معيار أيزنشتاين يثبت عدم قابلية التحليل على الأعداد النسبية بشروط قسمة محددة. [1]
اكتب المجال والشروط الثلاثة
عدم القابلية للتحليل علىQ يعني غياب حاصل ضرب عاملين موجبي الدرجة بمعاملات نسبية؛ الثابت غير الصفري وحده لا يعد تحليلًا كهذا. [1]
اكتب F(x)=aₙxⁿ+…+a₁x+a₀ بمعاملات صحيحة، وn≥1 وaₙ≠0. يكفي أوليp يحقق: p يقسمa₀ إلىaₙ₋₁، وp لا يقسمaₙ، وp² لا يقسمa₀. [1][3]
في مثالنا F(x)=2x⁴+21x³+14x²+7x+35. المعاملات مرتبة:2،21،14،7،35. نختار7 لأنه أولي؛ قواسِمه الموجبة1 و7 فقط.
المعاملات التالية للرئيس تعطي21=7×3 و14=7×2 و7=7×1 و35=7×5. أما2 فلا يقسمه7، والعدد35 لا يقسمه49؛ إذ35=49×0+35.
إذن المعيار ينطبق علىF. [2] ليست هناك ضرورة لجعل المعامل الرئيس1؛ الرئيس في المثال2، والمطلوب هنا أن يفشل قسمته على7.
النتيجة تستبعد كل تقسيم ممكن للدرجة4: لا تحليل بعامل درجته1 وآخر3، ولا بعاملين درجتهما2، علىQ. لا نحتاج استخراج جذورF لكتابة هذا الحكم.
لماذا لا يجوز حذف أحد الشرطين؟
خذ A(x)=7x²+14x+7 معp=7. المعاملان14 و7 يقبلان القسمة على7، والثابت7 لا يقبل القسمة على49. لكن الرئيس7 يقبل القسمة على7؛ الشرط الخاص به يفشل.
بالفعل A(x)=7(x+1)²=(7x+7)(x+1). بالتوزيع نحصل على7x²+14x+7. هذا تحليل إلى عاملين موجبي الدرجة بمعاملات صحيحة، ومن ثم نسبية.
الآن خذ B(x)=x²+14x+49. الرئيس1 لا يقبل القسمة على7، والمعاملان14 و49 يقبلانها، لكن49 يقبل القسمة على7². هنا يفشل شرط الثابت.
نجد B(x)=(x+7)²=x²+14x+49. لا يصلح الحكم بأنه غير قابل للتحليل لمجرد أن معاملات الدرجة الأقل مضاعفات7. المثالان يعزلان الشرطين المختلفين.
أما H(x)=x⁴+7 فصف المعاملات الكامل1،0،0،0،7. كل صفر يساوي7×0؛ وثابته7 ليس مضاعفًا لـ49، ورئيسه1 ليس مضاعفًا لـ7. ينجح الفحص دون اختراع معاملات للحدود الغائبة.
لو كان الثابت0 فلن ينجح شرطp²: الصفر مضاعف لكلp². وفي كثير حدود غير صفري ذي ثابت صفر يوجد عاملx؛ لا نخلط هذه الحالة مع معاملات وسطية صفرية.
عندما يفشل الاختبار يبقى السؤال مفتوحًا
المعيار شرط كافٍ، وليس لازمًا. غياب أولي مناسب لا يعطي حكمًا عكسيًا. [2]
مثال U(x)=x²+x+2: معاملx هو1، فلا يوجد أولي يقسمه. ومع ذلك U(x)=(x+1/2)²+7/4، وهي موجبة لكلx حقيقي لأن المربع غير سالب و7/4 موجب.
إذن لا جذر حقيقي لها، ولا جذر نسبي. ولو تحللت إلى عاملين موجبي الدرجة علىQ لكان كل منهما خطيًا، لأن مجموع الدرجتين2؛ وعاملmx+b معm≠0 يعطي جذرًا نسبيًا−b/m. هذا يناقض النتيجة السابقة، فيثبت عدم التحليل لهذه التربيعية.
احتجنا هنا إلى درجتها2. في المقابل W(x)=(x²+1)(x²+4)=x⁴+5x²+4. كلا القوسين موجب لكلx حقيقي، فحاصل ضربهما موجب أيضًا ولا جذور حقيقية أو نسبية له.
لكن W معروض أصلًا حاصل ضرب تربيعيتين بمعاملات صحيحة. والتوزيع يعطيx⁴+4x²+x²+4=x⁴+5x²+4؛ غياب الجذر لم يمنع تحليل الدرجة الرابعة.
عند فحص أيزنشتاين لـW تكتب1،0،5،0،4. لا أولي يقسم5 و4 معًا: أولي5 الوحيد5 لا يقسم4. فشل الاختبار هنا متفق مع التحليل المعروف، لكنه ليس سبب القاعدة العكسية.
غيّر مجال المعاملات يتغير معنى الحكم
عدم القابلية للتحليل مرتبط بمجال المعاملات المحدد. [1]
نأخذ V(x)=x²−7. معp=7 يكون الرئيس1، ومعاملx صفرًا، والثابت−7. يقبل الصفر و−7 القسمة على7، ولا يقبل1 قسمتها، ولا يقبل−7 القسمة على49. ينجح معيارنا علىQ.
علىR يمكن كتابة V(x)=(x−√7)(x+√7)، لأن حاصل الضربx²−(√7)²=x²−7. هذه ليست عوامل بمعاملات نسبية.
للتأكد من عدم نسبية√7، افترض√7=m/n بكسر مختزل وn≠0. نحصل علىm²=7n²؛ بواقي مربعات الأعداد0 إلى6 عند القسمة على7 هي0،1،4،2،2،4،1؛ لذا لا يقبل مربع القسمة على7 إلا إذا قبلها العدد نفسه، فيقسم7 العددm. بوضعm=7k نجدn²=7k²، فيقسم7 العددn أيضًا، خلاف اختزال الكسر.
إذن وجود جذور حقيقية لا يناقض عدم التحليل علىQ. اكتب المجال في الجواب، ولا تستبدل عبارة «غير قابل للتحليل على الأعداد النسبية» بعبارة «لا جذور له».
مسار العمل: رتب معاملات المقدار الصحيح، اختر أوليًا، وافحص المعامل الرئيس وكل المعاملات الأدنى والثابت مع مربع الأولي. إذا نجح الاختبار اكتب حكمه مع المجال؛ وإن فشل فانتقل إلى حجة أخرى أو تحليل متحقق بالتوزيع.
| المقدار معp=7 | الشرط الحاسم | الحكم |
|---|---|---|
| F:2،21،14،7،35 | الشروط متحققة | غير قابل للتحليل علىQ |
| A:7،14،7 | الرئيس يقبل القسمة | لا ينطبق؛ A=7(x+1)² |
| B:1،14،49 | الثابت يقبل49 | لا ينطبق؛ B=(x+7)² |
| H:1،0،0،0،7 | الصفر يقبل7 | الشروط متحققة |
للتوسع: طرق تحليل كثيرات الحدود.
المراجع
- UNB — Irreducible Polynomials, Theorem2.3.7
- Emory — Factoring and Eisenstein Criterion
- Ben Lynn — Eisenstein Criterion, proof
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.