متباينة مينكوفسكي: طول الجمع وحده الأعلى

الخلاصة السريعة

في المثال الأصلي، طول المحصلة 8 لا 10، لأن المركبتين الأفقيتين تتلاشيان بينما الرأسيتان تجمعان إلى 8. الحد 10 مجموع طولي المتجهين. سنثبت المقارنة من هوية مربعات، ثم نميز الاتجاه الواحد عن الاتجاه المعاكس وحالة المتجه الصفري.

• تقدم صيغة مجموع مينكوفسكي في المرجع مقارنة عند p > 1 ومركبات موجبة. [1] نختار p=2، ونثبت هنا بصورة مستقلة أن‖u+v‖ ≤ ‖u‖+‖v‖ لأي متجهين حقيقيين في المستوى.
• لـ u=(3,4) و v=(−3,4)، الطولان 5 و 5، وطول الجمع 8؛ الفجوة بين الحد وطول الجمع 2، لا 36. العدد 36 هو فرق مربعيهما 100−64.
• نرمز للطولين بـ A و B، وللضرب القياسي بـ d، ولـ u₁v₂−u₂v₁ بـ h. الهوية A²B²−d²=h² تعطي d ≤ AB؛ ثم‖u+v‖² ≤ (A+B)².
• للمتجهين غير الصفريين، المساواة عندما يكون أحدهما مضاعفًا موجبًا للآخر. في v=(6,8) الطول 15 والحد 15؛ أما v=(−6,−8) فالطول 5 والحد 15 رغم وقوعهما على خط واحد.
• إذا كان أحد المتجهين صفريًا تتحقق المساواة أيضًا. جمع u مع سالب u يعطي المحصلة صفرًا، لكنه لا يجعل مجموع طولي المدخلين صفرًا.
• لا ننقل النتيجة إلى أي أس موجب. عند p=1/2، الكمية N(w)=(√|w₁|+√|w₂|)² تعطي 4 لجمع (1,0) و (0,1)، بينما مجموع كميتيهما 2؛ هذه ليست الطول الإقليدي المستخدم في البرهان.

اجمع المركبات ثم احسب الطول

نستعمل محورين متعامدين بالمقياس نفسه، ونعرّف طول المتجه w=(w₁,w₂) بأنه‖w‖=√(w₁²+w₂²). كل جذر هنا رئيسي غير سالب. المركبات قد تكون سالبة، لكن الطول لا يكون سالبًا. القيم مجردة، ولا ننسبها إلى قياس فيزيائي.

للمتجه u، مجموع المربعين 9+16=25 فيكون A=5. ولـ v=(−3,4) نحصل أيضًا على 25 ثم B=5. نجمع المركبتين المناظرتين: u+v=(0,8)، وطوله√64=8. أما A+B=10، والفجوة 10−8=2.

في الرسم نبدأ بسهم u من O=(0,0) إلى P=(3,4)، ثم ننقل سهم v ليبدأ من P وينتهي عند Q=(0,8). الفرق Q−P هو (−3,4)، فلم يتغير المتجه المنقول. سهم المحصلة من O إلى Q طوله 8، بينما طول المسار ذي القطعتين 5+5=10.

لا نجمع الطولين لنحصل دائمًا على طول المحصلة، ولا نجمع كل المركبات الأربعة في عدد واحد. ترتيب العمل هو جمع مركبة مع نظيرتها، ثم تربيع مركبتي الناتج وجمعهما وأخذ الجذر. الرابط في آخر المقالة يوسع فكرة اختيار المحاور والإشارات.

هوية مربعات تثبت المقارنة في المستوى

اكتب u=(u₁,u₂) و v=(v₁,v₂)، وحدد A=‖u‖ و B=‖v‖ و d=u₁v₁+u₂v₂. عرف أيضًا h=u₁v₂−u₂v₁. بالتوزيع نحصل على A²B²−d²=h²؛ فالحدان u₁²v₁² و u₂²v₂² يتعادلان عند الطرح، وتبقى u₁²v₂²+u₂²v₁²−2u₁u₂v₁v₂، وهي مربع h.

إذن d² ≤ A²B². وبما أن A و B غير سالبين، نستنتج|d| ≤ AB، وبالتالي d ≤ AB. لا نحتاج أن تكون d موجبة؛ إذا كانت سالبة فهي أيضًا لا تتجاوز AB غير السالب.

تربيع طول الجمع بالتوزيع يعطي‖u+v‖²=A²+B²+2d. نستبدل 2d بحده 2AB فنجد‖u+v‖² ≤ (A+B)². الطرفان اللذان سنقارن بينهما بعد الجذر غير سالبين، لذلك‖u+v‖ ≤ A+B. هذا برهان للحالة الإقليدية في بعدين، بما فيها السالب والصفر.

راجع المثال: d=3×(−3)+4×4=7، و h=3×4−4×(−3)=24. نجد 625−49=576=24². كما أن فرق مربعي الحد وطول الجمع 100−64=36 يساوي 2×(25−7). أما فرق الطولين نفسه 2؛ طرح المربعات عملية أخرى.

المحدد صفر وحده لا يكفي للمساواة

الخطوة التي قد تجعل المقارنة صارمة هي d ≤ AB؛ لذا تتساوى الأطوال بالضبط عندما d=AB. من الهوية، هذا يكافئ h=0 مع d ≥ 0. إذا كان A أو B صفرًا، فالمتجه المقابل صفري، و d=0، وتتحقق المساواة مباشرة دون قسمة على طول صفري.

إذا كان المتجهان غير صفريين و h=0، اختر مركبة غير صفرية من u. إن كانت u₁ غير صفرية، ضعλ=v₁/u₁، وتفرض h=0 أن v₂=λu₂؛ وإذا كانت u₁ صفرًا فـ u₂ غير صفرية، وتفرض الهوية v₁=0، ثمλ=v₂/u₂. في الحالتين v=λu.

بالتعويض، d=λA². وبما أن v غير صفري، فـλ غير صفرية؛ شرط d ≥ 0 يصبحλ > 0. إذن الاتجاه نفسه هو المطلوب. مع u=(3,4) و v=(6,8)، العامل 2، والمحصلة (9,12) بطول 15، وهو مجموع 5 و 10.

أما v=(−6,−8)، فالعامل −2، والمحدد h=0 لكن d=−50. المحصلة (−3,−4) طولها 5، والحد 15، والفجوة 10. الاستقلال الخطي غائب في الحالتين، لكن إشارة العامل تميز المساواة عن هذا النقص. لا نصف المتجه الصفري بأنه صاحب اتجاه محدد.

المدخل الصفري والمحصلة الصفرية مختلفان

نثبت u=(3,4) في الجدول ونغير v. عمود الفجوة هو مجموع الطولين ناقص طول المحصلة. الصفر في الفجوة يعني مساواة، أما الصفر في طول المحصلة فيعني إلغاءً بين المدخلين وقد ترافقه فجوة موجبة.

عند v=(0,0)، المحصلة u وطولها 5، ومجموع الطولين 5 أيضًا. وعند v=(−3,−4)، المحصلة (0,0) طولها 0، لكن مجموع الطولين 10. لا توجد حاجة إلى استخراج زاوية اتجاه للمحصلة الصفرية، ولا نقسم عليها لاختبار المساواة.

اختيار الأس جزء من تحديد الكمية

صيغة مينكوفسكي التي قرأناها تعرض مجموع القوى للمركبات الموجبة مع p > 1، ثم أخذ القوة 1/p، وتقارن كمية الجمع بمجموع الكميتين. [1] المقالة اختارت p=2 فقط، وأثبتت المجال الحقيقي الأوسع لهذه الحالة. برهان المربع لا يثبت وحده جميع الأسس.

لرؤية فشل التعميم إلى كل p موجب، عرف N(w)=(√|w₁|+√|w₂|)²، وهي كمية الأس p=1/2. للمدخلين (1,0) و (0,1)، قيمة N لكل واحد 1، بينما قيمة N للمجموع (1,1) هي (1+1)²=4. المقارنة 4 ≤ 2 غير صحيحة.

هذا المثال لا يناقض مقارنة الطول الإقليدي، لأنه غير الكمية من البداية. في حساب الطول نربع المركبات أولًا ثم نأخذ جذر المجموع؛ هنا أخذنا جذري القيم المطلقة ثم ربعنا مجموعهما. تبديل الترتيب يغير التعبير، ولا نطلق على N في هذا المثال وصف معيار يحقق متباينة المثلث.

قبل استعمال الحد، حدد صيغة الطول ومجال المركبات، ثم احسب المحصلة. وإذا احتجت المساواة فافحص اتجاه المتجهين أو حالة الصفر، لا مجرد تناسبهما بعامل مجهول الإشارة. الحد يعطي مقارنة، أما القيمة الدقيقة للمحصلة فتحتاج حساب المركبات.