المركز الجذري لثلاث دوائر: التقاء المحاور لا يعني تقاطع الدوائر

الخلاصة السريعة

المركز الجذري لثلاث دوائر ذات مراكز غير واقعة على مستقيم واحد هو النقطة الوحيدة التي تتساوى قوتها بالنسبة إلى الدوائر الثلاث؛ عندها تلتقي المحاور الجذرية للأزواج. [1] في مثالنا P=(5,3) والقوة المشتركة 9، ولذلك تقع خارج الدوائر جميعًا.

• قوة P بالنسبة إلى دائرة مركزها O ونصف قطرها r هي PO²−r². [2] الإشارة موجبة خارج الدائرة، وصفر على حدها، وسالبة داخلها. تساوي القوة لا يتطلب تساوي المسافة إلى المراكز.
• للدوائر A بنصف قطر 5، و B بنصف قطر 3، و C بنصف قطر 5، المحاور هي x=5 و y=3 و 4x−3y=11. تقاطع الأولين P=(5,3) يحقق الثالث، والقوى 34−25 و 18−9 و 34−25 تساوي 9.
• إذا تساوت قوتا P بالنسبة إلى الأولى والثانية، وإلى الأولى والثالثة، تساوتا بالنسبة إلى الثانية والثالثة. عدم استقامة المراكز يضمن أن المحورين الأولين يتقاطعان في نقطة واحدة.
• في المثال P خارج الجميع، ولا توجد نقطة مشتركة على الدوائر الثلاث. مع المراكز نفسها وأنصاف أقطار 5 و 5 و 5 تصبح النقطة (4,3) على الجميع؛ ومع 6 و 6 و 6 تقع (4,3) داخل الجميع وقوتها −11.
• عند المراكز (0,0) و (2,0) و (4,0) وأنصاف أقطار 3 و 3 و 3، المحاور x=1 و x=2 و x=3 متوازية ولا نقطة مشتركة. وإذا صارت مربعات الأنصاف 9 و 13 و 25 تطابقت المحاور في x=0، فلا نقطة وحيدة.
• التكبير بعامل 2 يرسل P إلى (10,6) ويغير القوة من 9 إلى 36. اتحاد مركزَي دائرتين مختلفتي نصف القطر يمنع تساوي القوة، بينما تكرار الدائرة نفسها لا يضيف شرطًا جديدًا.

القوة التي نساويها ليست مسافة

لدائرة مركزها O ونصف قطرها r الموجب، نكتب قوة النقطة P بالصيغة PO²−r². [2] هذه قيمة بوحدة طول مربعة؛ لا تعني قوة فيزيائية تدفع جسمًا. قد تكون سالبة، بخلاف طول القطعة PO.

من مقارنة PO مع r نعرف الإشارة مباشرة: إذا PO أكبر من r كانت القوة موجبة، وإذا تساويا كانت صفرًا، وإذا PO أصغر من r كانت سالبة. لا نستخرج جذرًا للقوة السالبة على أنه طول حقيقي.

المحور الجذري لدائرتين مختلفتي المركز يجمع نقاط القوة المتساوية بالنسبة إليهما، وهو مستقيم عمودي على خط المركزين. [3] المركز الجذري يضيف دائرة ثالثة وشرط مساواة ثالثًا. لا نبحث هنا عن مساحة تداخل الأقراص أو طول وتر مشترك.

ثلاث معادلات ومحوران يكفيان للحساب

نأخذ دوائر مراكزها A=(0,0) و B=(8,0) و C=(0,6)، وأنصاف أقطارها 5 و 3 و 5. عند نقطة عامة (x,y)، القوى هي u=x²+y²−25، و v=(x−8)²+y²−9، و w=x²+(y−6)²−25.

من u=v نحصل على 16x=80، أي x=5. ومن u=w نحصل على 12y=36، أي y=3. لذلك تقاطع المحورين هو P=(5,3). لاحظ أن x=5 لا يمر بمنتصف AB ذي الإحداثي 4؛ اختلاف نصفَي القطر يغير موضع محور القوة.

المحور الثالث يأتي من v=w: 16x−12y=44، أي 4x−3y=11. التعويض في P يعطي 4×5−3×3=11. في الجدول نحسب مربع البعد أولًا ثم نطرح مربع نصف القطر؛ النتائج 9 كلها، رغم اختلاف مربعي البعدين 34 و 18.

لماذا يمر المحور الثالث بالنقطة نفسها؟

إذا u(P)=v(P) و u(P)=w(P)، فإن v(P)=w(P). هذه خاصية انتقالية للمساواة، وتفسر مرور المحور الثالث بتقاطع الأولين. لا تحتاج إلى افتراض أن الدوائر نفسها تتقاطع في P.

يبقى إثبات وجود التقاطع الوحيد. المحوران للأزواج AB و AC عموديان على AB و AC على الترتيب. [3] عندما A و B و C لا تقع على مستقيم واحد، لا يكون AB موازيًا AC، ومن ثم لا يكون المحوران متوازيين؛ فيتقاطعان في نقطة واحدة.

يمكن أيضًا كتابة القوة بالنسبة إلى المركز Oᵢ بالصورة|X−Oᵢ|²−rᵢ². عند مساواة قوتين تختفي حدود|X|²، وتبقى معادلة خطية. اختلاف اتجاهَي O₂−O₁ و O₃−O₁ يجعل معادلتي المحورين مستقلتين، فيحدد الحل الوحيد المركز الجذري.

لهذا نذكر شرط المراكز غير المستقيمة عند استعمال نظرية التلاقي في المستوى المعتاد. [1] لا نعمم عبارة «تلتقي دائمًا» على خطوط متوازية، ولا نعد نقطة عند اللانهاية نقطة بإحداثيين حقيقيين في هذا المقال.

هل المركز الجذري على الدوائر؟

في مثالنا القوة المشتركة 9 موجبة؛ إذن P خارج الدوائر الثلاث. يمكن رسم مماس من P إلى كل دائرة، وطول قطعة كل مماس 3 لأن مربع طولها يساوي القوة 9. [2] تساوي هذه الأطوال لا يجعل P نقطة تماس مشتركة.

الدائرتان A و B تتماسان خارجيًا عند (5,0)، لأن بعد المركزين 8 يساوي 5+3. لكن هذه النقطة تبعد√61 عن C، وليست على دائرة C ذات نصف القطر 5. وأي نقطة مشتركة للدوائر الثلاث كانت ستعطي قوة صفرًا وتكون المركز الجذري الوحيد؛ قوة P تساوي 9، وهذا يمنع ذلك.

نغير أنصاف الأقطار فقط، ونبقي المراكز. إذا أصبحت جميعها 5، يتلاقى المحوران x=4 و y=3 في (4,3)، ومربع بعدها إلى كل مركز 25؛ القوة 0. وإذا أصبحت جميعها 6، بقيت النقطة نفسها ومربع البعد 25، لكن القوة 25−36=−11؛ فتقع داخل الدوائر جميعًا.

عند المركز الجذري، تساوي القوى يفرض حالة واحدة مشتركة: خارج الجميع أو على الجميع أو داخل الجميع. الجدول يلخص التجارب الثلاث، بترتيب الأنصاف A ثم B ثم C.

مراكز مستقيمة: لا حل أو خط كامل

لنأخذ المراكز (0,0) و (2,0) و (4,0)، وأنصاف الأقطار 3 جميعًا. تساوي القوى للأزواج يعطي x=1 و x=2 و x=3. الخطوط متوازية ومختلفة، فلا نقطة في المستوى تقع عليها جميعًا.

نحتفظ بالمراكز ونختار مربعات أنصاف الأقطار 9 و 13 و 25، أي الأنصاف 3 و√13 و 5. تصبح القوى u=x²+y²−9، و v=x²+y²−4x−9، و w=x²+y²−8x−9. كل مساواة بين زوجين تعطي x=0.

الآن تتساوى القوى عند كل (0,y)، وتساوي y²−9. توجد نقاط كثيرة ذات قوة متساوية، وليس مركز جذري وحيد. عند (0,3) و (0,−3) تكون القوة صفرًا، فتقع النقطتان على الدوائر الثلاث؛ بينما (0,4) قوتها 7 موجبة.

إذا اتحد مركز دائرتين واختلف نصفا قطريهما، فإن فرق القوتين ثابت غير صفري، فلا يتساويان في أي نقطة. وإذا تطابقت الدائرتان، فمساواة قوتيهما صحيحة في كل المستوى؛ تكرارهما لا يضيف قيدًا. يجب فحص هذه الحالات قبل حل نظام معادلات يفترض محاور مستقلة.

كيف تتغير القوة عند التكبير؟

نضرب إحداثيات المثال وأنصاف أقطاره في 2. تصبح المراكز (0,0) و (16,0) و (0,12)، والأنصاف 10 و 6 و 10، والمركز الجذري (10,6). مربع البعد إلى A و C هو 136، وإلى B هو 72؛ القوى 136−100 و 72−36 و 136−100 تساوي 36.

تضاعف الطول يجعل مربعه أربعة أمثال قيمته، ولذلك القوة الجديدة 4×9=36. إذا كان معامل التكبير s موجبًا، فالقوة تتحول إلى s² من قيمتها السابقة، ويظل تساوي القوى محفوظًا.

للحساب العملي، اكتب القوى الثلاث في نظام إحداثيات واحد ووحدة طول واحدة، وساوِ الأولى بالثانية ثم بالثالثة، وافحص استقلال الخطين. بعد استخراج النقطة تحقق من القوى الثلاث ومن إشارتها؛ لا تستنتج تقاطع الدوائر من مجرد تلاقي محاورها.