أوزان نقطة بالنسبة إلى مثلث: مجموع الواحد وإشارات الداخل والحافة

ثلاثة أوزان تصف نقطة واحدة

يمكن وصف نقطة في مستوى بإحداثيين أفقي ورأسي، ويمكن وصفها بالنسبة إلى مثلث بثلاثة أوزان مرتبطة برؤوسه. نريد هنا فهم هذا الوصف الثاني: ما الذي يعنيه جمع الأوزان إلى واحد؟ وكيف نستعيد النقطة منها؟ وماذا يخبرنا وزن سالب أو صفري عن موقعها؟ سنستعمل مثلثًا مؤلفًا وأعدادًا دقيقة، ثم نراجع الداخل والحافة والخارج دون الاعتماد على شكل الصورة وحده.

اسم المنهج في المراجع هو Barycentric coordinates. يوضح دليل CGAL أن إحداثيات المثلث تخص مثلثًا غير منعدم، ويؤكد ارتباط ترتيب القيم بترتيب الرؤوس. ويشرح Rick Wicklin في مقال SAS جمع الواحد وإعادة بناء النقطة وإشارات الموضع. نستعمل هذه التعريفات المعروفة، بينما الأمثلة والإحداثيات والقيم والرسوم التالية مؤلفة للمقال، ولا ننقل كود المصدر أو أشكاله.

سنكتب الرؤوس A و B و C بالترتيب، وأوزانها a و b و c. المقصود بالأوزان معاملات حسابية، لا كتلًا قسناها عند الرؤوس ولا احتمالات أحداث. قد يظهر وزن سالب للنقطة الخارجية، ويبقى الوصف الرياضي مفيدًا إذا حافظنا على إشارته. لا نفرض تفسيرًا ماديًا لكل عدد قبل أن نعرف ما يمثله في هذا النظام.

مرجع شروط وترتيب الإحداثيات، مرجع المجموع والنظام الخطي والإشارات.

شرط الجمع وإعادة البناء معًا

نطلب أن يكون مجموع a و b و c واحدًا، وأن تكون النقطة P مساوية لمجموع A مضروبًا في a و B مضروبًا في b و C مضروبًا في c. نحسب كل إحداثي من هذا المجموع منفصلًا، مع ربط كل وزن بالرأس الذي يخصه. ليست شروطنا ثلاثة أعداد مجموعها واحد فقط؛ كثير من الثلاثيات يحقق الجمع لكنه يعيد نقاطًا مختلفة.

إذا كانت النقطة في داخل المثلث تمامًا، تكون أوزانها الثلاثة موجبة. وعلى ضلع بين رأسين يصبح وزن الرأس المقابل صفرًا، وتبقى أوزان الرأسين الآخرين غير سالبة ومجموعهما واحدًا. وعند رأس من الرؤوس يكون وزنه واحدًا والآخران صفرًا. أما وجود وزن سالب في الأوزان الدقيقة فيشير إلى نقطة خارج المثلث الذي ثبتنا رؤوسه.

الصفر وحده لا يكفي لقبول نقطة على قطعة ضلع؛ قد يكون وزن صفرًا والوزنان الآخران أحدهما سالبًا. عندها تقع النقطة على امتداد خط الضلع خارج المثلث، لا على القطعة المحدودة بين الرأسين. لذلك نفحص السالب أولًا، ثم نميز الحافة والرأس والداخل. سيظهر هذا الفرق في مثال آخر قريب من أحد أضلاعنا.

مثلث بعرض ستة وارتفاع أربعة

نختار A عند أصل المحورين، و B عند ستة وصفر، و C عند صفر وأربعة. رؤوسه غير واقعة على خط واحد، ومساحته اثنتا عشرة وحدة مربعة. الإحداثي الأفقي في إعادة البناء يساوي ستة مضروبًا في وزن B، لأن إحداثيي A و C الأفقيين صفر. والإحداثي الرأسي يساوي أربعة مضروبًا في وزن C، لأن الرأسين الآخرين على المحور الأفقي.

لذلك نقطة ذات إحداثيين س وص تعطي في هذا المثال وزن B مساويًا س على ستة، ووزن C مساويًا ص على أربعة. ثم نحسب وزن A من واحد ناقص الوزنين الآخرين. هذه صيغ تخص المثلث الذي اخترناه، وليست قاعدة تقسم أي إحداثي على ستة وأربعة في كل مثلث. تغيير الرؤوس يحتاج حسابًا يخصها، كما سنوضح لاحقًا.

الحد المائل بين B و C يقابل وزن A صفرًا، أي أن س على ستة زائد ص على أربعة يساوي واحدًا. النقاط غير السالبة تحت هذا الحد لها وزن A غير سالب. لكننا نراجع الأوزان الثلاثة معًا؛ مجرد وقوع نقطة داخل المستطيل المحيط من صفر إلى ستة ومن صفر إلى أربعة لا يكفي لإدخالها في المثلث.

نقطة داخلية وأجزاء من اثني عشر

نختار P عند اثنين وواحد. وزن B يساوي اثنين على ستة، أي ثلثًا، ووزن C يساوي واحدًا على أربعة، أي ربعًا. مجموعهما سبعة على اثني عشر، فيكون وزن A خمسة على اثني عشر. الثلاثية بالترتيب A ثم B ثم C هي خمسة على اثني عشر، وثلث، وربع؛ جميعها موجبة ومجموعها واحد.

نعيد بناء الإحداثي الأفقي من هذه الأوزان: صفر في خمسة على اثني عشر زائد ستة في الثلث زائد صفر في الربع، فنحصل على اثنين. ونعيد بناء الرأسي بصفر وصفر وأربعة في الربع، فيكون واحدًا. بهذا نجمع بين فحص الجمع وفحص الموضع، بدل اعتبار توافق مجموع الأوزان وحده دليلًا على النقطة التي قصدناها.

الصورة الرئيسية ترسم المثلث والنقطة الداخلية، وتعرض الأوزان بجانب أسماء الرؤوس. لا يدل قرب علامة P من رأس ما وحده على قيمة وزنه؛ الأوزان جاءت من المعادلات. كما أن وزن A الأكبر من الوزنين الآخرين لا يعني أن P هي A أو أنها أقرب إليها بمقدار معروف. سؤال إعادة البناء يختلف من سؤال المسافة الذي يحتاج حسابًا آخر.

حافة ورأس وصفران

نأخذ E عند ثلاثة واثنين، وهي منتصف القطعة B إلى C. وزن B نصف ووزن C نصف، فيكون وزن A صفرًا. إعادة البناء تجمع نصف B ونصف C وتعطي ثلاثة واثنين. لم تدخل A في المجموع، ولذلك يقع الموضع على القطعة بين الرأسين الآخرين. الأوزان الأخرى موجبة، فلا توجد إشارة خروج في هذه الحالة.

أما النقطة التي تطابق B عند ستة وصفر فلها أوزان صفر وواحد وصفر بالترتيب الذي ثبتناه. هنا يوجد صفران، والوزن الباقي واحد. هذه حالة رأس لا داخل ضلع مفتوح. والنقطة عند ثلاثة وصفر تحمل نصفًا ونصفًا وصفرًا، فتقع على ضلع A إلى B؛ الصفر يخص C لأنه الرأس المقابل لهذا الضلع.

لكن F عند تسعة وصفر تحمل سالب نصف عند A، وثلاثة أنصاف عند B، وصفرًا عند C. تقع على خط A إلى B، ومع ذلك هي خارج القطعة وخارج المثلث. لذلك لا نقرر أنها حافة لمجرد وزن C الصفري. نقرأ الثلاثية كاملة ونميز خط الضلع من الجزء الذي يدخل في حدود المثلث.

وزن سالب مع بقاء المجموع واحدًا

نختار X عند خمسة وثلاثة. الوزنان عند B و C هما خمسة أسداس وثلاثة أرباع. مجموعهما تسعة عشر على اثني عشر، أكبر من واحد، ولذلك وزن A يساوي سالب سبعة على اثني عشر. مجموع الثلاثية كلها ما زال واحدًا؛ ظهور السالب لا يكسر هذا الشرط، لكنه يصف نقطة خارج المثلث عبر الحد المقابل للرأس A.

نعيد بناء X بالإشارات كما هي. إحداثيها الأفقي ستة في خمسة أسداس يساوي خمسة، وإحداثيها الرأسي أربعة في ثلاثة أرباع يساوي ثلاثة. وزن A السالب لا يغير هذين الإحداثيين مباشرة لأن A عند الأصل، لكنه أساسي في شرط جمع الواحد وفي تفسير الموضع بالنسبة إلى الرؤوس. نقل الأصل سيظهر أثره ضمن الإحداثيات أيضًا.

تقع X داخل المستطيل المحيط بالمثلث، لكن هذه الحقيقة لا تجعل أوزانها كلها غير سالبة. الحد المائل يستبعد موضعها من المثلث نفسه. الفرق هنا هندسي ومعروف من البيانات، لا خطأ نسخ في قيمة السالب. نحتفظ بالإشارة عند العرض، ونكتب أن الثلاثية تخص X الخارجية بدل تعديلها بصمت إلى مجموعة أوزان لنقطة أخرى.

عرض الرسم بالحجم الكامل

لماذا لا نقص السالب ثم نعيد التطبيع؟

لو حذفنا وزن A السالب في حالة X وجعلناه صفرًا، لبقي خمسة أسداس وثلاثة أرباع. مجموعهما تسعة عشر على اثني عشر، فنقسمهما على هذا المجموع كي يعود جمع الأوزان إلى واحد. تصبح الثلاثية صفرًا وعشرة على تسعة عشر وتسعة على تسعة عشر. إنها ثلاثية غير سالبة، لكنها لا تعيد النقطة خمسة وثلاثة.

النقطة الجديدة يكون إحداثيها الأفقي ستين على تسعة عشر، والرأسي ستة وثلاثين على تسعة عشر. تقع على القطعة B إلى C، لأن وزن A صفر، لكنها تختلف من X الأصلية. استبدلنا السؤال عن تمثيل نقطة معلومة بسؤال عن نقطة عدلتها قاعدة جديدة. إعادة التطبيع أصلحت مجموعًا بعد حذف السالب، ولم تحفظ الموضع الذي أردنا وصفه.

قد يحتاج تطبيق إلى إنشاء نقطة داخل مثلث وفق سياسة معلنة، لكن ذلك يحتاج تعريف الهدف والطريقة. لا نصف هذه العملية بأنها استعادة صحيحة للنقطة الخارجية، ولا بأنها تعطي تلقائيًا أقرب نقطة إليها. الإحداثيات الوزنية في مثالنا تمثل بيانات السؤال، بينما التعديل عليها ينتج بيانات أخرى يجب عرضها باسم واضح ومراجعة الغرض منها مستقلًا.

حساب عام لرؤوس غير محورية

في المثلث العام، نطرح A من B ومن C ومن P، فنحصل على ثلاثة متجهات. نسمي الأول اتجاهًا إلى B، والثاني اتجاهًا إلى C، والثالث فرق موضع النقطة. نحل معادلة الفرق الثالث بوصفه وزن B مضروبًا في الاتجاه الأول زائد وزن C مضروبًا في الثاني. بعد إيجاد الوزنين نأخذ وزن A من واحد ناقصهما.

يمكن تنفيذ هذا الحل بمحدد ثنائي، أو بنظام خطي يضم معادلتي الإحداثيين ومعادلة جمع الواحد. في المحدد نستعمل جداء المركبة الأفقية للأول في الرأسية للثاني ناقص الجداء المعاكس. إذا كان محدد الاتجاهين صفرًا، فالرؤوس على خط واحد ولا نحصل على المثلث غير المنعدم الذي يشترطه هذا الحساب. لا نأخذ قيمة مطلقة عشوائية للمحدد قبل حساب جميع النسب الموجهة.

للفحوص استعملنا تنفيذًا أصليًا بالمحددات والكسور، وقارناه بحل مستقل للنظام الخطي عن طريق الحذف الصفّي الدقيق. لم نشغل CGAL أو SAS على الأمثلة ولم ننقل كودهما. المقارنة بين طريقين للحساب تراجع الأوزان التي أخرجناها، مع بقاء تعريف الرؤوس وترتيبها وشروط الاستقلال جزءًا لازمًا لفهم النتيجة.

المساحات الموجهة تحفظ الإشارة

يمكن مراجعة الأوزان في مثال P الداخلية بمساحات المثلثات الثلاثة التي تصلها بالأضلاع. مساحة P مع B و C خمسة، ومساحة A مع P و C أربعة، ومساحة A مع B و P ثلاثة. مجموعها اثنتا عشرة، مساحة المثلث الأصلي. نسبها إلى الأصل تعطي خمسة على اثني عشر، وثلثًا، وربعًا، فتتفق مع الأوزان التي حسبناها من الإحداثيات.

لكن عندما تكون النقطة خارجية لا نستعمل المساحات غير الموجهة بالطريقة نفسها ثم نتوقع الإشارات الصحيحة. في X عند خمسة وثلاثة، ضعف المساحة الموجهة المقابلة للرأس A سالب أربعة عشر، والمقابلتان لـ B و C عشرون وثماني عشرة. مجموعها أربع وعشرون، وهو ضعف مساحة الأصل؛ تقسيمها عليه يعيد سالب سبعة على اثني عشر وخمسة أسداس وثلاثة أرباع.

لو أخذنا القيم المطلقة لصارت أربعة عشر وعشرين وثماني عشرة، ومجموعها اثنتين وخمسين. أزلنا عندئذ معلومة الجهة، ولم تعد النسب إلى أربع وعشرين تجمع إلى واحد. لذلك نفرق بين مساحة هندسية غير سالبة وبين مقدار موجه نستعمل إشارته في الحساب. اختيار ترتيب ثابت للرؤوس والنسب يمنع نقل قيمة سالبة إلى تفسير أنها مساحة مادية سالبة.

قيمة عند كل رأس ونتيجة داخلية

نعطي الرؤوس قيمًا عددية مؤلفة: عشرة عند A، واثنين وعشرين عند B، وستة عند C. نحسب عند P الداخلية مجموع هذه القيم مضروبة في أوزان P. حاصل خمسة على اثني عشر في عشرة، زائد الثلث في اثنين وعشرين، زائد الربع في ستة، يساوي ثلاثة عشر. نكتب القيمة ومثلثها وأوزانها، لأنها نتيجة استيفاء اخترناه وليست قياسًا حصلنا عليه عند P.

في هذا المثال توافق القيم دالة بسيطة هي عشرة زائد ضعفي الإحداثي الأفقي ناقص الإحداثي الرأسي. عند P ذات الإحداثيين اثنين وواحد تعطي الدالة ثلاثة عشر أيضًا. هذا فحص مستقل للقيمة التي جمعناها، ويشرح كيف يحفظ المزج الوزني دالة خطية مع ثابت على هذا المثلث. لم نقل إن أي ظاهرة خارجية تتغير بهذه القاعدة لمجرد أننا عرفنا ثلاث قيم.

وعند منتصف B إلى C تكون القيمة نصف اثنين وعشرين زائد نصف ستة، أي أربعة عشر. وفي داخل المثلث أو على حدّه، الأوزان غير سالبة وتجمع إلى واحد، فيبقى هذا المزج بين أصغر قيمة رأس وأكبرها. لكن تحقق هذا المجال العددي في نتيجة أخرى لا يثبت وحده أن نقطة السؤال داخل المثلث؛ سنراجع مثالًا خارجيًا يعطي قيمة ضمن المجال نفسه.

الاستقراء الخارجي لا يصير قياسًا

نطبق القيم العشر والاثنين والعشرين والست نفسها على X الخارجية ذات الأوزان الموقعة. نحصل على سالب خمسة وثلاثين على ستة، زائد مئة وعشرة على ستة، زائد سبعة وعشرين على ستة؛ المجموع سبعة عشر. تقع هذه النتيجة بين ستة واثنين وعشرين، رغم أن X خارج المثلث. مجال القيمة لا يكفي بديلًا من فحص إشارات الأوزان.

أما F عند تسعة وصفر، بأوزان سالب نصف وثلاثة أنصاف وصفر، فتعطي سالب خمسة زائد ثلاثة وثلاثين، أي ثمانية وعشرين. تجاوزنا أكبر قيمة رأس لأن المزج لم يعد غير سالب في جميع أجزائه. نوضح أن هذا امتداد حسابي للدالة المختارة، وليس وعدًا بأن قياسًا في موضع F يساوي ثمانية وعشرين في العالم الخارجي.

كلمة أوزان قد توحي باحتمالات تجمع إلى واحد، لكن أوزان الخارج السالبة لا تحمل ذلك المعنى. نحتاج أن نحدد هل نعيد إحداثيات نقطة أم نستوفي قيمة معلنة أم ننشئ توزيعًا احتماليًا؛ تشابه صورة الجمع لا يجعل هذه المهام واحدة. في هذا المقال نبقي الأمثلة على الموضع ومزج قيم مؤلفة، دون تفسير كتلة أو احتمال لم ندخله في البيانات.

ترتيب الرؤوس وتحويل الشكل

ثلاثية الأوزان مرتبطة بترتيب A و B و C. إذا بدلنا الرأسين A و B، ينبغي أن يتبدل وزناهما معهما، بينما تبقى النقطة التي تعيدها الثلاثية نفسها. في مثال P، يتقدم الثلث إلى خانة B التي صارت الأولى، ويتأخر خمسة على اثني عشر إلى خانة A. حفظ الأرقام بترتيبها القديم مع رؤوس جديدة يجيب سؤالًا آخر وقد يغير الموضع.

نجرب تحويلًا معلنًا يأخذ الإحداثيين س وص إلى اثنين س زائد ص زائد سبعة، وثلاثة ص ناقص اثنين. تصير الرؤوس A عند سبعة وسالب اثنين، و B عند تسعة عشر وسالب اثنين، و C عند أحد عشر وعشرة. وتصير P عند اثني عشر وواحد. الأوزان الأصلية نفسها تعيد هذه النقطة الجديدة، وقد تحققنا من ذلك بالكسور الدقيقة.

لم نفترض أن التحويل يحفظ الأطوال أو الزوايا؛ هو يغير الشكل، لكنه يطبق على النقطة والرؤوس جميعًا ويحافظ على المزج مع جمع الواحد. لذلك لا نستنتج مسافة P إلى رأس من بقاء وزنها كما كان. نحتفظ بأسماء الرؤوس والتحويل والمرجع، ونميز الثبات في هذا التمثيل من ثبات خاصية هندسية أخرى لم نفحصها.

رؤوس على خط واحد لا تعطي الوصف نفسه

نختار A عند الأصل، و B عند اثنين وصفر، و C عند أربعة وصفر. هذه ثلاث نقاط على خط واحد، وليست مثلثًا ذا مساحة موجبة. النقطة واحد وصفر يمكن كتابتها بنصف A ونصف B دون C، ويمكن أيضًا كتابتها بثلاثة أرباع A وربع C دون B. المجموع واحد في الحالتين، لكن الأوزان ليست وحيدة.

أما النقطة واحد وواحد فلا يمكن إعادة بنائها من هذه الرؤوس بأي أوزان حقيقية مجموعها واحد، لأن جميع الإحداثيات الرأسية للرؤوس صفر. هنا لا توجد نتيجة بدل أن توجد نتائج متعددة. لذلك نراجع عدم وقوع الرؤوس على خط واحد قبل القسمة أو حل نظام يفترض الاستقلال. تكرار رأس من الرؤوس يقع ضمن المشكلة نفسها ويحتاج رفضًا في عقدنا.

فحوصنا تستعمل أعدادًا صحيحة وكسورًا دقيقة، فتختبر الصفر في المحدد دون عتبة تقريب. قد تحتاج بيانات عشرية قريبة من الاستقامة إلى تحليل دقة وسياسة مقارنة معلنين؛ لا نختار في المقال حدًا صغيرًا يصلح لجميع المقاييس. ما شرحناه عن المثلث غير المنعدم يبقى مشروطًا بصحة هذه الخاصية، لا بنجاح طباعة ثلاثة أرقام من برنامج.

فحوص تربط الأوزان بالنقطة والرؤوس

راجعنا 456 مثلثًا مرتب الرؤوس غير منعدم، رؤوسها من شبكة صغيرة ذات إحداثيات سالب واحد وصفر وواحد. لكل مثلث سألنا 25 نقطة ذات إحداثيات من سالب اثنين إلى اثنين، فبلغت المقارنات 11400 حالة نقطة ومثلث. قارنّا تنفيذ المحددات بحل خطي مستقل، وراجعنا جمع الأوزان وإعادة الإحداثيين، ثم بدلنا ترتيب رأسين وتأكدنا من انتقال وزنيهما معهما.

اختبرنا أيضًا رفض 273 ثلاثية رؤوس منعدمة ضمن الشبكة نفسها، وحالات الداخل والحافة والرأس والخارج في المثلث المؤلف. وحفظنا مزج القيم والمساحات الموجهة والتحويل وتغيير النقطة بعد قص السالب. هذه تجارب محدودة وليست إثباتًا شاملًا لجميع مدخلات البرامج، ولا تشغيلًا لمكتبات المصادر أو تصديقًا على بيانات تطبيق خارجي.

عند إعداد نتيجة جديدة، احفظ الرؤوس بترتيبها ونقطة السؤال والأوزان الموقعة، ثم تحقق من الجمع وإعادة البناء. بعد ذلك اقرأ الإشارات لتصنيف الموضع، واذكر إن كنت تمزج قيمة أخرى بهذه الأوزان. بهذه المراجعة تبقى الثلاثية وصفًا واضحًا لنقطة بالنسبة إلى مثلث معلوم، مع معرفة أي معلومة تحملها وأي استنتاج يحتاج سؤالًا وحسابًا آخر.