مركز شبيكر: موازنة محيط المثلث ودائرة المنتصفات

الخلاصة السريعة

مركز شبيكر هو مركز الدائرة الداخلية لمثلث منتصفات الأضلاع. وهو أيضًا مركز كتلة محيط المثلث ذي الكثافة الخطية المنتظمة. [1] نميّز محيطًا سلكيًا عن كتل متساوية عند الرؤوس.

• أضلاع مثالنا BC=20، CA=13، AB=21، ومحيطه 54. المنتصفات D=(13,6)، E=(5/2,6)، F=(21/2,0) تشكل مثلثًا أطوال أضلاعه 10 و 13/2 و 21/2.
• كتلة كل ضلع سلكي منتظم تتناسب مع طوله، وتتركز حسابيًا عند منتصفه. لذلك S=(20D+13E+21F)/54=(19/2,11/3). إعطاء الأضلاع الثلاثة أوزانًا متساوية ينتج نقطة أخرى.
• نصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث الصغير 7/3. نقاط تماسها T=(19/2,6)، U=(81/10,9/5)، V=(303/26,36/13) تقع على أضلاعه؛ مربع كل مسافة منها إلى S يساوي 49/9.
• مركز ثقل الرؤوس G=(26/3,4) ومركز دائرة المثلث الأصلي I=(7,14/3) يختلفان عن S. مسافات G إلى أضلاع مثلث المنتصفات 2 و 21/10 و 42/13، فلا تصلح دائرة ذات مركز G للتماس معها جميعًا.
• مع مضاعفة كثافة AB وحده، تصبح الأوزان 20 و 13 و 42، ومجموعها 75. مركز الكتلة الجديد R=(489/50,66/25) يختلف عن S؛ بقاء الشكل نفسه لا يعني بقاء توزيع الكتلة.
• نفسر تساوي المسافات بثلاث مساحات داخل مثلث المنتصفات. التكبير بعامل 2 يضاعف الإحداثيات ونصف القطر؛ تغيير الكثافة المشتركة وحدها يحفظ المركز، أما تغيير كثافة ضلع واحد فيغيّره.

ابنِ مثلثًا من المنتصفات لا من الرؤوس

المثلث الذي تصل أضلاعه منتصفات أضلاع المثلث الأصلي هو مثلث المنتصفات. دائرته الداخلية تسمى دائرة شبيكر، ومركزها هو مركز شبيكر. [1] النقاط D و E و F هي رؤوس المثلث الصغير، وليست نقاط تماس الدائرة مع المثلث الأصلي.

في أرقامنا AB=21، و AC²=5²+12²=169، ولذلك AC=13. ومن B إلى C المتجه (−16,12)، ومربع طوله 256+144=400، فيكون BC=20. المحيط 20+13+21=54، والمساحةΔ=21×12/2=126.

نأخذ متوسط إحداثيي كل ضلع: D=(B+C)/2=(13,6)، E=(C+A)/2=(5/2,6)، F=(A+B)/2=(21/2,0). الخط DE أفقي وطوله 21/2. والفرق من E إلى F هو (8,−6)، فطوله 10؛ ومن F إلى D الفرق (5/2,6)، فطوله 13/2.

إذن DE يوازي AB وله نصف طوله، و EF يوازي BC وله نصف طوله، و FD يوازي CA وله نصف طوله. مساحة DEF تساوي (21/2)×6/2=63/2، وهي ربع 126. لهذه القيم دور مباشر في حساب نصف قطر الدائرة الصغيرة.

زن منتصفات الأضلاع بطول السلك

مركز شبيكر هو مركز كتلة محيط المثلث عند انتظام الكثافة الخطية. [1] المقصود بالمحيط هنا مادة موزعة على الأضلاع؛ ليست ثلاث كتل متساوية عند الرؤوس، ولا صفيحة تملأ المساحة كلها.

لتكن الكثافة الخطية المشتركةλ، أي كتلة لكل وحدة طول. كتل الأضلاع BC و CA و AB هي 20λ و 13λ و 21λ. داخل كل قطعة مستقيمة منتظمة، يمكن إقران نقاط متساوية البعد عن منتصفها؛ متوسط موضعي كل زوج هو المنتصف. لهذا يكفي منتصف القطعة لحساب عزم كتلتها.

نحسب متوسط مواضع D و E و F بأوزان هذه الكتل: S=(20λD+13λE+21λF)/(54λ). بإلغاء العامل المشتركλ، تصبح S=(20D+13E+21F)/54. لا تُلغى الأطوال 20 و 13 و 21. المعادلة متجهية؛ نطبقها على الإحداثيين كلٍّ على حدة.

الإحداثي الأفقي هو (20×13+13×5/2+21×21/2)/54=513/54=19/2. والرأسي (20×6+13×6+21×0)/54=198/54=11/3. لذلك S=(19/2,11/3)، دون تقريب الأعداد إلى منازل عشرية.

أوزان رأس D في مثلث المنتصفات مرتبطة بالضلع BC الأصلي، لأن D منتصفه. لا تنقل الوزن 20 إلى الرأس A في هذا الحساب؛ ذلك يغيّر المواضع التي تحمل الأوزان، حتى لو بقيت الأرقام نفسها. الجدول يوضح الضلع والوزن والنقطة الممثلة له.

افحص الدائرة بثلاثة تماسّات دقيقة

خطوط أضلاع مثلث المنتصفات هي DE: y=6، EF: 3x+4y=63/2، FD: 12x−5y=126. المركز S=(19/2,11/3) داخل هذا المثلث، لأنه متوسط موزون موجب لرؤوسه بأوزان 20 و 13 و 21.

البعد عن DE هو 6−11/3=7/3. عند EF، تصبح قيمة 3x+4y عند S مساوية 259/6، والفرق عن 63/2 هو 35/3؛ بقسمة القيمة المطلقة على√(3²+4²)=5 نحصل على 7/3. وعند FD، قيمة 12x−5y هي 287/3، والفرق عن 126 هو −91/3؛ نقسم على 13 لنجد 7/3 أيضًا.

نقطة التماس على DE هي T=(19/2,6). وعلى EF نطرح من S المتجه (7/15)(3,4)، فنحصل على U=(81/10,9/5). وعلى FD نضيف إلى S المتجه (7/39)(12,−5)، فنجد V=(303/26,36/13). هذه أقدام أعمدة من S إلى الخطوط الثلاثة.

مربع طول ST هو (7/3)²=49/9. ومتجه SU=(-7/5,-28/15) يعطي 49/25+784/225=49/9. ومتجه SV=(28/13,-35/39) يعطي 784/169+1225/1521=49/9. اتجاه SU عمودي على (4,−3)، واتجاه SV عمودي على (5,12).

تقع T على DE بالمعامل 1/3 من D نحو E؛ وتقع U على EF بالمعامل 7/10؛ وتقع V على FD بالمعامل 6/13. جميعها بين 0 و 1، فالتماسات على قطع الأضلاع نفسها. تساوي المسافات مع وجود S داخل المثلث يحدد دائرة داخلية فعلًا، لا دائرة مماسة لامتدادات فقط.

لا تستبدل المركز بمتوسط الرؤوس

المتوسط المتساوي للرؤوس هو G=(A+B+C)/3=(26/3,4). إذا حسبت المتوسط المتساوي للمنتصفات أيضًا، وجدت (D+E+F)/3=(26/3,4)، لأن كل رأس أصلي يظهر مرتين في مجموع المنتصفات قبل القسمة على 2.

لكن نموذج السلك المنتظم يعطي للأضلاع كتلًا مختلفة لأن أطوالها مختلفة. وزن 1 لكل منتصف يفترض كتلًا متساوية للأضلاع الثلاثة، لا كثافة خطية مشتركة. في مثالنا S−G=(5/6,−1/3)، فالمركزان مختلفان بإحداثيات دقيقة.

لا تصلح G مركزًا للدائرة الداخلية الصغيرة: بعدها عن DE هو 2، وعن EF هو 21/10، وعن FD هو 42/13. هذه الأعداد غير متساوية. اختبار المسافات يكشف الخطأ حتى لو ظهرت G قريبة من S في رسم صغير.

مركز دائرة المثلث الأصلي I=(7,14/3) ينتج من I=(20A+13B+21C)/54. مسافته إلى AB هي 14/3؛ وإلى CA الذي يحقق 12x−5y=0 هي (182/3)/13=14/3؛ وإلى BC الذي يحقق 3x+4y=63 هي (70/3)/5=14/3.

إذن الدائرة الأصلية نصف قطرها 14/3، ومركزها I، بينما دائرة مثلث المنتصفات نصف قطرها 7/3 ومركزها S. نقل الأوزان 20 و 13 و 21 من المنتصفات إلى الرؤوس أعطى I بدل S. اختلاف دائرة ومواضعها لا يُختزل في تغيير اسم النقطة.

غيّر الكثافة مع إبقاء المثلث نفسه

أبقِ طول BC=20 وطول CA=13 وكثافتيهماλ، واجعل كثافة AB تساوي 2λ. كتل الأضلاع الجديدة 20λ و 13λ و 42λ، لأن كتلة AB تضاعفت دون أن يتغير طوله. يظل مركز كل ضلع عند منتصفه، ما دامت كثافته ثابتة على طول ذلك الضلع.

المركز الجديد R=(20D+13E+42F)/75. إحداثيه الأفقي (260+65/2+441)/75=489/50، والرأسي (120+78)/75=66/25. بالمقارنة مع S، الإزاحة R−S=(7/25,−77/75): تحرك إلى اليمين وإلى أسفل في نظام إحداثياتنا.

النقطة R لا تكون مركز دائرة شبيكر للمثلث الثابت. بُعدها عن DE هو 6−66/25=84/25، وهذا يختلف عن 7/3. تغيرت الكتلة الفيزيائية التي نوازنها، بينما بقي تعريف الدائرة الهندسية مبنيًا على منتصفات الشكل نفسه.

إذا ضربنا كثافات الأضلاع كلها في العامل نفسه، ضربنا كل وزن في هذا العامل، وأُلغِي من البسط والمقام؛ لا يتحرك المركز. أما مضاعفة وزن واحد وحده فتعيد توزيع الأوزان النسبية. هذه حالتان مختلفتان ينبغي تحديدهما قبل استعمال صيغة المتوسط.

النموذج يهمل كتلة الوصلات عند الرؤوس وسمك السلك. إن أضفت كتلة عند رأس، أضف وزنها وموضعها إلى المتوسط. وإن تغيرت الكثافة داخل ضلع واحد، فقد لا يعود منتصفه مركز كتلته؛ يلزم حساب توزيع ذلك الضلع بدل استعمال طوله وحده.

لماذا تكون نقطة الموازنة مركز الدائرة؟

للتفسير العام، اكتب a=BC، b=CA، c=AB، ومحيط المثلث L=a+b+c. لتكن D و E و F منتصفات الأضلاع بهذا الترتيب، و K=(aD+bE+cF)/L. الأوزان موجبة، فتقع K داخل مثلث المنتصفات غير المنعدم.

سمِّ مساحة مثلث المنتصفات M. مساحة KEF تساوي (a/L)M، لأن المسافة إلى EF تتغير خطيًا مع موضع النقطة: رؤسا E و F على الخط نفسه، ولا يسهم في الارتفاع إلا وزن D. وطول EF يساوي a/2، لذلك ارتفاع K إلى EF هو 2(aM/L)/(a/2)=4M/L.

وبالطريقة نفسها، الارتفاعان إلى FD و DE يساويان 4M/L. إذن المسافات العمودية الثلاث متساوية، والنقطة داخل المثلث؛ فهي مركز دائرته الداخلية. لأن M=Δ/4، يكون نصف القطر q=Δ/L. في مثالنا q=126/54=7/3، موافقًا لحساب التماس المباشر.

نستطيع أيضًا إعادة كتابة المتوسط: K=((b+c)A+(c+a)B+(a+b)C)/(2L). إذا كان I=(aA+bB+cC)/L و G=(A+B+C)/3، فإن K=(3G−I)/2. في نموذجنا (3×26/3−7)/2=19/2، و (3×4−14/3)/2=11/3.

هذه إعادة ترتيب جبري، وليست قاعدة لتبديل الرؤوس والمنتصفات عشوائيًا. تفسر الصيغة كيف تستخرج النقطة من حسابين مختلفين ثم تراجع أنها S نفسها. لا نستخدم تقارب المراكز في الصورة لإثبات التساوي؛ نعوّض بالإحداثيات.

عند تكبير كل إحداثي بعامل 2، تصبح S=(19,22/3) ونصف القطر 14/3. الأطوال تتضاعف، والمساحة تصير أربعة أمثالها. لذلك q=Δ/L يتضاعف، وتبقى نسب الأوزان كما هي.

يشترط مثلثًا ذا مساحة موجبة وسلكًا منتظمًا في النموذج الأول. فحصنا 9 مثلثات إضافية ذات أطوال صحيحة وإحداثيات صحيحة، مع حساب المسافات الثلاث بالكسور. هذه فحوص محددة، والحجة بالمساحات هي البرهان العام؛ لا تعطي الاختبارات التسعة حصرًا لجميع المثلثات.