محيط المثلث القائم: اختيار القانون وأمثلة محلولة بوحدات صحيحة

حدد موضع الزاوية القائمة قبل حساب الضلع المجهول

نرمز لطولي الضلعين اللذين يلتقيان عند الزاوية القائمة بالرمزين a وb. ونرمز لطول الضلع المقابل لهذه الزاوية بالرمز c، وهو الوتر. ليست الحروف جزءًا من شكل ثابت يجب أن تحفظه؛ يمكنك تدوير الرسم أو قلبه، وتبقى العلاقة مرتبطة بموضع الزاوية القائمة. لذلك ابحث عن علامة المربع الصغير في الرسم، أو عن نص المسألة الذي يثبت وجود زاوية قائمة، ثم سمّ الأضلاع.

في المثال الأصلي الموضح في الصورة الرئيسية، الضلع الأفقي طوله 24 سم، والضلع العمودي طوله 7 سم، والضلع المائل طوله 25 سم. الزاوية بين 7 و 24 قائمة، والضلع 25 مقابلها. نستطيع مراجعة الأطوال بالحساب: مربع 7 هو 49، ومربع 24 هو 576، ومجموعهما 625، وهو مربع 25. بعد هذه المراجعة نجمع الأطوال نفسها، فنحصل على 56 سم. لا نجمع مربعاتها لإيجاد المحيط؛ جمع المربعات خطوة تستعمل في حساب طول ناقص.

إذا كانت الأطوال الثلاثة مكتوبة في مسألة تطلب المحيط فقط، فلا تحتاج إلى استخراج جذر جديد. مثلًا، لو كانت بطاقة إطار تعليمي تذكر الأطوال 14 سم و 48 سم و 50 سم، فإن مجموعها 112 سم. هذه الأطوال ضعف أطوال مثال الصورة، ومن الحساب نفسه يتضاعف المحيط. يمكن فحص تربيع الأطوال للتأكد من وصف المثلث بالقائم، لكن المحيط يأتي من الجمع المباشر، وليس من نتيجة فحص القائمة.

عندما يكون الوتر مجهولًا: اجمع المربعين ثم خذ الجذر

اخترنا مثالًا تعليميًا آخر بضلعي قائمة 9 سم و 40 سم. نريد المحيط، لكن الوتر غير مكتوب. نبدأ بتربيع 9 للحصول على 81، وتربيع 40 للحصول على 1600. المجموع 1681، وجذره الموجب 41. أصبح لدينا ثلاثة أطوال بوحدة السنتيمتر نفسها؛ لذلك نجمع 9 و 40 و 41 لنحصل على محيط مقداره 90 سم.

تسلسل الحساب هنا مهم. فالعدد 1681 يمثل مربع طول الوتر، ولا يمثل طول الوتر نفسه. إذا أدخلت هذا العدد ضمن مجموع الأضلاع، فسوف تجمع كميات مختلفة وتخرج بنتيجة لا تتفق مع الرسم ولا مع الوحدة. اكتب خطوة الجذر صراحة حتى لا تسقط بين سطرين، ثم انقل الطول الناتج وحده إلى معادلة المحيط.

جرب مراجعة الحل بالعكس: إذا كان الوتر 41، فمربعه 1681. اطرح مربع الضلع 40، وهو 1600، فيبقى 81. الجذر الموجب هو 9، أي إنك استعدت الضلع الذي بدأنا به. هذه مراجعة عددية لهذا المثال، وليست بديلًا عن إثبات النظرية. فائدتها أنها تكشف خطأ التربيع أو الطرح أو إدخال رقم مختلف في الحاسبة.

عندما يكون ضلع قائمة مجهولًا: اطرح من مربع الوتر

اخترنا في هذا المثال وترًا طوله 61 مم وضلع قائمة طوله 60 مم. نريد طول الضلع الآخر حتى نتمكن من إكمال مجموع الأضلاع. مربع 61 هو 3721، ومربع 60 هو 3600. الفرق بينهما 121، وجذره الموجب 11. أصبح محيط هذا المثلث 61 + 60 + 11، أي 132 مم. لاحظ أن الفرق هنا بين المربعين، وليس بين الطولين؛ فطرح 60 من 61 يعطينا 1 مم، وهو ليس الضلع الناقص.

يمكن مراجعة النتيجة بإعادة بناء مجموع المربعين: مربع 11 هو 121، وعند إضافته إلى 3600 نحصل على 3721. كذلك يساوي مجموع ضلعي القائمة 71 مم، وهو أكبر من الوتر 61 مم. لو حصلت على ضلع ناقص أطول من الوتر، فارجع إلى ترتيب التعويض. وفي مثالنا، لو جمعت المربعين بدل طرحهما، لأخذت جذر 7321، وهو أكبر من 61؛ فتظهر المشكلة مباشرة قبل جمع المحيط.

اقرأ كلمة الوتر في المعطيات بعناية. لو قال السؤال إن الوتر 18 سم وضلع القائمة 20 سم، فلن تنتج هذه الأرقام مثلثًا قائمًا بهذه الأسماء: الفرق بين المربعين 324 − 400 سالب. لا تستبدل الفرق بقيمته المطلقة لتصنع جوابًا موجبًا؛ فهذا يغير معطيات المسألة. اكتب أن الأطوال والوصف غير متوافقين، ثم تحقق هل حدث خطأ في النقل أو هل سُمّي أحد الضلعين تسمية خاطئة.

وحّد وحدات الطول قبل التربيع والجمع

نفترض مثلثًا قائمًا ضلعا قائمته 0.9 م و 120 سم. إذا أردت المحيط بالسنتيمتر، فحوّل 0.9 م إلى 90 سم. الآن تحسب مربع 90 وهو 8100، ومربع 120 وهو 14400. مجموعهما 22500، والجذر 150 سم. المحيط 90 + 120 + 150، أي 360 سم. وإذا فضلت المتر، تصبح الأطوال 0.9 م و 1.2 م و 1.5 م، ويصبح المحيط 3.6 م؛ وهي النتيجة نفسها بعد التحويل.

أما جمع 0.9 و 120 و 150 كما هي، فلا ينتج محيطًا صحيحًا؛ الرقم الأول بالمتر والرقمان الآخران بالسنتيمتر. والخطأ قد يقع قبل الجمع أيضًا، إذا ربّعت 0.9 بالمتر و 120 بالسنتيمتر ثم جمعت الرقمين دون تحويل. اكتب الوحدة بجانب كل طول في سطر المعطيات. بعد اختيار وحدة مشتركة، انسخ الأطوال المحولة إلى سطر جديد، واستعمل هذا السطر وحده في الحساب.

للتدرب على تتبع الوحدة، افترض وترًا 2.6 م وساقًا 100 سم. حوّل الساق إلى 1 م، ثم احسب 2.6² − 1² = 6.76 − 1 = 5.76. الجذر 2.4 م، ولذلك المحيط 2.6 + 1 + 2.4 = 6 م. تحقق بالسنتيمتر: الأطوال 260 و 100 و 240، ومجموعها 600 سم. التحويل الأخير يراجع النتيجة؛ لا نحتاج إلى إعادة كل الخطوات إذا كانت القيم قد حُوّلت بالفعل بصورة صحيحة.

[3]

إذا لم يكن الجذر عددًا صحيحًا: حافظ على الدقة

اخترنا ضلعي قائمة 2 سم و 5 سم. مربع الوتر هو 4 + 25 = 29، وبالتالي طول الوتر √29 سم. المحيط الدقيق هو 7 + √29 سم. عند استعمال الحاسبة نجد √29 ≈ 5.3851648، فيكون المحيط نحو 12.3851648 سم. إذا طلب السؤال التقريب إلى منزلتين عشريتين، اكتب 12.39 سم. وجود جذر في الجواب لا يعني أن الحل ناقص؛ الصيغة الدقيقة قد تكون هي المطلوبة.

يمكن أن تختلف النتيجة إذا قربت مبكرًا إلى منزلة واحدة. فاستبدال الجذر بـ 5.4 ثم الجمع يعطي 12.4، وهي قيمة مناسبة عند طلب منزلة واحدة، لكنها لا تحفظ الدقة المطلوبة عند طلب منزلتين. احتفظ بالجذر أو بالقيمة الكاملة في ذاكرة الحاسبة، ثم قرب المحيط في السطر الأخير. وإذا كان السؤال لا يحدد مستوى التقريب، يمكنك تقديم الصيغة الدقيقة مع قيمة تقريبية واضحة بعلامة التقريب.

لنفترض أن طالبًا كتب أن المحيط يساوي 12.39 سم تمامًا. كلمة تمامًا هنا لا تناسب الرقم العشري المقرب؛ لأن 12.39 ليست القيمة الدقيقة للجذر مع العدد 7. يمكنك كتابة المحيط يساوي 7 + √29 سم، أي نحو 12.39 سم. هذه الصياغة تميز بين المساواة الرياضية والقيمة المستخدمة في القراءة أو القياس. ولا تكتب وحدات مربعة بعد هذا الرقم، لأن المطلوب طول الحد الخارجي.

ولمراجعة فكرة فصل الأنواع، يمكنك قراءة شرح ارتفاع المثلث متساوي الساقين؛ فهو يتناول اختيار القاعدة والارتفاع، بينما نركز هنا على جمع حدود المثلث القائم.

المثلث القائم متساوي الساقين: اختصر بعد فهم العلاقة

نفترض أن طول كل ضلع قائمة 8 سم. مربع الوتر يساوي 8² + 8²، أي 128، وطوله √128 = 8√2 سم. المحيط إذن 8 + 8 + 8√2، ويمكن جمع الضلعين المتساويين للحصول على 16 + 8√2 سم، أو كتابة 8 × (2 + √2) سم. القيمة التقريبية نحو 27.31 سم. وصلنا إلى الصيغة المختصرة من الحساب نفسه، ولم نعامل الوتر كأنه ضلع ثالث طوله 8.

لو كانت المعلومة الوحيدة هي طول الوتر 10 سم مع النص على تساوي ضلعي القائمة، نرمز لكل ساق بس. تصبح المعادلة 2 س² = 100، ومنها س² = 50، وس = 5√2 سم. المحيط يساوي 10 + 10√2 سم، أي نحو 24.14 سم. لاحظ أن شرط تساوي الساقين هو الذي أتاح الحل من طول واحد؛ لا نستعمل هذه الخطوة لمثلث قائم لا يذكر السؤال تساوي ساقيه.

يمكن فحص المثال الثاني باستبدال الساقين بقيمتيهما الدقيقتين: مربع 5√2 يساوي 50، ومجموع المربعين 100، وهو مربع الوتر 10. أما جمع الأطوال فيعطينا 10 + 5√2 + 5√2. هذه المراجعة تزيل خطأ شائعًا، وهو تقسيم الوتر على اثنين لإيجاد كل ساق. تقسيمه على اثنين سيعطي ساقين 5 و 5، ومجموع مربعيهما 50 فقط؛ لذلك لا تحققان وترًا مربع طوله 100.

من المساحة وضلع قائمة إلى المحيط

نفترض أن مساحة مثلث قائم 154 سم²، وأن أحد ضلعي القائمة 14 سم. لأن الضلعين متعامدان، نستعمل هذا الضلع قاعدة والضلع المجهول ارتفاعًا. ضعف المساحة هو 308 سم². بقسمته على القاعدة 14 سم نحصل على ضلع القائمة الآخر 22 سم. أصبح مربع الوتر 14² + 22² = 196 + 484 = 680. طول الوتر √680 = 2√170 سم، والمحيط 36 + 2√170 سم، أي نحو 62.08 سم.

نراجع المساحة أولًا: نصف حاصل ضرب 14 في 22 هو 154، فيطابق المعطى. ثم نراجع الطول المحسوب للوتر: تربيع 2√170 يعطي 680، وهو مجموع مربعي الساقين. لا تضع 154 ضمن جمع المحيط؛ فهو مساحة وليس طولًا. كما أن قسمة المساحة على 14 دون مضاعفتها تعطي 11، وستجعل المساحة الناتجة 77 سم²، أي نصف المساحة التي بدأنا بها.

هذه الطريقة تحتاج طول ضلع قائمة معلومًا. فإذا قال السؤال إن المساحة 154 سم² وإن الوتر 14 سم، فالمعطيات غير ممكنة لمثلث قائم. لتوضيح السبب، نرمز للساقين بالرمزين س وص؛ مجموع مربعيهما يساوي 196. مربع الفرق بينهما غير سالب، ومن ثم ضعف حاصل ضربهما لا يتجاوز 196. المساحة نصف حاصل الضرب، ولذلك لا يمكن أن تتجاوز 49 سم². الرقم 154 أكبر من هذا الحد. لا تستبدل الوتر بضلع قائمة في الطريقة السابقة؛ اكتب نوع الضلع قبل التعويض.

[2]

لماذا لا تكفي المساحة وحدها؟ مثالان يكشفان الفرق

نختبر الفكرة بمثلثين قائمين اخترناهما للتوضيح. في الأول، ضلعا القائمة 4 سم و 18 سم. مساحته نصف 72، أي 36 سم²، ووتره √340 سم؛ لذلك محيطه 22 + √340، أي نحو 40.44 سم. في الثاني، ضلعا القائمة 6 سم و 12 سم. مساحته أيضًا نصف 72، أي 36 سم²، ووتره √180 سم؛ لذلك محيطه 18 + √180، أي نحو 31.42 سم.

المساحتان متساويتان، لكن المحيطين مختلفان. هذا يكفي لإظهار أن رقم المساحة 36 سم² لا يفرض جوابًا واحدًا للمحيط. فقد استطعنا تغيير طول أحد ضلعي القائمة وتعويضه بتغيير الضلع الآخر، مع بقاء حاصل ضربهما 72. لم تتغير مساحة الداخل، بينما تغيرت الأطوال التي يجب جمعها حول الحدود. إذا أعطاك سؤال مساحة وحدها دون شرط إضافي، فاطلب المعطى الناقص بدل اختيار ضلعين من عندك وتقديم محيطهما كأنه النتيجة الوحيدة.

يمكن كذلك إظهار أن الوتر وحده لا يكفي دون شرط آخر. فالمثلثان ذوا الأضلاع 7 و 24 و 25، و 15 و 20 و 25، لهما الوتر نفسه 25 سم. محيط الأول 56 سم، ومحيط الثاني 60 سم. في الحالتين يساوي مجموع مربعي الساقين 625، لكن مجموع الساقين يختلف. إذن نحتاج معلومات تتعلق بالساقين أو الزوايا أو شكل المثلث، ولا يكفي أن نعرف اسم الوتر وطوله.

تطبيق تعليمي على إطار ورقي: ميّز الحد الخارجي من الأجزاء

نفترض لوحة ورقية مثلثة قائمة بضلعي قائمة 21 سم و 28 سم، ونريد شريطًا يمر على حدودها مرة واحدة دون تراكب. مربع الوتر 441 + 784 = 1225، ومنه الوتر 35 سم. طول المسار حول اللوحة 21 + 28 + 35 = 84 سم. هذه هي الكمية الهندسية المطلوبة في المثال. لا تمثل كمية شراء مؤكدة، لأن طول التراكب أو الهدر أو أطوال القص المتاحة لم تُحدد.

إذا أردنا في هذا المثال إضافة تراكب ثابت مقداره 2 سم عند إغلاق الشريط، تصبح القطعة المطلوبة 86 سم. الرقم 2 شرط أضفناه إلى المثال، وليس نسبة عامة نوصي بها لكل مادة أو طريقة تثبيت. أما إذا كانت لدينا ثلاث قطع مستقلة نضعها على الأضلاع، ونريد زيادة 1 سم لكل قطعة، فالمجموع 84 + 3 = 87 سم. اكتب طريقة الوصل وعدد الزيادات قبل الحساب؛ فالمحيط لا يقرر تفاصيل التجميع وحده.

نفترض الآن أننا قسمنا هذه اللوحة بخط داخلي من أحد الرؤوس. إضافة الخط لا تغير الأضلاع الثلاثة التي تحد اللوحة من الخارج، ولذلك يبقى محيطها 84 سم. إذا طلب السؤال مجموع محيطي الجزأين، فسيُحسب الخط الداخلي ضمن حدود كل جزء، أي مرتين. لهذا لا يمكن جمع محيطي قطعتين ثم اعتبار الناتج محيط الشكل الأصلي بلا فحص الحدود المشتركة. اتبع المسار المطلوب في السؤال بإصبعك على الرسم، ثم اجمع الأطوال التي تقع عليه فقط.

ثلاثة تمارين مستقلة مع حلول للمراجعة

التمرين الأول: مثلث قائم ضلعا قائمته 16 مم و 30 مم؛ احسب المحيط. مربع الوتر 256 + 900 = 1156، وطوله 34 مم، ثم المحيط 16 + 30 + 34 = 80 مم. إذا حصلت على 46 مم، فقد جمعت ضلعي القائمة فقط وأسقطت الوتر. وإذا حصلت على 1202 مم، فقد أدخلت مربع الوتر بدل طوله. راجع معنى كل رقم قبل الجمع النهائي، لأن الإجابة تتطلب ثلاثة أطوال فعلية.

التمرين الثاني: الوتر 53 سم وأحد ضلعي القائمة 45 سم؛ احسب المحيط. الفرق بين المربعين 2809 − 2025 = 784، ومنه الضلع الآخر 28 سم. المحيط 53 + 45 + 28 = 126 سم. نراجع النتيجة بتربيع 28، ثم إضافته إلى 2025 لنعود إلى 2809. إذا استعملت طرح 53 − 45 وأخذت 8 سم ضلعًا، فستجد أن 45² + 8² = 2089، وهو لا يساوي مربع 53؛ وهكذا تكشف المراجعة الخطأ.

التمرين الثالث: مثلث قائم متساوي الساقين، طول كل ساق 2.5 م؛ اكتب المحيط الدقيق ثم قربه إلى منزلتين. الوتر 2.5√2 م، والمحيط 5 + 2.5√2 م، أي نحو 8.54 م. ابدأ بتحديد أنه مطلوب طول الحدود؛ فمساحة هذا المثلث 3.125 م² ليست الجواب. لا تحول الجذر إلى 1.4 في بداية الحل إذا كان المطلوب منزلتين عشريتين، لأن هذا التقريب سيعطي 8.50 م بدل النتيجة المقربة من القيمة الكاملة.

تغيير حجم المثال: راجع المحيط والمساحة كلًا على حدة

لنعد إلى المثلث الذي أضلاعه 7 و 24 و 25 سم. نفترض أننا نريد نسخة ورقية بأطوال تساوي نصف الأطوال الأصلية. تصبح الساقان 3.5 سم و 12 سم، والوتر 12.5 سم. جمع هذه القيم يعطينا محيطًا مقداره 28 سم، وهو نصف 56 سم. لم نأخذ نصف ضلع واحد ونترك الآخرين كما هم؛ بل طبقنا التغيير نفسه على الأضلاع الثلاثة، ولذلك بقيت النسخة متناسبة مع المثال الأصلي.

نختبر القائمة أيضًا: مربع 3.5 هو 12.25، ومربع 12 هو 144، ومجموعهما 156.25، وهو مربع 12.5. أما المساحة الأصلية فهي نصف حاصل ضرب 7 في 24، أي 84 سم². مساحة النسخة الأصغر نصف حاصل ضرب 3.5 في 12، أي 21 سم². إنها ربع المساحة الأصلية، مع أن محيطها نصف المحيط الأصلي. هذا الفرق بين نتيجتين محسوبتين يمنع نقل نسبة المساحة مباشرة إلى نسبة الطول.

إذا أردنا نسخة بأطوال تساوي ثلاثة أمثال الأصل، تصبح الأضلاع 21 و 72 و 75 سم، والمحيط 168 سم. يمكنك التأكد بجمع الأطوال أو بمضاعفة المحيط الأصلي ثلاث مرات. المساحة الجديدة نصف حاصل ضرب 21 في 72، أي 756 سم²، وهي تسعة أمثال 84. هذه مراجعة لهذا التصميم المحدد. إذا كانت التعليمات تقول ضاعف المساحة فقط، فلا تستنتج أنك ستضاعف الأضلاع أو المحيط، لأن مثال النسختين يبين أن التغيرين مختلفان.

كيف تراجع إجابتك قبل اعتمادها؟

خذ مثال الإطار السابق وأعد كتابة المعطيات في قائمة قصيرة: زاوية قائمة، ضلع 21 سم، ضلع 28 سم، والمطلوب طول الحدود. اخترنا الجمع بين المربعين لأن الضلع الناقص هو الوتر. بعد استخراج 35 سم، نتحقق أن 35 أكبر من كل ساق وأن 21 + 28 أكبر من 35. ثم نجمع الأطوال لنصل إلى 84 سم. بهذه المراجعة يستطيع قارئ آخر متابعة الحل ومعرفة سبب اختيار كل عملية دون الاعتماد على شكل الرسم وحده.

إذا كانت النتيجة أقل من أحد الأضلاع المعروفة، فأنت لم تحسب مجموع الأضلاع الثلاثة الموجبة. وإذا كانت الوحدة سم²، فراجع هل كتبت مساحة بدل محيط. وإذا كان جوابك يحتوي عددًا سالبًا تحت الجذر في حالة وتر وساق، فتحقق من اسم الوتر ومن توحيد الوحدات. وإذا كانت النتيجة تقريبية، فاكتب علامة التقريب ومستوى الدقة المطلوب. احتفظ بسطر المعطيات وسطر طول الضلع الناقص وسطر المحيط؛ فهي تكفي لتحديد معظم أخطاء هذه المسائل.

الأمثلة والتمارين العددية في هذا الدليل أمثلة تعليمية مستقلة، ويمكن إعادة حسابها بالأرقام المعروضة. وهي توضح كيف تنتقل من معطيات محددة إلى طول ناقص ثم إلى محيط، ولا تثبت أن أي مساحة أو أي طول منفرد يكفي دائمًا. عند حل مسألة جديدة، طابق نوع المعلومات أولًا: أضلاع ثلاثة، ساقان، وتر وساق، أو شرط إضافي واضح. بعد ذلك استعمل الطريقة المناسبة، واكتب جوابًا يجيب عن المطلوب فعلًا.