متباينة ويتزنبوك: مجموع مربعات الأضلاع يحد مساحة المثلث

الخلاصة السريعة

تقول متباينة ويتزنبوك إن مجموع مربعات أطوال أضلاع أي مثلث لا يقل عن 4√3 مضروبة في مساحته: a²+b²+c²≥4√3S. [1] ويبين البرهان الإحداثي أدناه أن المساواة تتحقق فقط في المثلث المتساوي الأضلاع.

• إذا كانت أطوال الأضلاع a و b و c والمساحة S، فالصيغة a²+b²+c²≥4√3S. ليست مقارنة بين المحيط والمساحة؛ الطرف الأيسر مجموع مربعات الأطوال، ووحدته مثل وحدة المساحة. [1]
• في المثال A=(0,0)، B=(8,0)، C=(3,3√3)، مربعات الأضلاع 36 و 52 و 64، ومجموعها T=152. المساحة S=12√3، ولذلك 4√3S=144 والفرق 8.
• باختيار قاعدة طولها d ورأس C=(x,h) فوقها، يصبح الفرق T−4√3S=((2x−d)²+(2h−√3d)²)/2. المربعان غير سالبين، فتثبت المتباينة دون تقدير الرسم.
• تتحقق المساواة عندما x=d/2 و h=√3d/2 معًا. عندها يكون الرأس فوق منتصف القاعدة بارتفاع يجعل أطوال الأضلاع الثلاثة متساوية؛ التمركز فوق المنتصف وحده لا يكفي.
• مع المساحة 12√3، المثلث ذو القاعدة 8 والرأس C=(4,3√3) يعطي T=150، رغم تساوي الساقين. أما القاعدة 4√3 والرأس C=(2√3,6) فتعطي T=144 وتحقق المساواة.
• إذا عرفت T، فإن S≤T/(4√3) حد أعلى للمساحة، وليس قيمة مؤكدة لها. التكبير بعامل 2 يضاعف الأطوال ويجعل T و S والفرق أربعة أمثالها؛ تبقى المقارنة صحيحة.

قارن المساحة بمجموع المربعات

لنرمز إلى مجموع المربعات بالرمز T=a²+b²+c². تقول المتباينة إن T≥4√3S، حيث S مساحة المثلث المستوي. [1] تستطيع استخدامها عندما تعرف أطوال الأضلاع وتريد حدًا لمساحة الشكل، لكن الحد لا يعوض حساب المساحة إذا كنت تحتاج إلى قيمتها الدقيقة.

إذا كانت الأطوال بالسنتيمتر، فكل مربع طول بوحدة سم²، وبالتالي T بوحدة سم² أيضًا. أما المحيط a+b+c فبوحدة سم؛ لا تضعه مكان T. العدد 4√3 معامل بلا وحدة، ولذلك 4√3S يحمل الوحدة المربعة نفسها التي يحملها الطرف الأيسر.

ابدأ بأطوال ثلاثة أضلاع للمثلث نفسه، وبوحدة موحدة. لا تخلط ارتفاع المثلث بأحد أضلاعه المائلة عند جمع المربعات. وفي الحساب الإحداثي، استعمل فروق الإحداثيات لإيجاد مربع كل طول، ثم احسب المساحة من قاعدة وارتفاع متعامدين.

الصيغة حد أدنى لمجموع المربعات عند تثبيت المساحة، ويمكن ترتيبها إلى حد أعلى للمساحة عند تثبيت مجموع المربعات. هذان تعبيران عن المقارنة نفسها. أما تثبيت المحيط فمسألة مختلفة، ولا نستبدله بمجموع المربعات في الأمثلة التالية.

احسب المثال الأول دون تقريب الجذور

خذ A=(0,0)، B=(8,0)، C=(3,3√3). القاعدة AB طولها 8، والارتفاع CH طولُه 3√3، حيث H=(3,0). تقع H على القاعدة لأن إحداثيها الأفقي 3 بين 0 و 8؛ ولا نحتاج إلى استعمال طول AC بدل الارتفاع.

الفرق بين A و C هو (3,3√3)، فيكون AC²=9+27=36 وطوله AC=6. وبين B و C الفرق (−5,3√3)، فيكون BC²=25+27=52 وطوله BC=2√13. أما AB²=64 لأن طول القاعدة 8. يجمع الجدول مربعات الأطوال والأطوال نفسها في عمودين منفصلين.

إذن T=36+52+64=152. مساحة المثلث S=8×3√3/2=12√3. بالتعويض في الطرف الآخر نجد 4√3S=4√3×12√3=144، لأن√3×√3=3. لذلك الفرق T−4√3S=8، وهو موجب.

هذا الفحص لا يحتاج إلى قيمة عشرية للجذر التربيعي. مقارنة 152 مع 144 مباشرة أدق من تقريب الأطوال ثم تربيعها مرة أخرى. إذا حسبت BC تقريبًا، فقد يظهر مجموع قريب من 152 بدل قيمته الدقيقة؛ احتفظ بمربعه 52 ما دام هو الذي تحتاجه.

الأطوال 6 و 2√13 و 8 مختلفة، فلا نتوقع مساواة في هذا النموذج. سنبقي المساحة نفسها في نموذجين آخرين، كي لا يكون تغير مجموع المربعات مجرد أثر لتغير حجم المساحة. هذه المقارنة تكشف أثر شكل المثلث.

اكتب الفرق في صورة مجموع مربعين

يمكن وضع أي مثلث غير منعدم في إحداثيات A=(0,0)، B=(d,0)، C=(x,h)، مع d>0 و h>0. نختار أحد أضلاعه قاعدة، وننقل الشكل ونديره، ونعكسه عند الحاجة ليكون الرأس فوق المحور. العدد x قد يكون خارج المدى بين 0 و d؛ فهذا لا يمنع البرهان.

مربع AC يساوي x²+h²، ومربع BC يساوي (x−d)²+h²، ومربع AB يساوي d². بجمعها وتوسيع مربع الفرق نحصل على T=2x²−2dx+2d²+2h². والمساحة S=dh/2 لأن h هو البعد العمودي إلى خط القاعدة.

من ثم T−4√3S=2x²−2dx+2d²+2h²−2√3dh. وبإكمال المربعين نجد T−4√3S=((2x−d)²+(2h−√3d)²)/2. تستطيع مراجعة الهوية بتوسيع كل مربع: الأول يعطي 4x²−4dx+d²، والثاني يعطي 4h²−4√3dh+3d²، ثم نقسم المجموع على 2.

كل مربع لعدد حقيقي غير سالب، والقسمة على 2 لا تغير ذلك. إذن الفرق غير سالب، فتثبت المتباينة لجميع هذه الإحداثيات. وبما أن وضع أي مثلث غير منعدم بهذه الصورة يحفظ أطواله ومساحته، يغطي البرهان جميع المثلثات المستوية غير المنعدمة.

في مثالنا d=8 و x=3 و h=3√3. يصبح المربع الأول (6−8)²=4، والثاني (6√3−8√3)²=12. مجموعهما 16 ونصفه 8، وهو الفرق نفسه الذي وجدناه من 152 و 144. توافق الطريقين يفحص الحساب دون أن يحل محل البرهان العام.

حدد شرط المساواة كاملًا

مجموع مربعين غير سالبين يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان كل منهما صفرًا. لذلك نحتاج إلى 2x−d=0 و 2h−√3d=0 معًا؛ أي x=d/2 و h=√3d/2. هذان شرطان منفصلان، ولا يجوز حذف أحدهما.

الشرط الأول يضع C فوق منتصف AB. والشرط الثاني يحدد الارتفاع المناسب للقاعدة. عند تحققهما، يصبح AC²=d²/4+3d²/4=d²، وكذلك BC²=d²، بينما AB²=d² من البداية. إذن الأضلاع الثلاثة متساوية.

وفي الاتجاه الآخر، إذا كان AC=BC=AB=d، فإن تساوي مربعي AC و BC يعطي x=d/2. وبعد التعويض في AC²=d² نحصل على h²=3d²/4، ومع h>0 يكون h=√3d/2. لذلك شرط المساواة يعادل كون المثلث متساوي الأضلاع، وليس مجرد كونه متساوي الساقين.

في النموذج المحقق للمساواة نختار B=(4√3,0)، C=(2√3,6)، مع A=(0,0). القاعدة d=4√3، ونصفها 2√3، والارتفاع 6=√3d/2. مربعات الأضلاع الثلاثة 48، فيكون T=144، والمساحة S=4√3×6/2=12√3.

تظل المساحة مساوية لمساحة المثال الأول، لكن مجموع المربعات انخفض من 152 إلى 144. والفرق صفر. هذا نموذج دقيق لبلوغ الحد، وقد استنتجنا شرطه من المربعين، لا من مجرد ملاحظة تماثل الرسم أو تشابه أطوال تبدو متساوية بصريًا.

اختبر مثلثًا متساوي الساقين بالمساحة نفسها

اترك A=(0,0) و B=(8,0)، وحرك الرأس من C=(3,3√3) إلى C=(4,3√3). لم يتغير الارتفاع ولا طول القاعدة، فتظل المساحة 12√3. لكن الرأس أصبح فوق منتصف القاعدة، فيتساوى طول AC مع BC.

مربع كل ساق هو 16+27=43، ومربع القاعدة 64؛ لذلك T=43+43+64=150. الطرف المرتبط بالمساحة ما زال 144، والفرق 6. تحسن مجموع المربعات بمقدار 2 بالنسبة إلى المثال الأول، لكنه لم يبلغ الحد.

تفسير الفرق ظاهر في الهوية: المربع الأول (2x−d)² يساوي صفرًا عندما x=4 و d=8. أما المربع الثاني فهو (6√3−8√3)²=12، ونصفه 6. تحقق شرط المنتصف، لكن الارتفاع 3√3 أقل من الارتفاع 4√3 المطلوب للمساواة مع القاعدة 8.

لا نرفع هذا الرأس إلى 4√3 في جدول المقارنة، لأن ذلك يغير المساحة إلى 16√3. للوصول إلى مساواة مع الاحتفاظ بالمساحة 12√3، غيرنا القاعدة والارتفاع معًا في النموذج المتساوي الأضلاع: القاعدة 4√3 والارتفاع 6.

يقارن الجدول الحالات الثلاث بمساحة واحدة. الرسم الداخلي يستخدم المقياس نفسه أفقيًا ورأسيًا وفي اللوحتين؛ لذا اختلاف عرض القاعدة وارتفاع الرأس اختلاف هندسي حقيقي. لا يعني تساوي المساحة تساوي القاعدة أو الارتفاع أو مجموع مربعات الأضلاع.

استخدم الحد وافحص أثر التكبير

بقسمة الطرفين على 4√3 الموجب نحصل على S≤T/(4√3). في المثال الأول T=152، فيكون الحد الأعلى 38√3/3. لكن المساحة الفعلية 12√3، والفرق بين الحد والمساحة 2√3/3. لا تكتب المساحة مساوية للحد قبل التحقق من شرط المساواة.

إذا ضربنا جميع الإحداثيات في 2، تضاعفت أطوال الأضلاع. تصبح مربعاتها أربعة أمثالها، وبالتالي T=608 بدل 152. وتصبح S=48√3 بدل 12√3، والطرف 4√3S=576 بدل 144. الفرق 32 هو أربعة أمثال الفرق 8.

نقل المثلث أو تدويره يحفظ الأطوال والمساحة، فلا يغير طرفي المتباينة. تغيير وحدة الطول من دون توحيد القيم قد يفسد المقارنة العددية: حول الأطوال إلى وحدة واحدة قبل تربيعها، ثم عبّر عن المساحة بالوحدة المربعة المقابلة.

في مثلث غير منعدم لا يمكن أن تكون المساحة صفرًا. وإذا كانت الرؤوس على خط واحد، فإن S=0 ويصبح الحد غير السالب مباشرًا، لكن هذا شكل منعدم خارج النماذج التي برهنا شرط مساواتها لمثلث ذي قاعدة وارتفاع موجبين. لا تنسب إلى ثلاثة أطوال غير صالحة مساحة مثلث قائم فعليًا.

اكتب أولًا T ومقدار 4√3S، ثم الفرق والوحدات. وعندما تريد تفسير المساواة، افحص موقع الرأس والارتفاع معًا. الهوية ذات المربعين تقدم برهانًا عامًا، أما فحوص النماذج العددية فتؤكد صحة التنفيذ والحسابات في الأمثلة المحددة.