معادلة ليابونوف: كيف نثبت استقرار نظام خطي؟

احسب المصفوفة المجهولة

نستخدم x متجهًا عموديًا حقيقيًا وA ثابتة. النقطة فوق x تعني مشتقته الزمنية، وT تعني المنقول. نختار Q=I₂، أي مصفوفة الوحدة، ونبحث عن P.

موجب التعريف يعني xᵀPx>0 لكل x≠0. في النظام الخطي، المعادلة AᵀP+PA=−Q تجعل مشتقة V=xᵀPx مساوية لـ−xᵀQx. [1]

اختر A=[[−1,4],[0,−2]]، فتكون معادلات الحركة ẋ₁=−x₁+4x₂ وẋ₂=−2x₂. المصفوفة ليست متناظرة؛ لهذا لن نستبدل A بمنقولها دون حساب.

اكتب المجهول العام P=[[p,q],[r,s]] أولًا. حاصل AᵀP+PA هو[[−2p,4p−3q],[4p−3r,4q+4r−4s]]. مع Q=I₂ نساويه بالمصفوفة[[−1,0],[0,−1]].

الأولى تثبت p=1/2. الثانية تعطي q=2/3، والثالثة r=2/3. والأخيرة تصبح16/3−4s=−1، فتثبت s=19/12. هكذا حُددت العناصر الأربعة كلها، والحل الوحيد متناظر بالفعل.

بالتعويض: AᵀP=[[-1/2,−2/3],[2/3,−1/2]] وPA=[[-1/2,2/3],[−2/3,−1/2]]. جمعهما−I₂، فلا نعتمد على شكل P وحده.

أثبت الإيجابية وتناقص المقياس

من عناصر P نحصل على V=(1/2)x₁²+(4/3)x₁x₂+(19/12)x₂². الحد المختلط لا يجعل الإيجابية ظاهرة؛ نكمل المربع بدل الحكم من إشارات العناصر.

نعيد الكتابة V=(1/2)(x₁+(4/3)x₂)²+(25/36)x₂². معاملَا المربعين موجبان. إذا كانت V=0، يلزم x₂=0 ثم x₁=0؛ إذن V موجبة لكل متجه غير صفري.

للتأكيد العددي الجبري، محدد P=(1/2)(19/12)−(2/3)²=25/72، والعنصر p=1/2 موجب. إثبات المربعين السابق يوضح الإيجابية لكل الحالات، لا لعينة نقاط فقط.

اشتق التعبير على مسار المثال: V̇=x₁ẋ₁+(4/3)(ẋ₁x₂+x₁ẋ₂)+(19/6)x₂ẋ₂. أدخل ẋ₁=−x₁+4x₂ وẋ₂=−2x₂؛ تلغى الحدود المختلطة وتبقى−x₁²−x₂².

اجتماع إيجابية P مع هذه المشتقة يثبت الاستقرار الأسي العالمي للأصل في نظامنا الخطي الثابت. [1] تعني العالمية شمول كل حالة ابتدائية؛ لا تعني الوصول إلى الصفر في زمن منتهٍ.

V مقياس رياضي للحالة، ولا نفترض أنه طاقة فيزيائية بوحدات معينة. قيمته تبدأ من الصفر عند الأصل وتكون موجبة خارجه، ثم تقل أثناء الحركة.

ميز شهادة الاستقرار من مجرد حل

لو اخترنا المقياس المعتاد W=xᵀx=x₁²+x₂²، لكانت مشتقته في المثال Ẇ=−2x₁²+8x₁x₂−4x₂². عند x=(1,1) تعطي2، وهي موجبة.

في الحالة نفسها V=41/12 وV̇=−2. إذن قد يزيد الطول الإقليدي للحالة مؤقتًا مع أن مقياس V يتناقص. لا نخلط بين تقارب الحالة على المدى الطويل وتناقص كل مقياس محتمل في كل لحظة.

لرؤية الفرق بين الحل الوحيد والاستقرار، استبدل A بـD=diag(1,2)، مع Q=I₂. للخانات معاملات2 و3 و3 و4؛ فتكون P_D=diag(−1/2,−1/4) الحل الوحيد.

كل قيمة xᵀP_Dx خارج الأصل سالبة؛ فلا تصلح P_D للشهادة الموجبة التي نبحث عنها. مثلًا الحالة الابتدائية(1,0) تعطي x(t)=(eᵗ,0)، وهي تبتعد عن الأصل.

بل مشتقة هذا المقياس السالب هي−x₁²−x₂² أيضًا. تناقص قيمة سالبة نحو مزيد من السلبية لا يعني اقتراب الحالة من الصفر؛ شرط الإيجابية هو ما يمنع هذا الاستنتاج الخاطئ.

ثبت اتجاه المنقول ونطاق الحكم

دالة lyap(A,Q) في توثيق MathWorks تحل AX+XAᵀ+Q=0. [2] لذلك لصيغة AᵀP+PA+Q=0 هنا، يكون المدخل الأول Aᵀ: نكتب lyap(Aᵀ,Q).

هذه ترجمة للصيغة الموثقة، وليست ادعاءً بتشغيل MATLAB. إذا أدخلنا A بدل منقولها، فإن معادلة المخرج تختلف، حتى لو بقيت الأبعاد صحيحة.

باستخدام P التي حسبناها، الباقي الخاطئ AP+PAᵀ+I₂ يساوي[[16/3,13/3],[13/3,−16/3]]، فلا يساوي الصفر. أما الباقي الصحيح AᵀP+PA+I₂ فصفري.

كل الحسابات والحكم هنا لنظام حقيقي مستمر الزمن، خطي، ذو A ثابتة، دون مدخل خارجي. لا ننقل الشهادة تلقائيًا إلى معادلة متقطعة أو نموذج غير خطي أو مصفوفة تتغير مع الزمن.

عند استعمال معادلة ليابونوف عمليًا في مثال آخر، ثبت الصيغة، ثم احسب الباقي، وافحص تناظر P وإيجابيتها ومشتقة المقياس. وجود مصفوفة مخرجة من حساب لا يغني عن هذه الشروط.