منحنى أغنيزي: أي إحداثي نأخذه من الدائرة والمماس؟

الخلاصة السريعة

نأخذ الإحداثي الأفقي من نقطة المماس N، والرأسي من تقاطع الدائرة M المختلف عن الأصل؛ في مثال نصف القطر2 نحصل على y=64/(x²+16).

• الدائرة مركزها C=(0,2) ونصف قطرها2، والمماس العلوي y=4. خط من O=(0,0) يلتقي المماس عند N والدائرة مرة ثانية عند M؛ النقطة الناتجة P=(Nx,My). [2]
• اكتب N=(s,4) وM=kN. شرط الدائرة يعطي k=16/(s²+16) بعد استبعاد k=0، فتكون P=(s,64/(s²+16)). نصف القطر2 والقطر4 ليسا معاملًا واحدًا.
• عند N=(6,4)، يكون M=(24/13,16/13) وP=(6,16/13). تحقق M الدائرة والخط، وتحقق P العلاقة y(x²+16)=64 بالضبط.
• التبديل يعطي W=(24/13,4)، بفارق2304/169 في العلاقة بدل صفر. واختيار M=O يجعل النقاط على y=0، وهو اختيار التقاطع الخطأ لا المنحنى.
• لكل x حقيقي، 0＜y≤4. القمة T=(0,4)، والنقطتان (±4,2) في نصف ارتفاعها. محور x مقارب لا يبلغه المنحنى؛ الرسم يعرض جزءًا محدودًا وبمقياس موحد.
• المساحة الكاملة تحت المنحنى16π وحدة مربعة، أي أربعة أمثال مساحة الدائرة4π. وبين x=−4 وx=4، المساحة8π؛ هذا نصف المساحة الكاملة، وليس كل ما يظهر في صورة محدودة.

حدد نقطتي الإحداثيين قبل تركيب P

نثبت دائرة معادلتها x²+(y−2)²=4؛ مركزها C=(0,2) ونصف قطرها2. تمر بالأصل O=(0,0) وبالنقطة العليا T=(0,4). المستقيم y=4 مماس عند T، لأنه يلتقي الدائرة هناك وحدها.

ارسم خطًا من O يلتقي المماس العلوي عند N، ويقطع الدائرة عند نقطة أخرى M. نقطة منحنى أغنيزي تأخذ الإحداثي الأفقي من N والرأسي من M. [2] نكتب ذلك P=(Nx,My).

الخط الأفقي من M والخط الرأسي من N يلتقيان عند P. قد تكون P خارج الدائرة؛ الدائرة أداة للبناء وليست مسار P. لا يلزم أن تكون O وP وN على خط واحد.

نرمز للنقطة المتحركة على المماس بـN=(s,4)، حيث s عدد حقيقي. اختيار s يحدد الخط ON ثم M ثم P. عند s=0 يكون الخط رأسيًا، ويكون M=N=P=T؛ هذا وضع صالح.

في هذا المقال نثبت نصف القطر عند2 ونستعمل وحدة واحدة للإحداثيات والأطوال. الرموز C وM وN وP لها أدوار ثابتة؛ تغيير الحروف في رسم آخر لا يغير قاعدة اختيار الإحداثيين.

استخرج المعادلة ولا تخلط نصف القطر بالقطر

لأن M على خط ON، نكتب M=kN=(ks,4k). نعوض في معادلة الدائرة: k²s²+(4k−2)²=4. وبعد النشر والتجميع نحصل على k[k(s²+16)−16]=0.

الحل k=0 يعيد M=O، وهو التقاطع الموجود أصلًا. نريد التقاطع الآخر، لذلك k=16/(s²+16). المقام موجب لأي s حقيقي؛ نحصل دائمًا على نقطة ثانية غير O.

إحداثي M الرأسي هو4k=64/(s²+16)، بينما الإحداثي الأفقي الذي نأخذه من N هو s. إذن P=(s,64/(s²+16))، ومعادلة المسار y=64/(x²+16)، أو y(x²+16)=64.

وبالعكس، خذ أي x حقيقي، ثم ضع N=(x,4) واختر k=16/(x²+16). النقطة M=kN تحقق الدائرة وتختلف عن O، وتركيب الإحداثيين يعطي نقطة المنحنى نفسها. هذا يثبت أن البناء يغطي جميع قيم x، لا مجرد المثال المرسوم.

تستعمل صيغة مرجعية نصف القطر a: y=8a³/(x²+4a²). [1] عند a=2 نحصل على64/(x²+16). أما صيغة أخرى فتستعمل قطرًا نرمز له هنا D، فتكتب y(x²+D²)=D³؛ نضع D=4 لا2. [2]

الاختلاف بين الصيغتين ناتج عن معنى المعامل. للدائرة نفسها D=2a. استبدال الحرف فقط مع تجاهل تعريفه قد يخفض الارتفاع أو يغير الدائرة التي بدأت منها. راجع المركز ونصف القطر والمماس قبل مقارنة المعادلات.

موضع كسري يتحقق بثلاثة اختبارات

اختر N=(6,4). نجد k=16/(36+16)=4/13. لذلك M=(24/13,16/13)، وتكون P=(6,16/13). الإحداثي الأفقي6 لا يأتي من M؛ إنه مأخوذ من N على المماس.

أولًا نختبر الدائرة: (24/13)²+(16/13−2)²=576/169+100/169=4. تبعد M عن C مسافة2، فهي على الدائرة المطلوبة.

ثانيًا نختبر الخط ON: العلاقة 4Mx=6My تتحقق لأن96/13=96/13. النسبة M=(4/13)N موجبة؛ النقطة M على القطعة من O إلى N في هذا الوضع.

ثالثًا نختبر نقطة المنحنى: (16/13)(6²+16)=64. هذا لا يعني أن P على الدائرة؛ بالتعويض في معادلة الدائرة تكون القيمة6184/169، أكبر من4، فتقع خارجها.

الجدول يفصل النقاط والأدوار. المركز C ثابت، وN على المماس، وM على الدائرة، وP على المسار الناتج. القمة T نقطة مشتركة في وضع خاص، وليست سببًا لجعل كل نقطة من المسار نقطة دائرة.

التبديل أو اختيار الأصل يعطي بناء آخر

إذا أخذت الأفقي من M والرأسي من N، حصلت على W=(24/13,4). ارتفاعها4 مثل نقطة المماس، لكن إحداثيها الأفقي غير صفري؛ لا تقع على قمة المنحنى الصحيحة.

لتكن F(x,y)=y(x²+16)−64. في P نحصل على صفر. في W نحصل على F(24/13,4)=2304/169؛ العدد موجب، ويكشف أن التبديل لم ينتج نقطة من المسار نفسه.

هذا الخطأ يقنع العين قرب القمة، حيث قد تتقارب الخطوط. الحل هو ربط الإحداثي بمصدره: خط رأسي من N يثبت x، وخط أفقي من M يثبت y. تغيير المصدرين يغير القاعدة نفسها.

يوجد خطأ آخر: الخط من O يقطع الدائرة عند O دائمًا. لو اخترت هذه النقطة بدل التقاطع الآخر، صار My=0 وحصلت على P=(s,0). هذه نقاط محور x، ولا تحقق y(x²+16)=64.

في الوضع s=0 يلتقي التقاطع الثاني بالمماس عند T=(0,4)، لكنه لا يساوي O. الاستبعاد يخص k=0، لا يخص الخط الرأسي. لا تحذف القمة بحجة أن هناك تقاطعًا عند الأصل.

قمة ونصف ارتفاع ومقارب لا يبلغه المنحنى

المقام x²+16 لا يقل عن16. لذلك تكون y موجبة ولا تزيد على4. عند x=0 تبلغ القيمة4، وعند أي x غير صفري تنخفض عنها؛ القمة الوحيدة هي T=(0,4).

تربيع x يجعل y(−x)=y(x). المسار متناظر حول المحور الرأسي، لكنه لا يحيط بمنطقة مغلقة مثل الدائرة. نتحدث عن المنطقة الواقعة تحته وفوق المحور الأفقي.

لنصف ارتفاع القمة نضع y=2. تصبح2(x²+16)=64، ومن ثم x²=16، أي x=±4. العرض الأفقي بين نقطتي نصف الارتفاع8، وهو ليس قطر الدائرة4.

كلما زادت |x|، ازداد المقام، واقتربت y من صفر. لكنها لا تساوي صفرًا عند أي x حقيقي محدود؛ البسط64 ثابت وموجب. لذلك يكون y=0 مقاربًا، وليس خط نقاط ينتمي إلى المنحنى.

الرسوم تعرض جزءًا من المسار، وتترك بعض امتداده خارج الإطار. لا نستنتج نهايات حقيقية من حدود الصورة. المقياس موحد في الاتجاهين، والصور مخططات أصلية محسوبة لا تسجيل تجربة فعلية.

مساحة نهائية رغم الامتداد إلى الجهتين

للمساحة تحت هذا المنحنى نكامل الدالة الموجبة. دالة أصلية هي G(x)=16arctan(x/4)، لأن G′(x)=64/(x²+16). الزاوية في arctan بالراديان، كي تصح هذه المشتقة.

عندما يتجه x إلى موجب اللانهاية، تتجه arctan(x/4) إلىπ/2، فتتجه G إلى8π. وعند سالب اللانهاية تتجه G إلى−8π. فرق الحدين16π، وهو المساحة الكاملة فوق المحور الأفقي.

توافق المساحة النتيجة المرجعية4πa² لنصف القطر a. [1] في دائرة مثالنا a=2، فتكون16π، بينما مساحة الدائرة π×2²=4π. منطقة المنحنى أكبر بأربعة أمثال؛ لا نقيس هذه النسبة بعدّ بكسلات الصورة.

بين x=−4 وx=4، نعوض arctan(1)=π/4 وarctan(−1)=−π/4. المساحة8π، أي نصف16π. يقع الطرفان عند نصف ارتفاع القمة، لكن إثبات نصف المساحة جاء من التكامل.

في الصورة الداخلية يلون الجزء بين−4 و4، وتظهر أجزاء من الذيلين فقط. المساحة الكاملة16π تشمل الامتداد خارج الإطار أيضًا. أما المساحة الملونة المركزية8π فحداها موضحان بدقة.

إذا كانت الإحداثيات بالسنتيمتر، فالقيم16π و8π و4π بالسنتيمتر المربع. انتهاء مساحة منطقة غير محدودة الطول نتيجة حسابية هنا؛ لا يعني أن المنحنى ينتهي، ولا أن كل دالة ممتدة تملك مساحة نهائية.