب الأضلاع إلى∠QAC=∠QCB=∠QBA، مع الزاوية المشتركة نفسها. [1] الحرف الأوسط في اسم الزاوية يحدد رأسها.

• في مثالنا،∠PAB عند A، و∠PBC عند B، و∠PCA عند C. عند Q نختار AC ثم CB ثم BA بدل AB ثم BC ثم CA. لا نأخذ زاويةً عند P أو Q نفسها.
• مربعات الأضلاع 208 و 160 و 144، ومجموعها 512، والمساحة 72. لذلك cotω=512/(4×72)=16/9، و tanω=9/16؛ نحسبω بالظل العكسي مع اختيار وحدة الدرجات.
• المعادلتان 9x−16y=0 و 30x+59y=360 تعطيان P=(1920/337,1080/337)، وتحقق هذه النقطة 57x+11y=360 أيضًا. ثلاث نسب من المحدد والضرب القياسي تعطي 9/16.
• في الترتيب المعكوس، تعطي 39x−43y=0 و 9x+16y=108 النقطة Q=(1548/337,1404/337)، وتحقق 66x+5y=324. نسب الزوايا الثلاث هنا 9/16 أيضًا؛ لكن Q تختلف عن P.
• لو اخترنا tanω=1/2 عشوائيًا، التقى الشعاعان الأولان عند Z=(32/5,16/5)، ولم تمر Z على شعاع C المطلوب: باقي 7x+y=40 عندها 8. ومركز الثقل G=(16/3,4) يعطي ظلالًا مختلفة 3/4 و 9/19 و 9/17.
• لا تزيد زاوية بروكار على 30°؛ نثبت الحد بهوية ظلال التمام ومجموع مربعات. تتطابق النقطتان في المثلث المتساوي الأضلاع؛ والتكبير المنتظم يغيّر الإحداثيات ويحفظ الزاوية.

اقرأ الزوايا بترتيب دوري واضح

نقطة بروكار الأولى داخل المثلث تجعل∠PAB و∠PBC و∠PCA متساوية. للنقطة الثانية Q نقرأ∠QAC و∠QCB و∠QBA، وتساوي زاويتها المشتركة زاوية الأولى. [1] نسمي هذه الزاويةω.

اسم∠PAB يعني الزاوية بين AP و AB عند A، وليس بين PA و PB عند P. و∠PBC تقع عند B بين BP و BC، بينما∠PCA عند C بين CP و CA. ترتيب الأضلاع في المجموعة الأولى AB ثم BC ثم CA.

أما عند Q فنبدأ من AC عند A، ثم CB عند C، ثم BA عند B؛ وللحساب حسب الرؤوس A و B و C يمكن ترتيبها∠QAC و∠QBA و∠QCB. تبقى الأسماء نفسها؛ إنما تغير ترتيب عرضها.

لا نطلب تنصيف الزوايا الداخلية ولا المرور بمنتصفات الأضلاع. المطلوب زاوية مشتركة مع ضلع مختلف في كل رأس. وهذا يميز الأشعة عن المتوسطات وعن صور المتوسطات حول منصفات الزوايا، كما في نقطة ليموان.

احسب الزاوية من المساحة ومربعات الأضلاع

إذا كانت a و b و c أطوال الأضلاع، وΔ مساحة المثلث، فإن cotω=cotA+cotB+cotC=(a²+b²+c²)/(4Δ). [1] و cot تعني ظل التمام، مقلوب الظل للزاوية الحادة التي نحسبها هنا.

في المثلث المختار، AB²=12²=144، و AC²=4²+12²=160، و BC²=(4−12)²+12²=208. مجموعها 512. الارتفاع إلى AB هو 12، فتكونΔ=12×12/2=72. لا نجمع الأطوال نفسها مكان مربعاتها.

بالتعويض، cotω=512/288=16/9، ولذلك tanω=9/16. الظل بلا وحدة؛ مجموع مربعات الأطوال والمساحة يحملان الوحدة المربعة نفسها فتُلغى. القياسω=arctan(9/16)≈29.358°، وليستω=9/16 درجة.

يمكن فحص مجموع ظلال التمام من المتجهات: cotA=1/3، cotB=2/3، cotC=7/9. مثلًا عند C، حاصل الضرب بين CA=(−4,−12) و CB=(8,−12) هو 112، والقيمة المطلقة للمحدد 144، فيكون cotC=112/144=7/9. المجموع 1/3+2/3+7/9=16/9.

احتفظ بالكسر 9/16 عند بناء الأشعة، ولا تستعمل تقريب 29.358° في الحساب الإحداثي إذا أردت فحصًا دقيقًا. ثم اعرض الزاوية بالدرجات للقارئ، مع علامة التقريب. عكس الظل في الحاسبة يحتاج معرفة هل تعرض الدرجات أم الراديانات.

استخرج النقطة الأولى وافحص الأشعة الثلاثة

في مثالنا tanω=9/16. اتجاه الشعاع من A الذي يصنع هذه الزاوية مع AB هو (16,9)، فتكون معادلته 9x−16y=0. اتجاه BC يمكن اختصاره إلى (−2,3). عند تدويره داخل الزاوية بمقدارω، يعطينا اتجاهًا موازيًا لـ (−59,30).

يمكن فحص الدوران باستعمال t=9/16: الاتجاه (−2,3) يتحول إلى (−2−3t,3−2t)=(−59/16,30/16). حذف العامل المشترك 1/16 يحفظ اتجاه الشعاع. من B=(12,0) تكون معادلته 30x+59y=360.

من المعادلة الأولى y=9x/16. بالتعويض في الثانية نحصل على 1011x/16=360، ثم x=1920/337 و y=1080/337. هذه هي P. الشعاع من C في اتجاه (11,−57) يحقق 57x+11y=360، وتحققه P لأن 57×1920+11×1080=360×337.

للتأكد من أن النقطة داخل المثلث، نكتب P=(117A+130B+90C)/337. الأوزان الثلاثة موجبة ومجموعها 337، فلا تكون النقطة على امتداد خارج المثلث. هذه كتابة تخص النموذج المحسوب؛ لم نستخدمها بدل فحص الأشعة.

لزاوية حادة بين اتجاهين u و v، ظلها يساوي|det(u,v)|/(u·v)، عندما يكون الضرب القياسي موجبًا. عند A نستخدم (1,0) و (16,9)، فالمحدد 9 والضرب 16. عند B نستخدم (−2,3) و (−59,30)، فالقيم 117 و 208. وعند C نستخدم (−1,−3) و (11,−57)، فالقيم 90 و 160.

تختزل النسب 9/16 و 117/208 و 90/160 إلى 9/16. ولأن الزوايا الثلاث حادة، يضمن تساوي الظل تساوي الزوايا. فحص إشارة الضرب القياسي مهم؛ لا يكفي تساوي كسر ما إذا تجاهلنا فرع الزاوية أو اتجاه الشعاع.

اعكس ترتيب الأضلاع واحسب النقطة الثانية

في الترتيب الثاني، نبدأ من AC عند A وندور نحو AB داخل الزاوية. اتجاه AQ هو (43,39)، فتكون 39x−43y=0. وعند B نبدأ من BA؛ اتجاه BQ هو (−16,9)، ومعادلته 9x+16y=108.

بحل المعادلتين نحصل على Q=(1548/337,1404/337). الاتجاه من C هو (5,−66)، وخط CQ هو 66x+5y=324. عند Q نجد 66×1548+5×1404=324×337، فتمر الأشعة الثلاثة بالنقطة نفسها.

تتحقق داخلية Q بالصيغة Q=(130A+90B+117C)/337. هذه أوزان مختلفة عن أوزان P، وإن كان مجموعها نفسه. الإحداثيان يثبتان أن Q≠P في هذا المثلث، رغم تساوي زاوية بروكار عند النقطتين.

نراجع الظلال بحسب الرؤوس A ثم B ثم C. بين (43,39) و (1,3)، المحدد 90 والضرب 160. وبين (−16,9) و (−1,0)، القيم 9 و 16. وبين (5,−66) و (2,−3)، القيم 117 و 208. النسب الثلاث تعطي 9/16، كما في P.

الجدول يجمع الزوايا الست، مع اتجاهات مختصرة لا متجهات بطول واحد. الضرب القياسي والمحدد يتغيران بالعامل نفسه عند تكبير اتجاه، فتظل النسبة صحيحة. الأقواس في أسماء الزوايا تؤكد الرأس والضلع المطلوبين.

زاوية عشوائية ومركز الثقل لا يكفيان

غيّر الظل إلى t=1/2. من A نحصل على الاتجاه (2,1)، أي x−2y=0. ومن B يعطي تدوير اتجاه BC نحو الداخل الاتجاه (−7,4)، أي 4x+7y=48. يتقاطع الشعاعان عند Z=(32/5,16/5).

من C، يبدأ الاتجاه نحو A من (−1,−3)، وبعد التدوير نفسه يصبح (1/2,−7/2)، أي اتجاه (1,−7). خطه 7x+y=40. عند Z نجد 7×32/5+16/5=48، وهو أكبر من 40 بمقدار 8. إذن الشعاع الثالث لا يمر بتقاطع الأولين.

اختيار زاوية موجبة صغيرة يجعل كل شعاع ممكنًا، لكنه لا يضمن اجتماع الثلاثة. القيم الدقيقة تكشف الفشل حتى لو بدت الخطوط متقاربة في رسم. لا تسمِّ تقاطع شعاعين نقطة بروكار قبل مراجعة الثالث.

ومركز الثقل G=(A+B+C)/3=(16/3,4) لا يحقق الشرط في المثال. الزوايا الدورية مع AB و BC و CA ظلالها 3/4 و 9/19 و 9/17، وهي مختلفة. وقوع G داخل المثلث وكونه مركزًا معروفًا لا يربط هذه الزوايا الثلاث.

الرسم الداخلي يظهر اختبار t=1/2. عند المستوى الرأسي نفسه للنقطة Z، تقع نقطة T على الشعاع من C إلى يسار Z. المسافة الأفقية بينهما 8/7. نستخدم المعادلات لتقرير الاجتماع، ونستخدم الرسم لتوضيح أثر تغيير زاوية واحدة في الأشعة الثلاثة.

حد الثلاثين درجة وأثر التشابه

زاوية بروكار لا تزيد على 30°. [1] نستطيع تفسير الحد بظلال التمام: ضع u=cotA و v=cotB و w=cotC. لأن A+B=180°−C، تعطي صيغة الجمع uv+vw+wu=1. المقام u+v=sinC/(sinA·sinB)>0 غير صفري.

لدينا (u−v)²+(v−w)²+(w−u)²≥0. بتوسيع المربعات نحصل على u²+v²+w²≥uv+vw+wu=1. ومن ثم (u+v+w)²=u²+v²+w²+2≥3. مجموع ظلال التمام موجب، لأنه cotω=(a²+b²+c²)/(4Δ) في مثلث مساحته موجبة.

إذن cotω≥√3، فتكونω≤30°. تتحقق المساواة عندما u=v=w، أي A=B=C=60°. يعمل البرهان أيضًا للمثلث المنفرج؛ قد يكون أحد ظلال التمام سالبًا، لكن المربعات والهوية لا تفترضان موجبًا لكل واحد منها.

في المثلث المتساوي الأضلاع، الشعاع من كل رأس إلى المركز يقسم زاوية 60° إلى 30° و 30°، فتتطابق P و Q. وإذا تطابقتا في مثلث غير منعدم، كانت الزاويتان عند كل رأس متساويتين بـω، فيكون كل رأس 2ω؛ ومن مجموع الزوايا نحصل علىω=30° ومثلث متساوي الأضلاع.

عند التكبير بعامل 2، تصبح المساحة 288 ومجموع مربعات الأضلاع 2048، ويبقى الظل 4×288/2048=9/16. تتضاعف إحداثيات P و Q، بينما لا تتغير الزاوية. النقل والدوران يحفظان الزوايا أيضًا؛ الانعكاس يبدل الترتيب الدوري للنقطتين.

فحصنا الحساب في 252 مثلثًا من أسرة ذات قاعدة ثابتة، وفي كلا الترتيبين لكل مثلث. هذه فحوص تنفيذ محددة، وليست برهانًا عامًا لوجود النقطتين أو لصيغة زاويتهما. نستبعد المثلث المنعدم، ونراجع إشارة الضرب القياسي وموقع النقطة، ونحتفظ بالكسور حتى نهاية الحل.