مبرهنة فيفياني: مجموع المسافات إلى أضلاع مثلث متساوي الأضلاع

الخلاصة السريعة

تنص مبرهنة فيفياني على أن مجموع المسافات العمودية من نقطة داخل مثلث متساوي الأضلاع إلى أضلاعه يساوي ارتفاعه. [1] ليست المسافات إلى الرؤوس، ولا تشترط تساوي المسافات الثلاث. يجب تمييز النقطة الداخلية من الخارجية، والمسافة إلى مستقيم الضلع من المسافة إلى قطعة محدودة.

• المثلث A=(0,0)، B=(6,0)، C=(3,3√3) طول ضلعه 6 وارتفاعه 3√3. النقطة P=(2,√3) داخلية؛ نأخذ عمودًا إلى كل ضلع، لا قطعًا إلى الرؤوس.
• أقدام الأعمدة هي F₁=(2,0)، F₂=(17/4,7√3/4)، F₃=(5/4,5√3/4). المسافات من P هي√3 و 3√3/2 و√3/2، فيكون المجموع 3√3، مع أن المسافات غير متساوية.
• تقسم P المثلث إلى ثلاثة مثلثات قواعدها 6. مساحاتها 3√3 و 9√3/2 و 3√3/2، ومجموعها 9√3. قسمة ضعفي هذا المجموع على 6 تعيد مجموع المسافات 3√3.
• عند Q=(4,√3/2)، تتغير المسافات إلى√3/2 و 3√3/4 و 7√3/4، ويبقى مجموعها 3√3. للنقطة E=(3,0) على AB مسافة صفر، وللرأس A مسافتان صفريتان؛ يبقى المجموع نفسه.
• النقطة R=(2,−√3) خارجية. مسافاتها الموجبة إلى مستقيمات الأضلاع تجمع إلى 5√3، أما الموجهة فتجمع إلى 3√3. قدم العمود على CA تقع خارج القطعة، فلا نخلط بين المسافة إلى المستقيم والمسافة إلى الضلع المحدود.
• في مثلث A=(0,0)، B=(6,0)، C=(0,8)، يعطي موضعا (1,1) و (2,1) مجموعين 27/5 و 28/5. الثابت هو مجموع المسافات مضروبة في أطوال أضلاعها، ويساوي 48. التكبير بعامل 2 يجعل مجموع المسافات في المثال المتساوي 6√3.

المسافة العمودية تبدأ من النقطة إلى الضلع

خذ المثلث A=(0,0)، B=(6,0)، C=(3,3√3). مربع طول كل ضلع 36، فيكون متساوي الأضلاع. قدم ارتفاع C على AB هي H=(3,0)، وطول CH هو 3√3. النقطة P=(2,√3) لا تقع على هذا الارتفاع، ومع ذلك ينطبق عليها الاختبار.

نقصد بالمسافة العمودية أقصر مسافة إلى المستقيم الذي يحمل الضلع. يصل العمود إلى نقطة تسمى قدمه. داخل هذا المثلث المتساوي الأضلاع تقع الأقدام على الأضلاع نفسها؛ لكن ذلك قد يتغير عند استعمال نقطة خارجية.

ليس طول PA أو PB أو PC إحدى هذه المسافات؛ فالقطع إلى الرؤوس لا تكون عمودية على الأضلاع عمومًا. ولا نقيس المسافة على امتداد اتجاه رأسي ثابت لكل الأضلاع؛ العمود على ضلع مائل يميل بدوره.

معادلات مستقيمات الأضلاع هي y=0 للضلع AB، و√3x+y−6√3=0 للضلع BC، و√3x−y=0 للضلع CA. النقطة P تقع فوق AB، وتحقق√3x+y دون 6√3، و√3x−y موجب؛ فهي داخل الحدود الثلاثة.

الصورة تعرض العمود إلى AB باللون الأزرق، وإلى BC بالأخضر، وإلى CA بالذهبي. الخط الرمادي CH هو ارتفاع المثلث كله؛ ليس أحد الأعمدة الثلاثة من P، ولا يشترط أن يمر بها.

احسب الأقدام والمسافات بدل قياس الرسم

إسقاط P=(2,√3) على AB سهل: نثبت الإحداثي الأفقي ونجعل الرأسي صفرًا، فنحصل على F₁=(2,0). المسافة PF₁ هي√3. لا نضع P عند منتصف القاعدة حتى نحصل على المجموع المطلوب.

للضلع BC متجه عمودي (√3,1)، مربع طوله 4. قيمة معادلته عند P هي −3√3؛ لذلك نضيف إلى P المتجه (9/4,3√3/4)، فنحصل على F₂=(17/4,7√3/4). التعويض يعطي√3x+y−6√3=0، والقطعة PF₂ عمودية على BC.

للضلع CA متجه عمودي (√3,−1)، مربع طوله 4 أيضًا. قيمة معادلته عند P هي√3، فنطرح المتجه (3/4,−√3/4). تصبح F₃=(5/4,5√3/4)، وتحقق√3x−y=0.

مربع طول PF₂ يساوي 27/4، فيكون الطول 3√3/2. ومربع طول PF₃ يساوي 3/4، فيكون الطول√3/2. إذن المسافات هي√3 و 3√3/2 و√3/2، ومجموعها 3√3.

هذه المسافات مختلفة؛ أكبرها في المثال إلى BC وأصغرها إلى CA. المبرهنة تثبت مجموعًا ثابتًا ولا تقول إن النقطة متساوية البعد عن الأضلاع. تساوي المسافات الثلاث شرط إضافي يحدد موضعًا خاصًا.

لماذا يعطي مجموع المسافات ارتفاع المثلث؟

صل النقطة الداخلية برؤوس المثلث. تنقسم المساحة إلى ثلاثة مثلثات قواعدها أضلاع المثلث الأصلي، وارتفاعاتها المسافات العمودية من النقطة. لأن القواعد متساوية وطول كل منها s، فإن نصف s مضروبًا في مجموع المسافات يساوي مساحة المثلث كله. [1]

إذا كانت المسافات d₁ و d₂ و d₃ وارتفاع المثلث h، تصبح المعادلة sh=s(d₁+d₂+d₃)، بعد ضرب المساحات في 2. بما أن s موجب، نقسم عليه فنحصل على d₁+d₂+d₃=h. [1]

في مثالنا s=6، والمساحات الثلاث هي 3√3 و 9√3/2 و 3√3/2. مجموعها 9√3، وهو نصف 6 مضروبًا في 3√3. اختلاف مساحات الأجزاء يعكس اختلاف المسافات؛ لا تحتاج الأجزاء إلى التساوي كي نجمعها.

يمكن رؤية الثبات مباشرة من الإحداثيات. لأي نقطة داخلية (x,y) في هذا المثال، المسافات هي d₁=y، d₂=(6√3−√3x−y)/2، d₃=(√3x−y)/2. جمعها يلغي حدود x و y، ولا يبقى إلا 3√3.

داخل المثلث تكون القيم الثلاث غير سالبة، فتساوي فعلًا أطوال الأعمدة. إذا تغير موضع النقطة وبقي داخل الحدود، تتغير المسافات الفردية دون أن يتغير مجموعها. هذه الصيغ تساعد على فحص الحساب، لكنها لا تعني أن كل نقطة في المستوى تحقق المجموع نفسه عند أخذ القيم المطلقة.

حرك النقطة وافحص الأضلاع والرؤوس

اختر Q=(4,√3/2) بدل P. المسافة إلى AB تصبح√3/2. وإلى BC نحصل على 3√3/4، وإلى CA نحصل على 7√3/4. المجموع√3/2+3√3/4+7√3/4=3√3. الجدول يقارن المسافات من P و Q إلى الأضلاع نفسها.

انخفضت المسافة إلى AB وإلى BC، وارتفعت المسافة إلى CA. لذلك الثبات لا يعني ثبات كل عمود أو ثبات قدمه. الصورة المقارنة تعرض Q داخل المثلث، مع الأعمدة الثلاثة إلى الأضلاع.

يمكن تمديد الحساب إلى الحد. عند E=(3,0) على AB، المسافات هي 0 و 3√3/2 و 3√3/2. أحد مثلثات تقسيم المساحة منحل ومساحته صفر، ويظل المجموع 3√3.

وعند A=(0,0)، تكون المسافات إلى AB و CA صفريتين، وإلى BC تساوي 3√3. هذه هي مسافة الرأس إلى الضلع المقابل، أي ارتفاع المثلث. حالات الحد مستنتجة هنا من الصيغ، مع أن الصياغة المرجعية تبدأ بنقطة داخلية.

خارج المثلث تختلف المسافة الموجبة عن الموجهة

اختر R=(2,−√3)، وهي أسفل AB. مسافتها الموجبة إلى AB هي√3، وإلى BC هي 5√3/2، وإلى CA هي 3√3/2. المجموع 5√3، وهو أكبر من ارتفاع المثلث 3√3. لا نطبق نتيجة النقطة الداخلية على هذه الأطوال الموجبة.

أما الصيغ السابقة، إذا استعملناها خارج المثلث دون أخذ القيم المطلقة، فتعطي −√3 و 5√3/2 و 3√3/2. مجموعها 3√3. القيمة الأولى سالبة لأنها تشير إلى جهة R المقابلة لداخل المثلث بالنسبة إلى AB؛ ليست طولًا سالبًا لقطعة.

في هذه الحالة قدم العمود على CA هي F₃=(−1/4,−√3/4)، على امتداد المستقيم بعد A. لذلك المسافة إلى مستقيم CA هي 3√3/2، بينما أقرب نقطة على قطعة CA هي A، ومربع المسافة RA يساوي 7 بدل 27/4.

تظهر الصورة اليمنى قدم العمود أسفل A، مع امتداد قصير للضلع. إذا طلبت مسألة المسافة إلى حدود المثلث بوصفها ثلاث قطع محدودة، فلا تستبدلها آليًا بالمسافات إلى ثلاثة مستقيمات ممتدة.

تقسيم المساحة إلى ثلاثة أجزاء موجبة يغطي المثلث كما وصفنا فقط عندما تقع النقطة داخله. خارج المثلث تتداخل بعض المثلثات المساعدة أو تتجاوز الشكل؛ يمكن تنظيم المساحات بإشارات، لكن ذلك حساب مختلف عن جمع مساحات موجبة مستقلة.

ماذا يتغير إذا كانت الأضلاع غير متساوية؟

في مثلث عام، المساحات الجزئية تعطي a d₁+b d₂+c d₃=2K، حيث a و b و c أطوال الأضلاع التي تقابل المسافات، و K مساحة المثلث. لا نستطيع إخراج طول واحد عاملًا مشتركًا إذا كانت الأضلاع مختلفة.

خذ A=(0,0)، B=(6,0)، C=(0,8). أطوال AB و BC و CA هي 6 و 10 و 8، ومساحة المثلث 24. عند النقطة (1,1)، المسافات 1 و 17/5 و 1، ومجموعها 27/5. وعند (2,1)، المسافات 1 و 13/5 و 2، ومجموعها 28/5.

المجموعان مختلفان، لكن 6×1+10×(17/5)+8×1=48، وكذلك 6×1+10×(13/5)+8×2=48. الثابت مجموع موزون بأطوال الأضلاع، وهو ضعف المساحة؛ لا نعد هذا برهانًا على ثبات مجموع المسافات غير الموزون.

إذا كبرنا المثلث المتساوي الأول والنقطة P بعامل 2، يصبح الضلع 12 والارتفاع 6√3. تتضاعف المسافات إلى 2√3 و 3√3 و√3، ومجموعها 6√3. وإذا أزحنا الشكل كله بمقدار (1,−2)، تبقى المسافات والأطوال كما كانت.

قبل الحساب، تحقق من تساوي الأضلاع وموضع النقطة. ارسم أعمدة إلى الأضلاع، واحسب أطوالها بوحدات متسقة. وإذا كانت النقطة خارجية، حدد هل السؤال عن مستقيمات ممتدة أو قطع محدودة، وهل يريد مسافات موجبة أم كميات موجهة بإشارات.