المشي العشوائي والانتشار: متوسط الإزاحة صفر والتوزيع يتسع

المشي العشوائي والانتشار: ميّز متوسط الإزاحة من تشتتها. [2]

الخلاصة السريعة

تتعادل الإزاحات الموجبة والسالبة في المتوسط الاحتمالي، بينما ينمو جذر متوسط مربعها مع جذر الزمن. [2]

• نموذج تعليمي على خط بلا حدود: نبدأ عند x=0، ونتحرك كل مدة τ>0 خطوة طولها ℓ>0 يمينًا أو يسارًا، باحتمال 1/2 لكل منهما. الخطوات مستقلة، ولا انحياز لاتجاه؛ القيم ثابتة، والزمن t=Nτ لعدد صحيح N من الخطوات. [1]
• x إزاحة موقّعة من البداية، واليمين موجب. الرمز ⟨ ⟩ يعني متوسطًا مرجحًا بالاحتمالات. ⟨x⟩=0 لا يعني بقاء كل جسيم عند البداية. نعرّف σ=√⟨x²⟩؛ هنا يساوي الانحراف المعياري لأن المتوسط صفر. المتوسط المقدّر من عينة محدودة قد لا يساوي صفرًا تمامًا. [2]
• مربع الإزاحة يتراكم إحصائيًا: ⟨x²⟩=Nℓ². بتعريف D=ℓ²/(2τ) نحصل على ⟨x²⟩=2Dt وσ=√(2Dt). D معامل انتشار، بوحدة طول²/زمن؛ العامل 2 هنا لبُعد واحد، ولا نستبدل x بالمسافة الشعاعية الكاملة في ثلاثة أبعاد. [1]
• مثال مفترض ℓ=1µm وτ=0.50s، فيكون D=1µm²/s. عند t=8s: N=16 وσ=4µm؛ وعند t=32s: N=64 وσ=8µm. µm ميكرومتر وs ثانية. هذه نتائج النموذج وليست قياسات لغاز معين. [1]
• الزمن صار أربعة أمثاله، ومربع الإزاحة المتوسط صار أربعة أمثاله: 16µm² ثم 64µm²؛ أما σ فتضاعف فقط. في الحالتين ⟨x⟩=0؛ اتساع توزيع النهايات يختلف عن حركة مركزه باتجاه واحد. [1]
• طول المسار في النموذج Nℓ: 16µm ثم 64µm؛ لا يساوي σ الذي هو 4µm ثم 8µm. σ مقياس إحصائي، وليس موضع كل جسيم أو حدًا يمنع تجاوزه. ولا تمثل σ/t سرعة جسيم ثابتة؛ قد يرجع الجسيم نحو البداية خلال مساره. [2]

المراجع

1. المشي العشوائي في بُعد واحد
2. المتوسط والتشتت والخطوات

الانتشار والتناضح

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.