متباينة أويلر للمثلث: لماذا لا يقل R عن 2r؟

الخلاصة السريعة

في كل مثلث غير منعدم المساحة، لا يقل نصف قطر الدائرة المحيطة R عن ضعف نصف قطر الدائرة الداخلية r. في مثال 13–14–15، لدينا R=65/8 و 2r=8؛ أما مربع المسافة بين المركزين فهو 65/64.

• صيغة أويلر للمثلث هي OI²=R(R−2r)، حيث O مركز الدائرة المحيطة و I مركز الداخلية. [1] لأن OI² غير سالب و R موجب، نحصل على R≥2r. تتعلق الصيغة بمثلث ذي مساحة موجبة.
• نختار A=(0,0)، B=(14,0)، C=(5,12). الأضلاع 14 و 13 و 15، ونصف المحيط 21، والمساحة 84. المركز الداخلي I=(6,4)، ونصف قطره r=4. المركز المحيط O=(7,33/8)، ونصف قطره R=65/8.
• فرق الإحداثيين الأفقي 1، والرأسي 1/8، لذلك OI²=1²+(1/8)²=65/64. ومن نصفي القطر نحصل على (65/8)(65/8−8)=65/64. لكن R−2r=1/8، و OI=√65/8؛ فهما طولان مختلفان.
• تتحقق المساواة R=2r في المثلث متساوي الأضلاع فقط. [3] عند ضلع 12 يكون المركزان (6,2√3)، و r=2√3، و R=4√3، فتكون المسافة صفرًا. تطابق المركزين لا يعني تطابق الدائرتين.
• تكبير مثالنا بعامل 2 يعطي r=8 و R=65/4 والمسافة OI=√65/4. مربع المسافة 65/16، والمساحة 336. تبقى النسبة R/r=65/32 ثابتة، بينما تتضاعف الأطوال وتصبح المساحات أربعة أمثالها.
• المسافة إلى ضلع هي المسافة العمودية إلى خطه، والمحيطة تمر بالرؤوس. لا نستعمل الصيغة للنقاط (0,0)، (14,0)، (5,0)؛ فهي على خط واحد ولا تحدد مثلثًا صالحًا. القيم هنا بوحدة طول واحدة، والمساحات بوحدتها المربعة.

ثبت المثلث قبل مقارنة الدائرتين

ابدأ بالإحداثيات A=(0,0)، B=(14,0)، C=(5,12). القطعة AB أفقية وطولها 14، وارتفاع C عن خطها 12. لذلك المساحة K=14×12/2=84. لا نحتاج إلى قياس صورة تقريبية للحصول على هذه المساحة.

باستخدام المسافة بين نقطتين، نجد AC²=5²+12²=169، فيكون AC=13. أما BC²=(14−5)²+12²=225، فيكون BC=15. مجموع الأطوال 42، ونصف المحيط s=21. تحقق 14+13 أكبر من 15، وبقية متباينات المثلث صحيحة أيضًا.

نرمز إلى نصف قطر الداخلية بـ r، وإلى نصف قطر المحيطة بـ R، وإلى مركزيهما بـ I و O. الداخلية تمس الأضلاع، والمحيطة تمر بالرؤوس؛ سنفحص هذه الصفات بالإحداثيات في المثال. الحرفان مختلفان لأن الدائرتين تؤديان دورين مختلفين.

الجدول يجمع الأطوال والمساحة ونصف المحيط. العدد 21 ليس مساحة، والعدد 84 ليس طولًا. عند استعمال وحدة مثل السنتيمتر تكون الأضلاع بالسنتيمتر، والمساحة بالسنتيمتر المربع. سنكتب الأرقام دون وحدة محددة كي يصلح المثال لأي مقياس طول موحد.

تحقق من المركزين ونصفي القطر

في هذا المثال، تقع I=(6,4) داخل المثلث. خط AB هو y=0، فالمسافة العمودية إليه 4. خط AC هو 12x−5y=0؛ عند I تكون القيمة 52، وقسمتها على√(12²+5²)=13 تعطي 4. خط BC هو 4x+3y−56=0؛ القيمة عند I تساوي −20، والمسافة|−20|/5=4.

أقدام الأعمدة من I على الأضلاع هي (6,0) على AB، و (30/13,72/13) على AC، و (46/5,32/5) على BC. كلها داخل قطع الأضلاع، وليست على امتداداتها. لذلك الدائرة مركزها I ونصف قطرها 4 تمس أضلاع المثلث الثلاثة من الداخل.

يمكن أيضًا تقسيم المثلث إلى ثلاثة مثلثات، رؤوسها I وقواعدها الأضلاع الأصلية. ارتفاع كل منها r، فيكون K=rs. [2] هنا r=84/21=4. هذه طريقة ثانية لحساب نصف القطر، وليست مسافة من I إلى أحد الرؤوس.

لتحديد O، تساوي المسافتين إلى A و B يجعله على المستقيم x=7. اكتب O=(7,y)، ثم ساوِ مربعَي المسافتين إلى A و C. ينتج 10×7+24y=169، ومنه y=33/8. إذن O=(7,33/8).

مربع المسافة من O إلى A هو 7²+(33/8)²=4225/64، وجذره 65/8. تساوي المسافة إلى B ينتج من التناظر حول x=7. والمسافة إلى C تحقق 2²+(63/8)²=4225/64 أيضًا؛ فتثبت المحيطة المارة بالرؤوس الثلاثة.

الصيغة K=abc/(4R)، حيث a و b و c أطوال الأضلاع، تعطي فحصًا آخر. [2] نضع 13 و 14 و 15 والمساحة 84، فنحصل على R=2730/336=65/8. اتفق الحساب المباشر بالإحداثيات مع الحساب من المساحة والأضلاع.

المسافة بين المركزين ليست فرق نصفي القطر

فرق الإحداثيين الأفقي بين O و I هو 7−6=1. الفرق الرأسي 33/8−4=1/8. لذلك مربع المسافة OI²=1²+(1/8)²=65/64، والمسافة OI=√65/8. العدد 65/64 يمثل مربع طول، لا طولًا.

صيغة أويلر العامة OI²=R(R−2r) تربط هذه المسافة بنصفي القطر. [1] في مثالنا R−2r=65/8−8=1/8، ثم R(R−2r)=(65/8)(1/8)=65/64. يطابق الناتج حساب الإحداثيات تمامًا.

الفرق R−2r صغير هنا، لكنه ليس طول القطعة OI. العلاقة تعطي OI²=R×(R−2r)، فتضرب الفرق في R ثم تأخذ جذرًا للحصول على المسافة. تقريبًا، الفرق 0.125 والمسافة 1.008. استبدال الصيغة بالقول OI=R−2r سيعطي نتيجة خاطئة.

الرسم الداخلي يكبر المنطقة حول المركزين حتى تظهر الإزاحتان. طوله الأفقي يمثل 1، والرأسي يمثل 1/8، بمقياس واحد للمحورين. إنه تكبير للموضع نفسه، ولا يحتوي على رسم الدائرتين؛ فلا تقارن حجمه المرئي بحجم الدائرة في الرسم الرئيسي.

استنتج المتباينة وحدد المساواة

مربع المسافة لا يمكن أن يكون سالبًا. ومن OI²=R(R−2r) ومع R موجب، يكون R−2r غير سالب، أي R≥2r. [1] القسمة هنا آمنة لأن الدائرة المحيطة بمثلث غير منعدم المساحة لها نصف قطر موجب.

تتحقق المساواة R=2r إذا وفقط إذا كان المثلث متساوي الأضلاع. [3] من الصيغة، المساواة تجعل OI² صفرًا، أي I=O. عندئذٍ مركز واحد يبعد r عن خطوط الأضلاع الثلاثة، وكل ضلع وتر في الدائرة ذات نصف القطر R.

لتفسير تساوي الأضلاع في هذه الحالة، ارسم عمودًا من المركز المشترك إلى أي وتر. يقسم العمود الوتر نصفين. نصف طول الوتر يحقق مربعًا R²−r²، لأن المثلث الصغير قائم ونصف قطر المحيطة وتره. المسافة r نفسها للأضلاع الثلاثة، فيكون لكل ضلع الطول نفسه 2√(R²−r²).

نختبر مثلثًا متساوي الأضلاع ضلعه 12: اختر A=(0,0)، B=(12,0)، C=(6,6√3). ارتفاعه 6√3، والمركز المشترك (6,2√3). المسافة إلى القاعدة 2√3، وإلى A تساوي√(36+12)=4√3. إذن r=2√3 و R=4√3، والمسافة بين المركزين صفر.

الدائرتان في حالة المساواة متحدتا المركز، لكن نصف قطر المحيطة ضعف نصف قطر الداخلية. فلا تتطابقان، ولا تتحول المتباينة إلى R=r. وفي مثال 13–14–15 نجد 65/8 أكبر من 8، فتكون المتباينة صارمة، رغم قرب الرقمين.

ما الذي يتغير عند تكبير المثلث؟

اضرب جميع إحداثيات مثالنا في 2، فتحصل على A=(0,0)، B=(28,0)، C=(10,24). الأطوال الجديدة 28 و 26 و 30، والارتفاع 24. تصبح المساحة 28×24/2=336، ونصف المحيط 42، فيكون r=336/42=8.

المركزان الجديدان I=(12,8) و O=(14,33/4). نصف قطر المحيطة 65/4، والفرق R−2r=1/4. الإزاحتان بين المركزين 2 و 1/4؛ لذلك OI²=4+1/16=65/16، والمسافة√65/4. تضاعف كل طول، وتضاعف الفرق أيضًا، وصار مربع المسافة أربعة أمثاله.

في أي تكبير بعامل موجب k، تتغير أنصاف الأقطار والمسافة بعامل k. يصبح حاصل الضرب R(R−2r) مضروبًا في k²، وكذلك OI²؛ فتظل الصيغة متسقة. أما النسبة R/r فلا تتغير؛ في مثالنا تساوي 65/32 قبل التكبير وبعده.

الجدول يقارن ثلاثة مثلثات مكتملة التعريف: مثالنا، وتكبيره بعامل 2، ومتساوي الأضلاع ذي الضلع 12. العمود OI² يعرض مربع المسافة، والعمود الأخير فرقًا بين أطوال. لا تجمعهما أو تقارنهما كأنهما يحملان الوحدة نفسها.

افحص المساحة والوحدات قبل الاستعمال

النقاط A=(0,0)، B=(14,0)، C=(5,0) على خط واحد. المساحة صفر، ولا توجد دائرة ذات نصف قطر منتهٍ تمر بهذه النقاط الثلاث المختلفة: العمود المنصف لـ AB يفرض x=7، والعمود المنصف لـ AC يفرض x=5/2، وهما مستقيمان متوازيان مختلفان.

لذلك لا تعالج هذا المثال بوضع r=0 واختيار R كيفما اتفق في صيغة أويلر. الصيغة التي ندرسها لمثلث غير منعدم المساحة، له دائرة داخلية موجبة ودائرة محيطة محددة. إذا كانت المدخلات أطوالًا، فتحقق أولًا من أن مجموع أي ضلعين أكبر من الثالث.

كذلك لا تقيس نصف قطر الداخلية من مركزها إلى رأس المثلث؛ في نموذجنا IA=√52، وهو مختلف عن 4. نصف القطر الداخلي ينتهي عند نقطة تماس على ضلع ويكون عموديًا عليه. أما نصف قطر المحيطة فيمتد من O إلى أي رأس، وطوله 65/8.

يمكن أن يقع مركز المحيطة خارج مثلث منفرج، لكن ذلك لا يجعل R سالبًا. المهم نصف القطر الموجب والمسافة بين المركزين، وليس افتراض وجود O داخل المثلث. لا تستنتج اتجاه القطعة OI من نصفي القطر وحدهما؛ الصيغة تعطي طولها فقط.

للفحص العملي، احسب r و R بوحدة طول واحدة، ثم احسب OI² من الإحداثيات إن كانت متاحة. قارن مربع المسافة مع R(R−2r). نتيجة سالبة على الطرف الثاني، مع مثلث صالح وقيم دقيقة، تكشف خطأً في البيانات أو حساب أحد نصفي القطر. لا تصلحها بتغيير إشارة المسافة.