متباينة نسبيت: ثلاثة كسور وحد من أسفل

الخلاصة السريعة

المجموع 19/10 يساوي 57/30، والحد 3/2 يساوي 45/30؛ الفجوة 12/30=2/5. عند 3,3,3 تصبح الكسور الثلاثة أنصافًا فيساوي المجموع 3/2. الحد يحدد قيمة دنيا في المجال الموجب، ولا يعطي المجموع نفسه لكل اختيار.

• للأعداد الحقيقية a,b,c > 0، متباينة نسبيت تعطي T = a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b) ≥ 3/2. [1] المقامات هي مجموع العددين الآخرين، لا مجموع الثلاثة.
• في 1,2,4، المقامات 6,5,3؛ الكسور 1/6 و 2/5 و 4/3 تصبح 5/30 و 12/30 و 40/30. المجموع 19/10 والفجوة عن 3/2 هي 2/5.
• سم المقامات x,y,z. الفجوة T−3/2 هي نصف مجموع ثلاثة حدود من الشكل (x−y)²/(xy). في مثالنا حدودها 1/30 و 1/2 و 4/15، ومجموعها 4/5.
• مع المقامات الموجبة تنعدم الفجوة عندما تتساوى المقامات، أي a=b=c. تغيير 1,2,4 إلى 2,4,8 يحفظ كل كسر والمجموع 19/10؛ لا نحتاج شرط مجموع الأعداد 1.
• الصفر الواحد في 0,2,4 يبقي المقامات موجبة ويعطي 5/2. لكن 0,0,4 يجعل أحد المقامات 0؛ التعبير غير معرف. القيم 1,2,−4 تعطي −5/2 فتمنع التعميم إلى الإشارات المختلفة.
• الحد 3/2 من أسفل. في 10,1,1 المجموع 57/11؛ وباختيار k,1,1 يصبح k/2+2/(k+1)، فلا يوجد حد أعلى ثابت لجميع الأعداد الموجبة.

نثبت المقام لكل بسط ثم نوحد المقامات

في a=1 و b=2 و c=4، المقام تحت a هو 2+4=6، وتحت b هو 1+4=5، وتحت c هو 1+2=3. كل مرة نستبعد صاحب البسط من مجموع المقام. جمع الأعداد الثلاثة 7 لا يصبح مقامًا للكسور الأصلية.

المقام المشترك 30 يسمح بكتابة 1/6=5/30 و 2/5=12/30 و 4/3=40/30. إذن T = 57/30 = 19/10، والحد 3/2=45/30؛ نطرح لنجد T−3/2 = 12/30 = 2/5. المجموع 1.9 والحد 1.5 والفجوة 0.4، وهي قيم عشرية دقيقة هنا.

لو استبدلنا المقامات كلها بـ 7 لأصبح المجموع 1، لكنه تعبير آخر. لا نحتاج أن تكون القيم أطوال أضلاع مثلث؛ في مثالنا 1+2 أصغر من 4. السؤال جبري بأعداد مجردة بلا وحدات، لا قياس لشكل هندسي.

تحويل المقامات يكشف علاقة المجموع بالمقلوبات

نكتب s=a+b+c، و x=b+c و y=a+c و z=a+b. عندئذ x+y+z=2s. كذلك a/x = s/x−1، وبالمثل للكسرين الآخرين. لذلك T = s(1/x+1/y+1/z)−3. تحويل الأصل إلى s−a ومثيليه ظاهر في المرجع. [1]

في المثال s=7 والمقامات 6,5,3. مجموع مقلوباتها 1/6+1/5+1/3=7/10. ضربه في 7 ثم طرح 3 يعطي 49/10−3=19/10. هذا حساب آخر للمجموع، ويحافظ على الفرق بين مقلوب المقام والكسر الأصلي الذي له بسط مختلف.

نتابع بفحص فجوة المقلوبات مباشرة، بدل نقل برهان إعادة الترتيب في المرجع. نريد معرفة لماذا يكون المجموع على الأقل 3/2، ومتى يساويه، لا الاكتفاء بتعويض المثال الواحد.

فروق المقامات تعطي ثلاثة حدود غير سالبة

بالتوزيع نجد (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)−9 يساوي مجموع (x−y)²/(xy) و (x−z)²/(xz) و (y−z)²/(yz). لفحصها، توسعة كل حد تعطي x/y+y/x−2 أو مثيله؛ تظهر الكسور المتقاطعة الستة، ثم نطرح 6. الطرف الأول يعطيها نفسها بعد جمع حدود الموضع نفسه الثلاثة وطرح 9.

من x+y+z=2s و T = s(1/x+1/y+1/z)−3، نحصل على 2T−3 يساوي مجموع حدود الفروق الثلاثة. إذن T−3/2 يساوي نصف ذلك المجموع. لا نحذف عامل النصف: إنه ناتج حل العلاقة بالنسبة للفجوة المطلوبة.

في x=6 و y=5 و z=3، الحدود هي (6−5)²/(6×5)=1/30، و (6−3)²/(6×3)=1/2، و (5−3)²/(5×3)=4/15. جمعها يعطي 24/30=4/5، ونصفه 2/5، مطابقًا لطرح الحد من مجموع الكسور الأصلي.

إذا a,b,c موجبة فالمقامات x,y,z موجبة أيضًا؛ المربعات غير سالبة ومنتجات المقامات موجبة. لذلك كل حد فروق غير سالب، فتثبت T ≥ 3/2. [1] هذا برهان للفجوة لكل ثلاثية في المجال، أما الحساب السابق فيحدد حجمها لثلاثيتنا.

المساواة والمضاعفة المشتركة يختبران مباشرة

مجموع حدود غير سالبة يساوي صفرًا فقط إذا كان كل منها صفرًا؛ هنا يتحقق ذلك عند x=y=z. ومن b+c=a+c نستنتج a=b، وبمقارنة المقام الثالث نحصل على a=b=c. وبالعكس، إذا كانت الثلاثة موجبة ومتساوية فكل كسر 1/2، فيكون T=3/2.

في 3,3,3 المقامات 6,6,6، والمجموع 3/2 والفجوة 0. تساوي عددين فقط لا يكفي عمومًا؛ مثل 10,1,1 له مجموع 57/11، وليس 3/2. افحص المقامات الثلاثة، لا فرقًا واحدًا منها.

ضرب الأعداد الثلاثة بعامل موجب واحد يضرب كل بسط ومقام بهذا العامل، فيحفظ الكسور. مثلًا 2,4,8 تعطي 2/12=1/6 و 4/10=2/5 و 8/6=4/3. المجموع 19/10 والفجوة 2/5 كما في 1,2,4. لا نضيف شرطًا على مجموع الأعداد ليصبح 1.

الصفر والإشارات والحد الأعلى أسئلة مختلفة

مع 0,2,4، المقامات 6,4,2 موجبة. الكسور 0 و 1/2 و 2 مجموعها 5/2، والفجوة 1. الهوية السابقة تثبت الحد أيضًا لثلاثية غير سالبة فيها على الأقل عددان موجبان؛ المقامات تبقى موجبة. هذا امتداد نراجعه بالبرهان، لا افتراض أن كل وضع صفري صالح.

في 0,0,4 نجد المقامات 4,4,0. الكسر الأخير 4/0 غير معرف؛ لا نكتب المجموع 0 أو 3/2. والثلاثية 0,0,0 تعطي مقامات صفرية كذلك، فلا تدخل في حالة المساواة السابقة.

في 1,2,−4، المقامات −2,−3,3 غير صفرية، لكن بعضها سالب. الكسور −1/2 و −2/3 و −4/3 مجموعها −5/2، وهو أصغر من 3/2. تبقى هوية الفجوة صحيحة حيث تعرف المقامات، لكن منتجات المقامات لا تبقى موجبة، فلا تبقى حجة عدم السلبية.

لـ a=k و b=c=1 مع k > 0، المجموع T = k/2+2/(k+1). الجزء الثاني موجب، لذلك T > k/2. يمكن رفع k ليتجاوز المجموع أي حد أعلى ثابت مقترح. في k=10 نحصل على 57/11. ليس العدد 3/2 قيمة قصوى؛ إنه الحد الأدنى الذي تتحقق مساواته في المجال الموجب.

الجدول يجمع الحالات المعرفة فقط؛ الصف السالب اختبار خارج مجال المتباينة، وليس مثالًا يحققها. راجع نوع الحد وإشارات القيم وكل مقام، ثم احسب الفجوة. لا تساوِ المجموع بالحد في كل مسألة.