إنشاء عدد تام: افحص2^p−1 قبل ضربه

ماذا نجمع في العدد التام؟

العدد التام يساوي مجموع قواسمه الموجبة الأصغر منه. العدد نفسه مستبعد من هذا المجموع. [2]

للعدد28 أزواج العوامل1×28 و2×14 و4×7. القواسم الموجبة كاملة1،2،4،7،14،28؛ نحذف28 ونجمع1+2+4+7+14=28.

العوامل الأولية للعدد28 هي2 و7، ومجموعهما9 لا28. لذلك فحص التمام يحتاج القواسم، لا مجرد التحليل2²×7. إدخال العدد نفسه يعطينا28+28=56 بدل المجموع المطلوب.

للعدد6 القواسم الأصغر منه1،2،3، ومجموعها6. أما1 فليس له قاسم موجب أصغر منه؛ مجموع القائمة الفارغة0، وهو لا يساوي1. هذه الحسابات توضح الفرق بين1 كقاسم وبين1 كعدد نختبره.

افحصM ثم احسبN

خذ عددًا صحيحًا p≥2. إذا كان M=2^p−1 أوليًا، فإن N=2^(p−1)M تام. [1]

للأسس2،3،5: M=3،7،31 أولية، وN=2×3=6،4×7=28،16×31=496. [1]

نراجع31 بالقواسم الأولية2،3،5، لأنها جميع الأوليات دون√31، الواقع بين5 و6. البواقي1،1،1، لذلك31 أولي. ونراجع7 بالقاسم2 وحده، و3 ليس له قاسم محتمل بين2 وجذره.

للعدد496، قواسمه الأصغر منه1،2،4،8،16،31،62،124،248. مجموع قوى2 هو31، ومجموع الباقي31+62+124+248=465؛ المجموع31+465=496.

عائلتان من القواسم

إذا كانM أوليًا، فقواسمN الأصغر منه:2^j حيث0≤j≤p−1، وM×2^j حيث0≤j≤p−2؛ لا عوامل إضافية. [1][3]

في مثال28=4×7، العائلة الأولى1،2،4، والعائلة الثانية7،14. لا نضم28=7×4 لأنه العدد نفسه. العائلتان لا تتداخلان في هذا المثال: الأولى قوى2، والثانية مضاعفات7.

حساب المجموع هنا مباشر:1+2+4=7، و7+14=21؛ المجموع28. العدد7 هو أيضًا1+2+4=2³−1. جمع القواسم في صفين يوضح لماذا نحتاج العدد7 الأولي، بدل أن يكون التفكيك إلى قواسم ناقصًا.

إذا كان S=1+2+…+2^(p−1)، فإن2S−S=2^p−1 بإلغاء الحدود الوسطى؛ المساواة لا تثبت أوليةS.

الأس الأولي وحده لا يكفي

الأس11 أولي، لكن2^11−1=2047=23×89 مركب؛ لذلك أولية الأس لا تكفي للشرط. [1]

لو عوّضنا دون فحص، حصلنا على N=1024×2047=2096128. تحليله2^10×23×89 يتيح أربع مجموعات من القواسم:2^j و23×2^j و89×2^j و2047×2^j، مع j من0 إلى10.

هذه44 قيمة مختلفة تشملN، فيبقى43 قاسمًا موجبًا أصغر منه. مجموع القواسم كلها=(1+2+…+1024)(1+23)(1+89)=2047×24×90=4421520. بعد حذفN يصبح المجموع4421520−2096128=2325392، وهو أكبر منN بمقدار229264.

نراجع العددين23 و89 للتأكد من التحليل:23 لا يقبل القسمة على2 أو3؛ و89 لا يقبل القسمة على2،3،5،7. هذه قوائم الفحص الكاملة تحت الجذر في كل حالة. إذن التحليل إلى2 و23 و89 كافٍ لتوليد القواسم دون عامل أولي مفقود.

ومثال أصغر للفشل: p=4 يعطي M=15=3×5 وN=8×15=120. قواسم120 الأصغر منه1،2،3،4،5،6،8،10،12،15،20،24،30،40،60، ومجموعها240.

راجع اكتمال القواسم وعدم تكرارها، واستبعدN؛ للعدد التام مجموع القواسم كلها2N.