تقاطع حدّي دائرتين: بعد المركزين ومجموع نصفي القطر وفرقُهما

هل نسأل عن الحد أم القرص؟

عند رسم دائرتين قد نقول إنهما متداخلتان، لكن السؤال الحسابي يحتاج تحديد ما الذي نعده. الدائرة هنا حد مؤلف من نقاط تبعد عن مركزها مسافة تساوي نصف القطر. أما القرص فيشمل هذا الحد وكل ما يقع داخله. نريد في المقال عدد النقاط المشتركة بين الحدين، وليس مساحة الجزء المشترك بين القرصين أو عدد نقاط المنطقة الملونة.

قد يقع قرص صغير داخل قرص أكبر، مع غياب أي نقطة مشتركة بين دائرتيهما الحدّيتين. وقد يتقاطع الحدّان في نقطتين، بينما يلتقي القرصان في منطقة ذات مساحة. لذلك نكتب نوع السؤال بجانب بيانات المركزين ونصفي القطر قبل الحساب. كلمة تداخل وحدها لا تقرر إن كان الناتج صفرًا أو واحدًا أو اثنين من النقاط الحدّية.

نستعمل دوائر مستوية بأنصاف أقطار موجبة، وإحداثيات ووحدة طول متوافقة. يبين مرجعا MathWorld و CP-Algorithms حساب نقاط الدائرتين من معادلتيهما، مع فصل حالة المركز المشترك. الأعداد والرسوم والفحوص التالية مؤلفة للمقال؛ سنختار نصفي قطر خمسة وثلاثة، ونغير بعد المركزين لنرى الحالات دون الاعتماد على لون الرسم وحده.

مرجع المعادلات والوتر، مرجع حذف المتغير وحالة المركز المشترك.

رقمان يحددان عتبتين للمقارنة

لنسم بعد المركزين d، ونصفي القطر R و r. نحتاج مجموعهما وفرقَهما بالقيمة المطلقة. المجموع يصف حد الاقتراب من الخارج، والفرق يصف حد الاحتواء من الداخل. حين يقع d بين القيمة المطلقة للفرق والمجموع، مع استبعاد الحدين، توجد نقطتا تقاطع بين الدائرتين. المساواة مع أحد الحدين تعطي تماسًا، إذا كان المركزان مختلفين.

في اختيارنا R خمسة و r ثلاثة، المجموع ثمانية والفرق اثنان. إذن المسافة أربع تقع بينهما، والمسافة ثمانية هي حد التماس الخارجي، والمسافة اثنان حد التماس الداخلي. أما تسعة فتجعل الدائرتين منفصلتين من الخارج، وواحد يجعل القرص الأصغر داخل الأكبر دون وصول حدّه إلى الحد الأكبر. سنراجع كل حالة بالحساب وبصورة تعرض العتبتين نفسيهما.

القيمة المطلقة في الفرق تمنع تغيير النتيجة إذا بدلنا اسمي الدائرتين. لكن لا نأخذ القيمة المطلقة لكل تعبير أثناء حل الإحداثيات؛ إشارات طرح المعادلتين لها معنى مختلف. كما نفحص d صفرًا مستقلة قبل استعمال صيغة تقسم عليه، لأن المركز المشترك يحتاج مقارنة نصفي القطر بدل البحث عن اتجاه بين مركزين متطابقين.

عندما يزيد البعد على المجموع

نضع مركز الدائرة الأولى عند الأصل ونصف قطرها خمسة، ومركز الثانية عند تسعة وصفر ونصف قطرها ثلاثة. على الخط الواصل بين المركزين، تصل الأولى في جهة الثانية إلى خمسة، وتبدأ الثانية من ستة في جهة الأولى. توجد فجوة طولها واحد بين أقرب موضعين على هذا الخط. بعد المركزين تسعة أكبر من المجموع ثمانية، فلا توجد نقطة حدّية مشتركة.

يمكن تفسير ذلك من أي نقطة نفترض أنها مشتركة: المسافة من المركز الأول إليها خمسة، ومن الثاني إليها ثلاثة. مسار المركز الأول إلى النقطة ثم إلى المركز الثاني طوله ثمانية، فلا يمكن أن يصل بين مركزين تفصل بينهما تسع وحدات. هذا يوضح أثر حد المجموع، ولا يختار نقطة خاصة على الرسم ثم يعمم غياب التقاطع من مظهرها وحده.

في هذه الحالة القرصان أيضًا منفصلان، لكن هذا توافق خاص بحالة البعد الأكبر من المجموع. لا ننقل عبارة القرصين منفصلان إلى كل حالة فيها صفر نقاط حدّية، لأن حالة الاحتواء ستعطي العدد نفسه مع وجود قرص كامل داخل الآخر. نحتفظ باسم الحالة إلى جانب العدد حتى لا تختفي هذه المعلومة.

تماس خارجي عند ثماني وحدات

نغير مركز الثانية إلى ثمانية وصفر مع نصف قطرها ثلاثة، ونبقي الأولى كما كانت. نقطة خمسة وصفر تبعد خمسة عن الأصل وثلاثة عن المركز الثاني، فتقع على الدائرتين. صار بعد المركزين ثمانية مساويًا مجموع نصفي القطر. تلتقي الدائرتان في نقطة واحدة، ونسمّي الحالة تماسًا خارجيًا.

المركزان ونقطة التماس على الخط نفسه، وتقع النقطة بينهما في هذا المثال. لا نعد النقطة مرتين لأنها جزء من دائرتين؛ سؤالنا عن نقاط مشتركة فريدة. ولا نكتب اثنتين لأن حلًا إحداثيًا قد يعرض فرعين متساويين عند ارتفاع صفر. الفرعان يمثلان الموضع نفسه عندما ينهار الوتر المشترك إلى نقطة.

إذا أبعدنا المركز الثاني بعد هذه العتبة صارت الدائرتان منفصلتين، وإذا قربناه قليلًا مع بقائه فوق عتبة الفرق ظهرت نقطتا تقاطع. هذا وصف لتغيير بيانات مؤلفة، وليس حكمًا من قياس مقرب أن تماسًا حقيقيًا حدث في جسمين. في الفحص الدقيق نراجع المساواة بين القيم المعلنة، ونحفظ الوحدة وطريقة تمثيل الأعداد.

مثال تقاطع بنقطتين واضحتين

نضع مركز الثانية عند أربعة وصفر، مع نصف القطر ثلاثة. بعد المركزين أربعة بين اثنين وثمانية، ولذلك نتوقع نقطتين. معادلة الأولى هي مربع س زائد مربع ص يساوي خمسة وعشرين. ومعادلة الثانية مربع الفرق بين س وأربعة زائد مربع ص يساوي تسعة. نبحث عن إحداثيين يحققان المعادلتين معًا.

بطرح المعادلتين تزول حدود مربع س ومربع ص المشتركة، ونحصل على ثمانية س يساوي اثنين وثلاثين، أي س أربعة. نعوض في الأولى فنجد مربع ص يساوي تسعة، وبالتالي ص ثلاثة أو سالب ثلاثة. النقطتان هما أربعة وثلاثة، وأربعة وسالب ثلاثة. كل نقطة تبعد خمسة عن المركز الأول وثلاثة عن الثاني.

نراجع الأولى بجمع ستة عشر وتسعة إلى خمسة وعشرين، والثانية بأن الفرق الأفقي من مركزها صفر والفرق الرأسي ثلاثة. والمراجعة نفسها تنطبق على النقطة السفلية لأن مربع السالب ثلاثة تسعة. هذا تعويض مستقل في الأصل، فلا نكتفي بحصولنا على عددين من خطوة طرح قد تحمل خطأ إشارة أو قيمة نصف قطر غير التي قصدناها.

الوتر المشترك ليس خط المركزين

القطعة التي تصل نقطتي التقاطع في مثالنا رأسية، من أربعة وسالب ثلاثة إلى أربعة وثلاثة. طولها ست وحدات، ومنتصفها عند أربعة وصفر. خط المركزين أفقي، ولذلك تتعامد معه هذه القطعة. مرور منتصف الوتر بمركز الدائرة الصغيرة في المثال اختيار خاص للأعداد؛ لا نلزم كل وتر مشترك أن يمر بأحد المركزين.

عند البحث عن الإحداثيات في مرجع يكون المركز الأول فيه الأصل والثاني على المحور الأفقي عند d، تعطي خطوة الطرح موضع الوتر الأفقي س مساويًا مجموع مربع d ومربع R ناقص مربع r، مقسومًا على ضعفي d. ثم يعطي التعويض مربع ارتفاع النقطة عن خط المركزين مساويًا مربع R ناقص مربع س. نقرأ هذا الارتفاع بعد مراجعة d غير الصفري.

في مثالنا س أربعة، ومربع الارتفاع تسعة، لذلك ظهر فرع موجب وآخر سالب. إذا كان مربع الارتفاع موجبًا نحصل على نقطتين متميزتين، وإذا كان صفرًا نحصل على تماس بنقطة واحدة، وإذا كان سالبًا فلا توجد نقطة حقيقية على الحدين. لا نأخذ القيمة المطلقة لمربع ارتفاع سالب لصنع تقاطع لم تتضمنه المعادلتان.

تماس داخلي عند فرق نصفَي القطر

نضع مركز الثانية عند اثنين وصفر، ونصف قطرها ثلاثة. أبعد نقطة من قرصها في جهة اليمين هي خمسة وصفر، وهي على الدائرة الكبيرة أيضًا. بعد المركزين اثنان يساوي الفرق بين خمسة وثلاثة، لذلك يوجد تماس داخلي بنقطة واحدة. يقع القرص الأصغر داخل الأكبر مع التقاء الحدين عند هذا الموضع.

نقطة التماس نفسها خمسة وصفر التي ظهرت في التماس الخارجي، لكن موضع المركز الثاني تغير من ثمانية إلى اثنين. في الحالة الخارجية تقع النقطة بين المركزين، وفي الداخلية تقع بعد المركز الصغير بالنسبة إلى الكبير. هذا يبين لماذا لا يكفي حفظ إحداثيات نقطة أو عدد واحد دون بيانات المركزين ونصفي القطر لتفسير نوع التماس.

من معادلات الحالة الداخلية نصل أيضًا إلى س خمسة وص صفر، فيتفق الفحص الإحداثي مع حد الفرق. إذا قربنا المركزين أكثر، بقي القرص الأصغر داخل الأكبر وصار الحدّان غير متلاقيين. وإذا زدنا المسافة قليلًا فوق اثنين مع بقائها دون ثمانية، يظهر التقاطع في نقطتين بدل التماس الواحد. الفرق والمجموع يحددان جهتي الانتقال المختلفتين.

احتواء لا يعطي نقطة حدّية

عند بعد مركزين واحد، مع نصفي القطر خمسة وثلاثة، يصل أبعد موضع في القرص الصغير عن المركز الكبير إلى مسافة لا تتجاوز أربعة. كل نقاطه إذن أقرب من نصف قطر الكبيرة خمسة. القرص الصغير داخل الأكبر تمامًا، لكن أي نقطة على حافته تبقى داخل الحد الأكبر، فلا توجد نقطة تحقق مسافتي خمسة وثلاثة إلى المركزين معًا.

عدد النقاط المشتركة بين الحدين هنا صفر، مثل الحالة المنفصلة من الخارج. ومع ذلك توجد منطقة مشتركة بين القرصين، وهي القرص الأصغر كله. لذلك لا نستنتج غياب منطقة مشتركة من العدد الصفري وحده. نكتب حالة احتواء صارم، ونحدد أن العدد يخص الحافتين لا مساحة داخلية أو عدد نقاط قرص ممتلئ.

في المثال الدقيق، بعد المركزين أقل من القيمة المطلقة لفرق نصفَي القطر. يمكن الوصول إلى الشرط أيضًا من أن مسافة أي نقطة عن المركزين لا تختلف بأكثر من بعد المركزين، بينما النقطة المشتركة المفترضة ستحتاج فرقًا قدره اثنان بين مسافتيها. المسافة واحد لا تكفي لذلك الفرق، فيتفق تفسير الاحتواء مع غياب حل حقيقي للحدين.

عرض الرسم بالحجم الكامل

مركز واحد: اختلاف أم تطابق؟

إذا جعلنا المركزين الأصل نفسه مع نصفي قطر خمسة وثلاثة، فإن دائرة الخمسة ودائرة الثلاثة مختلفتان. النقطة لا يمكن أن تبعد عن المركز نفسه خمسة وثلاثة في الوقت ذاته، لذلك لا يوجد تقاطع حدّي. نسميهما متحدتي المركز ومختلفتين، مع بقاء القرص الأصغر داخل الأكبر. لا نستعمل قسمة على بعد المركزين في هذه الحالة لأن البعد صفر.

أما إذا كان نصفا القطر خمسة وخمسة مع المركز نفسه، فالوصفان يحددان الدائرة نفسها. كل نقطة على حد إحداهما على الأخرى، وبالتالي توجد نقاط مشتركة غير منتهية، لا نقطة ولا نقطتان. نميز هذه النتيجة من فراغ الحل ومن قيمة صفر نخزنها لعدد محدود؛ التطابق حالة لها معنى مستقل في السجل.

حافظنا في نطاق المقال على أنصاف أقطار موجبة. لو سمحنا بصفر فقد تتحول الدائرة إلى نقطة، ويحتاج جدول الحالات إلى عقد إضافي لهذه المجموعات المنعدمة. تنفيذ فحوصنا يرفض الصفر والسالب في أنصاف الأقطار، ويصرح بهذا بدل إرجاع نتيجة من جدول افترض دائرة ذات حد غير منعدم. بذلك لا يختلط استثناء التطابق مع مدخل خارج الشروط.

مربع البعد يحفظ المقارنة الدقيقة

إذا كان المركز الأول عند إحداثيين معلومين والثاني عند إحداثيين آخرين، نحسب مربع البعد بجمع مربعي الفرق الأفقي والرأسي. يمكن مقارنة هذا الناتج بمربع مجموع نصفي القطر ومربع الفرق بينهما، دون استخراج جذر تقريبي للبعد. جميع الأطوال التي نقارنها غير سالبة، لذلك يحافظ التربيع على ترتيبها ومساواتها في عقدنا.

في عائلة الخمسة والثلاثة، مربعا العتبتين أربعة وأربعة وستون. الحالة ذات d أربعة تعطي مربع بعد ستة عشر بينهما، وذات d ثمانية تعطي أربعة وستين، وذات d اثنين تعطي أربعة. يظهر التماس من المساواة الدقيقة مع عتبة، ويظهر التقاطع بنقطتين من الوقوع بينهما. لا نقارن مربع البعد مباشرة مع المجموع ثمانية، لأن ذلك يخلط وحدة مربعة بوحدة طول.

فحوصنا بإحداثيات وأنصاف أقطار صحيحة تتعامل مع هذه المقارنات حسابيًا دون تقريب. أما بيانات قياس أو أرقام عشرية قريبة من حد التماس، فتحتاج سياسة دقة مرتبطة بالسؤال. لا نختار هامشًا صغيرًا عالميًا ونحكم أن كل فرق تحته تماس؛ تغير المقياس أو دقة المدخل قد يجعل ذلك تفسيرًا غير مناسب. نثبت الأعداد وطريقة مقارنتها قبل تسمية الحالة.

نقل المثال ودورانه وتكبيره

ننقل المثال ذي المركزين الأصل وأربعة وصفر بمقدار سبع وحدات أفقيًا وسالب اثنتين رأسيًا. يصبح المركزان سبعة وسالب اثنين، وأحد عشر وسالب اثنين. وتنتقل نقطتا التقاطع إلى أحد عشر وواحد، وأحد عشر وسالب خمسة. بقي الفرق بين المركزين أربعة، وبقي نصفا القطر خمسة وثلاثة، لذلك لم تتغير حالة النقطتين.

ولو أدرنا المثال ربع دورة حول الأصل، يصبح المركز الثاني صفرًا وأربعة، وتصبح النقطتان سالب ثلاثة وأربعة، وثلاثة وأربعة. خط الوتر صار أفقيًا بدل الرأسي، لكن عدد النقاط والمسافات إلى المركزين بقيا كما كانا. هذا تحويل معلوم للبيانات كلها، لا تبديل محور لنقطة واحدة مع ترك المراكز في وصف سابق.

وعند تكبير جميع الأطوال بمعامل اثنين، يصبح نصفا القطر عشرة وستة وبعد المركزين ثمانية، والنقطتان ثمانية وستة، وثمانية وسالب ستة. تضاعف طول الوتر إلى اثني عشر، وبقي العدد اثنين لأن النسب إلى العتبتين تغيرت بالمقدار نفسه. نحدد هل كبرنا الشكل أم غيرنا الوحدة، ونحفظ البيانات الجديدة بدل نقل الإحداثيات القديمة إلى رسم آخر دون بيان.

ماذا يثبت عدد التقاطع وحده؟

عدد نقطتين يخبرنا أن الحدين يلتقيان في موضعين مختلفين، لكنه لا يحدد مساحة العدسة المشتركة بين القرصين. دوائر كثيرة بأحجام وأبعاد مختلفة قد تحقق هذا العدد. وعدد نقطة واحدة لا يحدد هل التماس خارجي أم داخلي؛ نحتاج اسم الحالة ومقارنة البعد بالعتبة المناسبة. أما الصفر فيجمع انفصالًا واحتواءً ومركزًا مشتركًا بأنصاف أقطار مختلفة.

لذلك نكتب بطاقة قصيرة للنتيجة: المركزان ونصفا القطر والوحدة، ثم مربع البعد ومربعا العتبتين، واسم الحالة وعدد النقاط الحدّية. إذا حسبنا الإحداثيات نضيفها ونعوض بها في معادلتي الدائرتين. هذه البطاقة تبقي السبب بجانب العدد، وتمنع استعماله وحده لاستنتاج مساحة أو احتواء أو تلامس مادي لم يكن السؤال عنه.

كما لا تمثل الدائرة الافتراضية بالضرورة نطاق خدمة أو حد قطعة معدنية أو مسافة على سطح الأرض. أمثلتنا مستوية ومتوافقة الوحدات؛ التطبيقات الخارجية قد تحتاج نموذجًا آخر وبيانات تخصها. نكتفي هنا بما أثبته الحساب: شكل العلاقة بين حدين دائريين معلنين، مع معرفة المواضع المشتركة حين حسبناها، والتمييز بين ذلك وبين مساحة قرص أو قرار استخدام.

كيف راجعنا جدول الحالات؟

قارنّا جدول المقارنة بمجموع نصفي القطر وفرقِهما مع إشارة تعبير جبري ناتج من إزالة أحد متغيري معادلتي الدائرتين. فحصنا 15625 حالة لمركزين من شبكة صغيرة بإحداثيات سالب اثنين إلى اثنين، وأنصاف أقطار من واحد إلى خمسة. تحققنا أيضًا من أن تبديل الدائرتين يحفظ الحالة وعدد النقاط، مع فصل المركز المشترك والتطابق عن المقارنة المعتادة.

وفحصنا 1088 حالة إضافية على المحور الأفقي، بأنصاف أقطار من واحد إلى ثمانية وأبعاد من واحد إلى سبعة عشر. حسبنا موضع الوتر ومربع الارتفاع بكسور دقيقة، وقارنّا إشارته بعدد النقاط المتوقع. راجعنا نقطتي المثال بالتعويض، ونقطتي التماس في المثالين، والنقل والدوران والتكبير ورفض المدخلات المخالفة. هذه فحوص محدودة، وليست برهانًا تجريبيًا لجميع مدخلات أي برنامج.

قبل استعمال حالة جديدة، حدد أنك تسأل عن الحدين، وثبت المركزين وأنصاف الأقطار والوحدة، ثم افحص المركز المشترك أولًا وقارن البعد بالمجموع والفرق. بعد ذلك سم الحالة وعد النقاط الفريدة، وراجع أي إحداثيات بالحساب الأصلي. ستعرف حينها لماذا قد تعطي الصفر مع وجود قرص محتوى، ولماذا قد تعطي نقطة واحدة في نوعين من التماس، وما البيانات التي تفسر العدد الذي وصلت إليه.