صيغة هيرون: مساحة المثلث من أضلاعه الثلاثة

الخلاصة السريعة

صيغة هيرون تعطي مساحة مثلث من أطوال أضلاعه الثلاثة: K=√(s(s−a)(s−b)(s−c))، حيث s=(a+b+c)/2؛ ويجب أن تكون الأطوال موجبة وأن يكون كل ضلع أقصر من مجموع الضلعين الآخرين. [1]

• لا تحتاج الصيغة إلى ارتفاع معطى، لكنها تحتاج إلى ثلاثة أطوال صالحة بوحدة واحدة. يكفي فحص أن أكبرها أصغر من مجموع الباقيين بعد التأكد من إيجابيتها؛ في المثال 65 أصغر من 36+61.
• للأضلاع 36 و 61 و 65، المحيط 162 ونصفه 81. العوامل 81 و 45 و 20 و 16 تعطي 1166400 تحت الجذر، لذلك K=1080؛ استخدام 162 بدل 81 ليس صحيحًا.
• في المثال A=(0,0)، B=(36,0)، C=(11,60)، الارتفاع العمودي 60، والمساحة 36×60/2=1080. الساق 61 ليست الارتفاع، والعمود يقسم القاعدة إلى 11 و 25، لا نصفين متساويين.
• المثلث ذو الأضلاع 10 و 10 و 12 مساحته 48. أما الأضلاع 5 و 5 و 99/10 فتعطي 99√199/400، نحو 3.49. قرب الضلع الأكبر من مجموع الباقيين يجعل المثال الثاني شديد التفلطح؛ حافظ على الدقة أثناء الحساب.
• الأطوال 1 و 2 و 3 تعطي صفرًا لكنها لا تكون مثلثًا ذا مساحة موجبة. الأطوال 1 و 2 و 4 لا تغلق مثلثًا، وتعطي −105/16 تحت الجذر. لا تأخذ القيمة المطلقة لتصحيح معطيات غير صالحة.
• إذا كانت الأطوال بالسنتيمتر فالمساحة بالسنتيمتر المربع. تكبير الأطوال بعامل 2 يجعل مساحة مثال 1080 تساوي 4320، والمحيط 324. إعادة ترتيب الأضلاع لا تغيّر حاصل الضرب أو المساحة.

افحص الأطوال قبل حساب نصف المحيط

صيغة هيرون تخص مساحة مثلث مستوٍ من أطوال أضلاعه، ولا تتطلب أن يكون قائمًا أو متساوي الساقين. المرجع يحدد الأطوال الموجبة ومتباينات المثلث الصارمة بوصفها مجال الحساب. [1] لا نستعمل الصيغة نفسها لسطح منحني أو لرباعي بأربعة أضلاع.

رتب الأطوال من الأصغر إلى الأكبر. بعد التأكد من أن كل طول موجب، افحص أكبرها: يجب أن يكون أصغر من مجموع الاثنين الآخرين. حين يكون كذلك، تكون المتباينتان الباقيتان متحققتين أيضًا؛ لأن جمع طول موجب إلى الأكبر يتجاوز كل طول أصغر.

في المثال 36 و 61 و 65، نجد 36+61=97، وهو أكبر من 65. الأطوال الثلاثة صالحة. لا يفيد كون مجموعها موجبًا وحده؛ فقد يكون أحدها أكبر من مجموع الباقيين فلا يلتقي الضلعان الآخران لتشكيل مساحة.

وحّد الوحدات قبل الجمع. لا تجمع طولًا بالسنتيمتر وآخر بالمتر كما لو أنهما بالأعداد نفسها. الإحداثيات التي سنستخدمها للتحقق لاحقًا نموذج حسابي من إنشاء المقال، وليست قياسات تجريبية أو صورة يمكن قياس المسافات منها.

اضرب نصف المحيط في الفروق الثلاثة

نسمي الأطوال a و b و c، ونصف المحيط s. الصيغة K=√(s(s−a)(s−b)(s−c))، مع s=(a+b+c)/2. [1] تحت الجذر أربعة عوامل: نصف المحيط نفسه، ثم الفرق بينه وبين كل ضلع. كلها عوامل مضروبة معًا.

اختر a=36 و b=61 و c=65. المجموع 162، لذلك s=81. ثم s−a=45 و s−b=20 و s−c=16. الجدول يوضح كل عامل، كي لا نسقط نصف المحيط نفسه أو نكرر فرقًا مكان آخر.

حاصل الضرب 81×45×20×16=1166400. وبما أن 1080²=1166400، فإن الجذر غير السالب يعطي K=1080. كتابة الجذر قبل التحقق من المنتج تساعد على إبقاء الخطوات منفصلة وواضحة.

لو وضعت 162 مكان s، لأصبحت العوامل 162 و 126 و 101 و 97. هذا حساب آخر لا يمثل مساحة المثلث. كما أن جمع 81 و 45 و 20 و 16 بدل ضربها لا يطبق الصيغة؛ لا يحدد شكل الأرقام العملية الحسابية المطلوبة.

الأضلاع لا تحتاج إلى ترتيب خاص داخل حاصل الضرب. إذا بدلت a و b، تبادل العاملان s−a و s−b مكانهما فقط. نصف المحيط نفسه لا يتغير. افحص الثلاثة مرة واحدة، ولا تحاول اختيار ضلع بوصفه ارتفاعًا.

تحقق بالإحداثيات وبالارتفاع العمودي

اختر A=(0,0)، B=(36,0)، C=(11,60). طول AB يساوي 36. ومربع AC يساوي 11²+60²=3721، فيكون AC=61. ومربع BC يساوي 25²+60²=4225، فيكون BC=65. إذن هذا المثلث يحقق الأطوال الأصلية.

قدم العمود من C على AB هي H=(11,0)، لذلك CH=60 و AH=11 و HB=25. الضلعان المائلان 61 و 65 يجمع كل منهما حركة أفقية وارتفاعًا عموديًا؛ لا يمثل أي منهما الارتفاع بالنسبة إلى AB.

القاعدة 36 والارتفاع 60 يعطيان المساحة 36×60/2=1080. ويمكن تقسيم المنطقة بالعمود إلى مثلثين قائمين: مساحتاهما 11×60/2=330 و 25×60/2=750، والمجموع 330+750=1080.

العمود لا ينصف القاعدة في هذا المثلث؛ 11 لا يساوي 25. ويمكن استرجاع الارتفاع بعد معرفة المساحة: h=2K/36=60. هذا ارتفاع محسوب من المساحة والقاعدة، وليس طول الضلع 61.

هذا التحقق مستقل عن ضرب عوامل هيرون: اعتمدنا مربعات المسافات ومساحة القاعدة والارتفاع. الاتفاق بين الطريقتين يؤكد الأرقام في المثال، لكنه لا يغني عن صلاحية الأطوال في كل مسألة جديدة.

قارن مثلثًا واضح الارتفاع بآخر شديد التفلطح

خذ مثلثًا A=(0,0)، B=(12,0)، C=(6,8). الضلعان المائلان طول كل منهما 10، لأن 6²+8²=100. نصف المحيط 16؛ حاصل الضرب 16×6×6×4=2304، وجذره 48. ومساحة القاعدة والارتفاع 12×8/2=48 أيضًا.

في المقابل، خذ ضلعين متساويين طول كل منهما 5 وقاعدة 99/10. نصف المحيط 199/20، والفرق بينه وبين القاعدة 1/20 فقط. العاملان الآخران 99/20 لكل منهما. هذه الأطوال صالحة لأن 99/10 أصغر من 10، لكنها قريبة من حد الانحلال.

مساحة المثلث الثاني هي 99√199/400، أي نحو 3.49 وحدة مربعة. للتحقق، نصف القاعدة 99/20، ومربع الارتفاع 5²−(99/20)²=199/400. لذلك الارتفاع√199/20؛ وضربه في نصف القاعدة يعطي القيمة نفسها.

الرسم يقارن المثلثين بمقياس واحد للمحورين في اللوحتين. الارتفاع الأول 8، والثاني أقل من 1. لا نقول إن لهما المحيط نفسه أو القاعدة نفسها؛ المقارنة توضح أثر معطيات قريبة من عدم إغلاق المثلث.

احتفظ بالكسور خلال الخطوات. إذا قربت 99/10 إلى 10، صار الضلع الأكبر مساويًا لمجموع الباقيين، وتحولت المسألة إلى حالة منحلّة ومساحة صفر. التقريب المبكر هنا يغيّر وصف الشكل، وليس الرقم الأخير فقط.

ميز الحالة المنحلّة من الأطوال المستحيلة

الأطوال 1 و 2 و 3 تحقق 3=1+2. تقع في حد انحلال المثلث: يمكن ترتيبها على خط مستقيم دون مساحة موجبة. نصف المحيط 3، والعامل s−3 يساوي صفرًا، فيكون حاصل الضرب صفرًا.

لا تخلط هذه الحالة بمثلث رفيع ذي مساحة صغيرة موجبة. حين تكون المتباينة صارمة، يبقى الارتفاع موجبًا ولو كان صغيرًا. وعند المساواة نفسها تنعدم المنطقة الداخلية.

أما الأطوال 1 و 2 و 4، ففيها 4 أكبر من 1+2. نصف المحيط 7/2، والعوامل 7/2 و 5/2 و 3/2 و −1/2؛ حاصل ضربها −105/16. لا يوجد مثلث حقيقي بهذه الأطوال، فلا توجد مساحة حقيقية نأخذها من هذا الجذر.

لا تحذف الإشارة السالبة ولا تستبدل الناتج بقيمته المطلقة. راجع الأطوال والوحدات أولًا. كذلك لا تقبل طولًا صفريًا أو سالبًا بوصفه ضلعًا لمثلث صالح، حتى لو أعطت عملية آلية رقمًا يمكن عرضه في جدول.

اكتب وحدة مربعة وراجع أثر التكبير

كل عامل تحت الجذر يمثل طولًا. إذا كانت الوحدة سنتيمترًا، فحاصل ضرب العوامل بوحدة سم⁴، والجذر بوحدة سم². إذن مساحة المثال 1080 سم²، بينما محيطه 162 سم؛ لا يستخدمان الوحدة نفسها.

كبّر مثال 36 و 61 و 65 بعامل 2. تصبح الأطوال 72 و 122 و 130، ونصف المحيط 162. العوامل الأربعة كلها تضاعفت، فيزيد حاصل ضربها 16 مرة، ويزيد الجذر 4 مرات؛ المساحة الجديدة 4320، والمحيط 324.

نقل جميع الرؤوس بالإزاحة (1,−2)، أو تدوير الشكل بزاوية قائمة، يحفظ الأطوال والمساحة 1080. أما تغيير مقياس طولين دون الثالث فيعطي مثلثًا آخر إذا بقيت الأطوال صالحة؛ فلا تفترض عامل مساحة ثابتًا حينئذ.

ابدأ بمتباينة المثلث ووحدة موحدة، ثم احسب نصف المحيط والفروق الثلاثة، واضرب العوامل قبل الجذر. اكتب الناتج الدقيق إن كان مناسبًا، ولا تقرب إلا في النهاية، مع الاحتفاظ بوحدة المساحة المربعة.