مبرهنة ميكل: ثلاث دوائر من أضلاع مثلث تلتقي في نقطة

الخلاصة السريعة

في بناء ميكل للمثلث، نختار نقطة على كل ضلع، ثم نرسم دائرة عبر كل رأس ونقطتي الاختيار على ضلعيه. تشترك الدوائر الثلاث في نقطة تسمى نقطة ميكل. [1] نفترض أن كل ثلاثية تحدد دائرة حقيقية، ونفحص في المثال انتماء M إلى محيط كل دائرة؛ مجرد وجود تداخل بين الأقراص لا يكفي.

• النقاط D و E و F على الأضلاع AB و BC و CA، ولا يلزم أن تكون منتصفات. نرسم ADF و BDE و CEF، وليس الدائرة الوحيدة المارة بالرؤوس A و B و C.
• معادلات الدوائر هي x²+y²−3x−2y=0، و x²+y²−11x−5y/3+24=0، و x²+y²−13x/4−8y+12=0. مراكزها (3/2,1)، (11/2,5/6)، (13/8,4)؛ لا تتساوى أنصاف أقطارها.
• الدائرتان الأوليان تشتركان عند D=(3,0) وعند M=(1776/577,1080/577). تعويض M في الثالثة يعطي 0، بينما تعويض D يعطي 45/4؛ نقطة الاختيار على AB ليست النقطة المشتركة للدوائر الثلاث هنا.
• نثبت D و F ونأخذ E=(8(1−t),6t)، حيث t بين 0 و 1 حصريًا. اكتب b=(25t−13)/2 و K=36+b²؛ عندئذ M=((108−12b)/K,(72+18b)/K). برهاننا لهذه العائلة مبني على طرح المعادلات وهوية جبرية.
• عند t=1/5 تندمج M مع D وتتماس الدائرتان الأوليان. وعند t=1/10 تصبح M=(304/113,−40/113)، خارج المثلث. أما تغيير ثابت الدائرة الثالثة من 12 إلى 13 فيجعل قيمة معادلتها عند M تساوي 1، ويفقد البناء مروره بـ C و E و F.
• بالتكبير بعامل 2 تصبح M=(3552/577,2160/577)، وتتضاعف أنصاف الأقطار وتصبح مربعاتها أربعة أمثالها. تحقق من نقاط تعريف الدوائر، ثم افحص النقطة المشتركة؛ لا تفترض وجود تقاطع ثان مختلف دائمًا في حالة التماس.

اختر نقطة على كل ضلع وابن الدوائر الثلاث

لمثلث ABC، خذ D على AB و E على BC و F على CA. دائرة الرأس A تمر بـ A و D و F، ودائرة B تمر بـ B و D و E، ودائرة C تمر بـ C و E و F. تضمن مبرهنة ميكل نقطة مشتركة لهذه الدوائر في البناء غير المنحل. [1] النقطتان المتجاورتان مع الرأس تحددان الدائرة المطلوبة، لا النقطتان على أي ضلعين عشوائيين.

في مثالنا A=(0,0)، B=(8,0)، C=(0,6)، و D=(3,0)، F=(0,2). النقطة E=(4,3) على BC لأن معادلة هذا الضلع 3x+4y=24. لدينا 3×4+4×3=24. جميع نقاط الاختيار داخل قطع الأضلاع، وليست رؤوس المثلث.

النقطة D تقسم AB إلى 3 و 5، والنقطة F تقسم AC إلى 2 و 4. لا يشترط اختيار المنتصفات. والمثلث قائم عند A في مثالنا، لكن نص المبرهنة لا يقتصر على المثلثات القائمة؛ استعملنا هذا الشكل لتسهيل الحساب.

نرسم محيط كل دائرة، لا القرص المملوء فقط. نقطة ميكل يجب أن تكون على الحدود الثلاثة. ولكل دائرة ثلاث نقاط تعريف غير واقعة على مستقيم واحد؛ وضع نقطة الاختيار عند رأس قد يكرر نقطة في الثلاثية، لذلك نستبعده في عائلتنا.

احسب معادلات الدوائر ومراكزها

اكتب معادلة دائرة على الصورة x²+y²+u x+v y+w=0. لدائرة ADF، التعويض بـ A يجعل w=0، والتعويض بـ D يعطي 9+3u=0، ومنه u=−3. وبالتعويض بـ F نحصل على 4+2v=0، أي v=−2. إذن معادلتها x²+y²−3x−2y=0.

لدائرة BDE، تعويض B و D يعطي 64+8u+w=0 و 9+3u+w=0. الطرح ينتج u=−11، ثم w=24. عند E=(4,3) نحصل على 25−44+3v+24=0؛ لذلك v=−5/3، والمعادلة x²+y²−11x−5y/3+24=0.

لدائرة CEF، تعويض C و F يعطي 36+6v+w=0 و 4+2v+w=0؛ لذلك v=−8 و w=12. عند E نجد 25+4u−24+12=0، ومنه u=−13/4. معادلتها x²+y²−13x/4−8y+12=0.

بإكمال المربع يكون المركز (−u/2,−v/2)، ومربع نصف القطر (u²+v²)/4−w. الجدول يعرض القيم المحسوبة؛ مربعات الأنصاف 13/4 و 125/18 و 425/64 موجبة ومختلفة. العمود الأخير قيمة معادلة الدائرة عند M، وسنحدد M في الخطوة التالية.

التقاطع الثاني ليس نقطة الاختيار على الضلع

نطرح معادلة ADF من معادلة BDE، فتختفي x²+y². ينتج −8x+y/3+24=0، أي y=24x−72. هذا مستقيم يمر بالنقطتين المشتركتين للدائرتين، ومنهما D=(3,0).

نعوض y=24x−72 في معادلة ADF. الناتج 577x²−3507x+5328=0؛ نفككه إلى (x−3)(577x−1776)=0. الجذر x=3 يعيد D، والجذر الآخر x=1776/577 يعطي y=1080/577. إذن M=(1776/577,1080/577).

تقريبًا M=(3.078,1.872)، لكن الكسور الدقيقة هي التي نستخدمها في إثبات الانتماء. في الدائرة الثالثة يعطي التعويض x²+y²−13x/4−8y+12 القيمة 0 تمامًا. أما عند D فالقيمة 9−39/4+12=45/4، فلا تقع D على هذه الدائرة.

إذن نقطة ميكل هنا M، مع أنها لا تساوي D أو E أو F ولا أي مركز من مراكز الدوائر الثلاثة. تساوي القوى العامة وحده قد يعطي نقطة خارج الدوائر؛ المطلوب هنا قيمة صفر في المعادلات الثلاث، وهو شرط الانتماء إلى المحيط.

تحريك نقطة واحدة يعطي برهانًا لعائلة كاملة

نثبت المثلث و D=(3,0) و F=(0,2)، ونجعل E=(8(1−t),6t)، حيث t موجب وأصغر من 1. تعويض E في 3x+4y يعيد 24، لذلك تبقى على BC وفي داخله. لا نغير موضع E في دائرة واحدة فقط؛ إنه جزء من تعريف دائرتي B و C معًا.

اكتب b=(25t−13)/2. لتقصير الكتابة نعرّف S=x²+y². معادلات العائلة هي S−3x−2y=0، و S−11x−(4b+6)y/3+24=0، و S+(b−3)x−8y+12=0. يمكن التحقق بتعويض نقاط كل ثلاثية كما فعلنا للمثال العددي.

طرح الأولى من الثانية ومن الثالثة يعطي 6x+b y=18 و b x−6y=−12. محدد هاتين المعادلتين −36−b² لا يساوي صفرًا. عرّف K=36+b²؛ الحل x=(108−12b)/K و y=(72+18b)/K.

اكتب u=108−12b و v=72+18b، وهما بسطا الإحداثيين لا نقطتان على الرسم. بالتوسيع نجد u²+v²=16848+468b²=468K، كما نجد 3u+2v=468. لذلك x²+y²=468/K و 3x+2y=468/K، فتتحقق الدائرة الأولى.

وبما أن الحل يحقق معادلتي الطرح، فإن تحقق الأولى يجعله يحقق الثانية والثالثة أيضًا. هكذا أثبتنا نقطة مشتركة لكل قيمة في مجال t لهذه العائلة. لم نكتف بفحص قيم تقريبية، ولم ندع أن هذا برهان لجميع أشكال المثلثات. عند t=1/2 يعود b=−1/4 و K=577/16 والمثال السابق.

التماس والنقطة الخارجية والدائرة المعدلة

عند t=1/5 يكون E=(32/5,6/5)، و b=−4 و K=52. الصيغة تعطي M=(3,0)، وهي D. تتماس الدائرتان الأوليان خارجيًا عند هذه النقطة؛ لا توجد لهما نقطة ثانية مختلفة نبحث عنها. ومع ذلك تحقق D الدائرة الثالثة، التي تصبح x²+y²−7x−8y+12=0.

عند t=1/10 تكون E=(36/5,3/5)، وصيغة العائلة تعطي M=(304/113,−40/113). الإحداثي الرأسي سالب، بينما المثلث كله على y≥0؛ لذلك تقع نقطة ميكل خارج المثلث. وجود D و E و F داخل الأضلاع لا يجبر النقطة المشتركة على البقاء داخله.

نعود إلى t=1/2 ونغيّر معادلة الدائرة الثالثة فقط إلى x²+y²−13x/4−8y+13=0. مركزها يبقى (13/8,4)، لكن مربع نصف قطرها يصبح 361/64 بدل 425/64. عند M تصبح قيمة المعادلة 1، وكذلك عند C و E و F؛ لم تعد الدائرة المحددة بهذه الثلاثية.

الدائرتان الأوليان لم تتغيرا، وهما تشتركان فقط عند D و M اللتين حسبناهما. قيمة معادلة الدائرة المعدلة عند D هي 49/4، وعند M هي 1، فلا توجد نقطة على الدوائر الثلاثة في هذا التعديل. ليست هذه مخالفة للمبرهنة؛ شرط بناء الدائرة الثالثة لم يعد متحققًا.

في الجدول نقارن قيمة معادلة الدائرة الثالثة عند النقطة المعروضة: الصفر يعني انتماءها للمحيط، والقيمة 1 تخص الدائرة المعدلة فقط. حالات التماس والنقطة الخارجية مبنية من النقاط المطلوبة؛ تعديل المعادلة الأخيرة يغير البناء نفسه.

التكبير وطريقة فحص النتيجة

إذا ضربنا كل الإحداثيات في 2، صارت الرؤوس (0,0)، (16,0)، (0,12)، وصارت نقطة ميكل M=(3552/577,2160/577). معادلة الدائرة الأولى x²+y²−6x−4y=0، والثانية x²+y²−22x−10y/3+96=0، والثالثة x²+y²−13x/2−16y+48=0.

تتضاعف مراكز الدوائر وأنصاف أقطارها، وتصبح مربعات الأنصاف 13 و 250/9 و 425/16. يظل تعويض M يعطي 0 في المعادلات الثلاث. أما في تعديل الدائرة الثالثة فيتغير الثابت من 13 إلى 52، وتصبح قيمة المعادلة عند النقطة المكبرة 4 بدل 1.

ابدأ بتسمية نقاط الأضلاع والثلاثيات، وافحص عدم استقامتها. استخرج الدوائر من النقاط نفسها، ثم حدد النقطة المشتركة بالتعويض الدقيق. إن التبس عليك تقاطع ثان مع نقطة الاختيار، افحص حالة التماس؛ وإن بدت M خارج المثلث، فلا ترفضها قبل اختبار المعادلات.