هلالا أبقراط: لماذا تساوي مساحتهما مساحة المثلث القائم؟

الخلاصة السريعة

ارسم نصفي قرص خارج المثلث على ضلعي القائمة، ونصف قرص على الوتر جهة الرأس القائم. مجموع مساحتي الهلالين المتبقيين يساوي مساحة المثلث. [1]

• نختار A=(0,0)، B=(12,0)، C=(0,5). الزاوية عند A قائمة، و BC=13 لأن 144+25=169. مساحة ABC تساوي 12×5/2=30؛ هذه هي القيمة التي سنقارن بها المنطقتين المنحنيتين.
• مركز دائرة الوتر O=(6,5/2)، ونصف قطرها 13/2. نأخذ نصف القرص الذي يحتوي A، ونضع نصف قرص AB تحت y=0، ونصف قرص AC يسار x=0. جهة كل نصف قرص جزء من البناء.
• مساحات أنصاف الأقراص هي S12=18π و S5=25π/8 و S13=169π/8. لذلك S12+S5=S13 بدقة. هذه مساواة لمساحات الأقراص قبل طرح القطع المشتركة، وليست ادعاءً بأن مساحة الهلالين تحتويπ في النتيجة.
• سمّ القطعتين داخل القرص الكبير وخارج المثلث E12 و E5. عندئذ S12=L12+E12، و S5=L5+E5، و S13=30+E12+E5. طرح E12+E5 من المساواة السابقة يعطي L12+L5=30.
• العدد 13 هو قطر الدائرة الكبيرة، لا نصف قطرها. استعمال 13 في موضع 13/2 يجعل المساحة 169π/2 بدل 169π/8، أي أربعة أمثالها. كذلك القرص الكامل مساحته 169π/4، ولا يحل محل نصف القرص المحدد.
• النتيجة تخص مجموع المساحتين؛ لا نستنتج أن كل هلال مساحته 15. التكبير بعامل 2 يجعل مجموعهما 120، والإزاحة المشتركة تحفظ 30. الأطوال بوحدات خطية والمساحات بوحدات مربعة؛ لا نبدلπ بتقريب أثناء الإلغاء.

ثبت المثلث وأطواله قبل رسم الأقواس

نضع A=(0,0)، B=(12,0)، C=(0,5). المتجه AB أفقي، و AC رأسي، وحاصل ضربهما القياسي صفر. لذلك ABC قائم عند A. الوتر هو BC المقابل لهذا الرأس؛ لا نسمِّAB وترًا لأنه يبدو أطول من AC في الصورة.

من B إلى C، فرق الإحداثي الأفقي −12 والرأسي 5. مربع المسافة 144+25=169، ومنه BC=13. المساحة من الضلعين المتعامدين هي 12×5/2=30 وحدة مربعة. لا نحتاج إلى معرفة ارتفاع المثلث على BC لحساب هذه المساحة.

منتصف BC هو O=(6,5/2). مربع بعده عن B يساوي 36+25/4=169/4، وكذلك بعده عن C. وبعده عن A له المربع نفسه؛ لذلك دائرة مركزها O ونصف قطرها 13/2 تمر بالرؤوس الثلاثة.

معادلة هذه الدائرة (x−6)²+(y−5/2)²=169/4. بعد التوسيع تصبح x²+y²−12x−5y=0. التعويض بإحداثيات A أو B أو C يعطي صفرًا في كل مرة، وهو فحص مباشر للأقواس التي ستحد المناطق المشتركة.

هذه الإحداثيات اختيار أصلي غير متناظر: ضلعا القائمة 5 و 12 مختلفان. لذلك سنحافظ على اسم كل منطقة، بدل افتراض أن الرسم نصفان متطابقان. الجدول يربط أضلاع المثلث بأنصاف الأقطار ومساحات أنصاف الأقراص في البناء نفسه.

حدد جهة أنصاف الأقراص الثلاثة

نميز القوس عن المنطقة: نصف الدائرة قوس، أما المنطقة التي يحصرها القوس مع القطر فهي نصف قرص. مساحة نصف القرص ذي نصف القطر r هيπr²/2. [2] جميع الرموز S12 و S5 و S13 هنا تمثل مساحات مناطق، وليست أطوال أقواس.

دائرة قطرها AB مركزها U=(6,0) ونصف قطرها 6. نختار نصفها الواقع تحت y=0، خارج ABC. ومساحة هذا النصف S12=π×6²/2=18π. الرقم 12 في الاسم يذكرنا بالقطر، ولا يعني أنه نصف القطر المستعمل في الصيغة.

دائرة قطرها AC مركزها V=(0,5/2) ونصف قطرها 5/2. نختار نصفها الواقع يسار x=0، خارج ABC. مساحته S5=π×(5/2)²/2=25π/8. الطرفان A و C يحددان قطره الرأسي، وليس ارتفاعًا لقطاع ذي زاوية مختلفة.

للوتر BC نختار نصف القرص جهة A. خط BC معادلته 5x+12y=60، وعند A يكون الطرف الأيسر 0. لذلك المنطقة المطلوبة تحقق 5x+12y≤60 داخل الدائرة الكبيرة. النصف المقابل لا يحتوي المثلث ولا يؤدي التقسيم الذي سنستعمله.

مساحة نصف قرص الوتر S13=π×(13/2)²/2=169π/8. وبالمقام نفسه، S12=144π/8 و S5=25π/8؛ جمعهما يعطي 169π/8. نحتفظ بالرمزπ، لأن المساواة دقيقة ولا تعتمد على عدد عشري مقرب.

سمّ الهلالين والقطعتين المشتركتين

الهلال منطقة مستوية بين قوسين دائريين مختلفي نصفي القطر. [1] في رسمنا، L12 هو الجزء من نصف قرص AB الذي يقع خارج القرص الكبير، و L5 هو الجزء من نصف قرص AC الذي يقع خارجه. ليس أي لون منحني داخل المثلث هلالًا مطلوبًا.

سمّ الجزء المشترك بين نصف قرص AB والقرص الكبير E12، والجزء المشترك بين نصف قرص AC والقرص الكبير E5. الأولى تقع أسفل AB، والثانية يسار AC. الصورة الثانية تلونهما بالذهبي كي تظهر المنطقتان اللتان سنطرحهما، بينما يبقى المثلث أزرق.

في y≤0، تحقق دائرة AB الداخلية x²+y²−12x≤0. كل نقطة من القرص الكبير في هذه الجهة تحقق x²+y²−12x≤5y≤0، فتقع أيضًا داخل دائرة AB. هكذا تكون القطعة الكبيرة تحت AB هي نفسها E12 المشتركة، ولا نطرح مساحة أكبر من نصف القرص الصغير.

وبالمثل، في x≤0، تعطي الدائرة الكبيرة x²+y²−5y≤12x≤0. لذلك قطعتها يسار AC تقع داخل دائرة AC، وهي E5 المشتركة. هذا الفحص بالإحداثيات يثبت مطابقة الجزأين اللذين يبدو أنهما متداخلان في الرسم.

داخل نصف القرص الكبير جهة A، الجزء الذي يحقق x≥0 و y≥0 هو ABC، لأن الحد المستقيم الباقي 5x+12y≤60. والمنطقتان الخارجتان تقعان تحت AB أو يسار AC. لا توجد منطقة مشتركة ذات مساحة موجبة بين E12 و E5؛ فإذا x≤0 و y≤0 فإن x²+y²−12x−5y≤0 لا يتحقق إلا عند A.

حدود المنحنيات والخطوط قد تشترك في نقاط، لكن هذه الحدود لا تضيف مساحة. لذلك نصف قرص AB يتكون من L12 و E12، ونصف قرص AC من L5 و E5، ونصف قرص BC المختار من ABC و E12 و E5. نكتب هذه العلاقات قبل إجراء الطرح.

اطرح الأجزاء نفسها لتحصل على ثلاثين

العلاقات في مثالنا هي S12=L12+E12 و S5=L5+E5 و S13=30+E12+E5. جمع العلاقتين الأوليين يعطي S12+S5=L12+L5+E12+E5. ولأن S12+S5=S13، يمكن مقارنة الطرفين ثم حذف المقدار المشترك E12+E5.

يبقى L12+L5=30. لم نحسب مساحة كل قطعة دائرية على حدة، ولم نحتج إلى زاوية قوس أو دالة مثلثية عكسية. كفاية الإلغاء تأتي من كون القطعتين المطروحتين هما نفسيهما في جانبي المساواة، لا من اختفاء الرمزπ مصادفة.

لضلعَي قائمة a و b ووتر c، تعطي a²+b²=c² مساواة أنصاف الأقراصπa²/8+πb²/8=πc²/8. ومع الجهات نفسها، طرح القطعتين المشتركتين يترك مجموع الهلالين مساويًا لمساحة المثلث. هذا تعميم البرهان الذي تحققنا من تقسيم مناطقه في المثال. [1]

الجدول الثاني يفصل المكونات الثلاثة. الرمزان E12 و E5 يدلان على مساحتين موجبتين، ولا نضع صفرًا مكانهما لمجرد أننا لا نحسب قيمتيهما منفصلتين. الإلغاء حساب بين مجموعين يحتوي كل منهما المقدار ذاته.

المساواة L12+L5=30 لا تحدد L12 وحدها أو L5 وحدها. وكتابة L12=L5=15 تحتاج إلى دليل آخر على التساوي، وهو غير مقدم هنا. لا نستنتج تساوي منطقتين من مجرد معرفة مجموعهما، ولا نقيس مساحة واحدة من الصورة لتبرير ذلك.

راجع القطر ونصف القرص قبل استعمال القانون

في دائرة BC، نصف القطر 13/2. إذا استعملنا 13 بدلًا منه، نحصل علىπ×13²/2=169π/2، وهو أربعة أمثال 169π/8. تلك دائرة أخرى لا تكون BC قطرًا لها؛ اتفاق جمع مربعات 5 و 12 و 13 لا يصلح هذا الخطأ في تفسير الأطوال.

القرص الكامل مركزه O ومساحته 169π/4. لو استبدلنا به S13، فستفشل مساواة S12+S5=S13، لأن مجموع النصفين الصغيرين 169π/8 فقط. النصف الكبير الذي نحتاج إليه محدد بخط BC والجهة التي فيها A، وليس الدائرة كلها.

مثال الخطأ في الطرح أوضح: افترض خطأًE12+E5=169π/4−30، ثم اطرحه من 169π/8. الناتج 30−169π/8 سالب، لأنهπ>3. المساحة السالبة هنا تكشف تعويض القرص الكامل مكان نصفه؛ ليست مساحة فعلية لهلالين.

كذلك لا تطرح ABC من S12 منفردًا؛ المثلث ليس مكونًا من نصف قرص AB الواقع أسفله. التقسيم الصحيح S12=L12+E12. عند تغيير جهة أحد الأقواس، أعد تحديد التقاطع والفروق من البداية بدل الاحتفاظ بمعادلات المناطق القديمة.

الحساب يخص مساحة داخل الحدود، لا طول محيطها. لا ينتج من L12+L5=30 أي مساواة بين أطوال الأقواس أو بين محيط الهلالين ومحيط ABC. المساحة تقاس بوحدة مربعة، والطول بوحدة خطية، فلا نجمعهما في طرف واحد.

اختبر التكبير والإزاحة والوحدات

كبر الإحداثيات بعامل 2: تصبح B=(24,0) و C=(0,10)، ويصبح الوتر 26. مساحات أنصاف الأقراص 72π و 25π/2 و 169π/2، ومجموع الأولين يساوي الثالثة. مساحة المثلث 24×10/2=120، فيصبح مجموع الهلالين 120 أيضًا.

الأطوال تضاعفت مرتين، لكن المساحات تضاعفت أربع مرات؛ 120=4×30. إذا كتبنا 60 بوصفه مجموع المساحتين بعد التكبير، نكون قد طبقنا معامل الطول مباشرة على مساحة. جميع المناطق المشتركة والهلالين تتبع المعامل المربع نفسه.

عند إزاحة البناء الأصلي بمقدار (2,−1)، تصير A=(2,−1)، B=(14,−1)، C=(2,4)، والمركز O=(8,3/2). تبقى أنصاف الأقطار 6 و 5/2 و 13/2، وتبقى المساحة 30. خطوط الفصل تتحرك مع الرؤوس؛ لا نبقي x=0 و y=0 في مكانهما القديم.

إذا كانت الأطوال بالسنتيمتر، يكون المجموع 30 سم²، وبعد التكبير 120 سم². لا نكتبπ=3.14 بوصفها مساواة دقيقة؛ إن احتجنا تقريبًا عدديًا لمساحة نصف قرص، نذكر علامة التقريب، بينما برهان إلغاء القطعتين يبقى بالرموز الدقيقة.

لإعادة البناء، افحص الزاوية القائمة، وحدد أقطار الدوائر ومراكزها، ثم اختر جهات الأنصاف وسمّ التقاطعين. اجمع مساحات النصفين الصغيرين وقارن بنصف الوتر، واطرح المكونات المشتركة. الرسم بمقياس متساوٍ يساعد على تتبع الأسماء؛ المساواة تثبتها العلاقات الهندسية والحساب.