متباينة كاراماتا: المجموع نفسه ومربعات مختلفة

الخلاصة السريعة

في المثال A تهيمن على B بمعنى المجاميع الجزئية: 6 أكبر من 5، و 10 أكبر من 9، ثم يتساوى المجموعان عند 12. للدالة التربيعية، ينخفض المجموع من 56 إلى 50، بفارق 6. تساوي المجموع وحده لا يكفي؛ سنختبر زوجًا آخر تتقاطع مقارناته الجزئية.

• للهيمنة المطلوبة، ترتب القائمتان تنازليًا، وتتساوى مجاميع العناصر، ولا يقل أي مجموع جزئي للأولى عن نظيره في الثانية. [1] نتحدث عن قائمتين منتهيتين لهما العدد نفسه من العناصر.
• إذا تحققت الهيمنة وكانت f محدبة على فترة تضم كل العناصر، تعطي كاراماتا مجموع قيم f للأولى أكبر من مجموعها للثانية أو مساويًا له. [1] في A و B، مجموعا المربعات 56 و 50.
• في المثال، نقل وحدة من 6 إلى 2 يخفض مجموع مربعيهما من 40 إلى 34. الهوية العامة لفارق المربعين قبل النقل وبعده 2δ(x−z−δ)، وهي 6 عند x=6 و z=2 وδ=1.
• الدالة −t² تعكس نتيجة المربعات إلى −56 و −50، بينما الدالة −t تعطي −12 للقائمتين. المساواة لدالة خطية لا تعني أن القائمتين متطابقتان.
• لـ C=(7,3,2) و D=(6,5,1)، المجموع 12 والمربعات 62 لكليهما، لكن 7 أكبر من 6 و 10 أصغر من 11؛ لا تهيمن أي منهما على الأخرى. تساوي المربعات لا يحل محل فحص المجاميع الجزئية.
• إسقاط تساوي المجموع قد يفشل حتى مع دالة خطية، ونقل حكم التحدب إلى مجال آخر قد يفشل أيضًا. على الأعداد السالبة، مثال التكعيب يعطي −288 مقابل −216، فلا نستعمل t³ كأنها محدبة على كل الأعداد الحقيقية.

افحص أول عنصر ثم أول عنصرين ثم المجموع

القائمتان A=(6,4,2) و B=(5,4,3) مرتبتان تنازليًا بالفعل. عند أول عنصر نحصل على 6 و 5. عند أول عنصرين نجمع 6+4=10 و 5+4=9. وعند الثلاثة نجد 12 و 12. الجدول يبين المواضع الثلاثة؛ علامة المساواة في السطر الأخير شرط في المقارنة.

نسمي هذه العلاقة هيمنة بالمجاميع الجزئية، وهي معنى majorization هنا. [1] لا تعني أن كل عنصر في الأولى أكبر من نظيره: آخر عنصر 2 أصغر من 3. ولا تعني أن كل قائمتين لهما مجموع 12 قابلتان للمقارنة بهذه العلاقة.

نحسب المربعات بعد ذلك: 6²+4²+2²=36+16+4=56، و 5²+4²+3²=25+16+9=50. الفارق 56−50=6. جميع القيم تعليمية مجردة، وليست قياسات أو مؤشرًا إحصائيًا مقدرًا من عينة.

نقل وحدة بين الطرفين يفسر الفارق

انتقل من الطرفين 6 و 2 إلى 5 و 3، وأبق العنصر الأوسط 4. قبل النقل، مجموع مربعي الطرفين 36+4=40؛ وبعده 25+9=34. إضافة مربع الوسط 16 تعطي 56 و 50، ولذلك يفسر النقل فرق 6 كله.

لعددين x و z مع x ≥ z، ننقلδ من الأكبر إلى الأصغر. نختار 0 ≤ δ ≤ (x−z)/2 حتى لا نتجاوز نقطة تساويهما. بالتوزيع، فرق مجموع المربعات قبل النقل وبعده يساوي 2δ(x−z−δ). هذا غير سالب في المجال المحدد؛ في x=6 و z=2 وδ=1 نحصل على 2×1×3=6.

لرؤية أثر النقل على أي دالة محدبة، نستعمل تعريفها: قيمة المزيج بوزنين غير سالبين مجموعهما 1 لا تتجاوز مزيج القيم بالوزنين نفسيهما. [1]

في نقلنا، 5=(3/4)×6+(1/4)×2 و 3=(1/4)×6+(3/4)×2. تطبيق التعريف يعطي f(5) ≤ (3/4)f(6)+(1/4)f(2)، و f(3) ≤ (1/4)f(6)+(3/4)f(2). بالجمع، f(5)+f(3) ≤ f(6)+f(2)، ثم نضيف f(4) للطرفين.

الحساب نفسه يعمل لنقل واحد عام عندما x أكبر من z: نضعλ=δ/(x−z)، فيكون x−δ=(1−λ)x+λz و z+δ=λx+(1−λ)z. مجالδ السابق يجعل الوزن صالحًا. أما x=z فلا يسمح إلا بـδ=0، ونفحصه مباشرة. هذه حجة مستقلة لعملية النقل، لا برهان على أن كل هيمنة تتحلل إلى هذه العملية من تلقاء نفسها.

لماذا اخترنا التربيع وما الذي يتغير بتغيير الدالة؟

نثبت تحدب التربيع بالتوزيع أيضًا. اختر 0 ≤ λ ≤ 1، وضع L=λu+(1−λ)v و S=λu²+(1−λ)v². نجد S−L²=λ(1−λ)(u−v)² ≥ 0. إذن مربع المزيج لا يتجاوز مزيج المربعين لأي u و v حقيقيين. وإذا اختلفا وكان الوزنان موجبين صار الفرق موجبًا.

للدالة −t² نضرب مقارنة المربعات في −1، فيصبح مجموع الأولى −56 أصغر من مجموع الثانية −50. أما −t فتعطي −12 في كل قائمة، لأن المجموعين الأصليين 12. تغير الدالة يغير المقارنة، فلا نستعمل عبارة «المتباينة تعطي الأكبر» دون تحديد الدالة.

الجدول يحسب مجموع الدالة للأولى ناقص مجموعها للثانية. الصفر في سطر −t ناتج عن خطية الدالة وتساوي المجموعين، وليس عن تساوي عناصر القائمتين. الرابط في آخر المقالة يفصل معنى التباين عن مجرد جمع المربعات.

المساواة تحتاج تحديد درجة التحدب

مع الهيمنة والتحدب الصارم، تنص ملاحظة المرجع على أن المساواة تستلزم تطابق القائمتين بعد الترتيب. [1] لا نطبق هذا الشرط على كل دالة محدبة بلا قيد الصرامة.

التربيع صارم كما كشفت هوية المزيج: إذا u مختلف عن v والوزنان موجبان، فإنλ(1−λ)(u−v)² موجب. في نقل 6 و 2، الوزنان 3/4 و 1/4، لذلك انخفض مجموع المربعات فعلًا. أما الدالة −t فتحقق مساواة المزيج دائمًا، فلا تكشف الفرق نفسه.

إعادة ترتيب العناصر وحدها تحفظ مجموع الدالة. القائمة (2,6,4) تعطي 2²+6²+4²=56 مثل A، وبعد ترتيبها تصبح A نفسها. لذا نتكلم عن التطابق بعد الترتيب، ولا نعامل تبديل المواضع على أنه انتشار جديد للقيم.

أكبر عنصر ومجموع متساو لا يكفيان

جرب C=(7,3,2) و D=(6,5,1). كل قائمة مجموعها 12. الأول 7 أكبر من 6، لكن أول عنصرين 10 أصغر من 11. يفشل اتجاه هيمنة C في المقارنة الثانية، ويفشل الاتجاه العكسي من المقارنة الأولى. كما أن مجموع المربعات 49+9+4=62 يساوي 36+25+1=62، دون أن يجعل ذلك القائمتين متطابقتين أو قابلتين للهيمنة.

يمكن كشف الاتجاهين بدالتين مختلفتين. ضع h(t)=max(t−3,0): مجموع قيمها على C هو 4، وعلى D هو 5. وبدل العتبة 3 بـ 6، ضع g(t)=max(t−6,0): المجموعان 1 و 0. تتبدل جهة المقارنة رغم تساوي المجموع الأصلي.

هاتان الدالتان محدبتان، ونراجع ذلك لأي عتبة c. إذا m=λu+(1−λ)v، فالمزيج الوزني لقيم max(u−c,0) و max(v−c,0) غير سالب، ولا يقل عن m−c؛ لذلك لا يقل عن max(m−c,0). هذا يثبت شرط التحدب بأوزان المجال السابق. لا يكفي فحص دالة واحدة للحكم على كل الدوال المحدبة.

لا تسقط تساوي المجموع ولا مجال التحدب

أبق A=(6,4,2) وقارنها بـ (5,3,1). المجاميع الجزئية للأولى أكبر كلها، لكن المجموعين 12 و 9 مختلفان. الدالة f(t)=−t محدبة لأنها تحقق مساواة المزيج؛ مجموع قيمها −12 للأولى و −9 للثانية. لا تتحقق المقارنة المطلوبة للأولى الأكبر هنا. هذا مثال مستقل على ضرورة شرط المجموع في الهيمنة المستخدمة.

أما في A=(−2,−4,−6) و B=(−3,−4,−5)، فالترتيب تنازلي، والمجموعان −12. أول عنصرين −6 أكبر من −7، والأول −2 أكبر من −3؛ فتتحقق الهيمنة. لكن مجموع المكعبات −288 أصغر من −216. السبب أن التكعيب ليس محدبًا على هذا المجال.

نختبر التعريف عند الطرفين −6 و −2 والوزنين 1/2 و 1/2. المتوسط −4، ومكعبه −64، بينما متوسط مكعبي الطرفين −112. شرط التحدب يحتاج الأول ألا يتجاوز الثاني، لكنه أكبر منه. إذن لا ننقل حكمًا عن الدالة إلى مجال لم نفحصه.

ابدأ بترتيب القائمتين، ثم افحص المجاميع الجزئية والمجموع الكلي، وبعد ذلك حدد الدالة وفترة تحدبها. لحكم المساواة، راجع الصرامة أيضًا. نقل الوحدة أثبت المثال مباشرة، والمرجع يثبت النتيجة العامة؛ لم نستعمل برهان قسمة فروق الدوال عند عناصر متساوية.