المضلعات: تعريفها وأنواعها وزواياها مع أمثلة محلولة

كيف تتأكد أن الشكل مضلع؟

افحص الحدود قبل عدّ الأضلاع: يجب أن تكون مستقيمة وأن تغلق الشكل. الدائرة ليست مضلعًا لأن حدّها منحني. والخط المكسّر المفتوح لا يصبح مضلعًا لمجرد أن قطعه مستقيمة. أما لفظ «بسيط» فيستبعد تقاطع الأضلاع غير المتجاورة. [1]

جرّب رسم ثلاث قطع متصلة ثم اترك فراغًا بين آخر قطعة وأول قطعة. لديك الآن مسار مفتوح، لا منطقة محاطة بالكامل. أغلق الفراغ بقطعة رابعة، وتابع المسار من نقطة البداية حتى تعود إليها. بهذا الفحص تستطيع تفسير إجابتك بدل الاكتفاء بقول إن الرسم يشبه شكلًا محفوظًا.

وفي رسم آخر، ارسم مستطيلًا ثم أضف خطًا قطريًا داخله. حدود المستطيل ما زالت أربعة أضلاع؛ فالخط الداخلي لم يضف ضلعًا إلى حدوده. إذا أردت عدّ الأضلاع، مرّ بقلمك على الحد الخارجي وحده. هذه خطوة مفيدة عندما يحتوي السؤال على خطوط مساعدة كثيرة أو تظليل قد يشغلك عن الشكل المطلوب.

تعتمد أمثلتنا على أشكال غير منحلّة؛ فلا نعد نقطتين متجاورتين متطابقتين رأسين منفصلين، ولا نضيف رأسًا لمجرد وضع نقطة وسط ضلع مستقيم. اكتب في هامش رسمك ما الذي اخترته حدودًا وما الذي اخترته خطًا مساعدًا، ثم حافظ على هذا الاختيار طوال الحل.

أسماء المضلعات وعدد الرؤوس

نسمّي المضلع بحسب عدد أضلاعه: ثلاثة للمثلث، وأربعة للرباعي، وخمسة للخماسي، وستة للسداسي، وسبعة للسباعي، وثمانية للثماني، وتسعة للتساعي، وعشرة للعشاري. وفي المضلع البسيط يتساوى عدد الأضلاع وعدد الرؤوس. [2]

يمكنك تسمية مضلع له عدد كبير من الأضلاع بقولك «مضلع ذو اثني عشر ضلعًا» مثلًا، بدل البحث عن اسم نادر. ما يفيد الحل فعلًا هو العدد الذي ستضعه مكان الرمز n. لا تكتب هذا الرمز قبل أن تحدد في جملة قصيرة ما الذي يمثله؛ حتى لا تخلط بين عدد الأضلاع وطول أحدها.

للتدريب، ضع خمس نقاط على ورقتك ووصلها بالتتابع، ثم صِل النقطة الأخيرة بالأولى دون تقاطع. ابدأ العد من أي رأس، وقل رقمًا عند كل ضلع تمر عليه. عندما تعود إلى نقطة البداية توقف؛ إذ إن عدّ الضلع الأول مرة ثانية يعطي نتيجة أكبر بواحد. يمكنك أيضًا وضع علامة صغيرة على أول ضلع لتتذكر موضع التوقف.

إذا غيّرت موضع نقطة واحدة في رسمك، فأعد فحص الحدود. قد يتغير شكل الخماسي كثيرًا، لكن الاسم يبقى مرتبطًا بعدد أضلاعه ما دامت الشروط السابقة متحققة. بهذه الطريقة تفصل بين اسم الفئة وبين المظهر الذي تعرضه صورة نموذجية في الكتاب.

منتظم أم غير منتظم؟ افحص شرطين

المضلع المنتظم له أضلاع متساوية وزوايا داخلية متساوية. يلزم تحقق الشرطين معًا؛ لذلك لا يكفي تشابه أطوال الأضلاع وحده. والمضلع غير المنتظم هو الذي لا يحقق هذا التعريف، وقد تتساوى بعض أضلاعه أو بعض زواياه. [3]

خذ مستطيلًا طوله ثمانية سنتيمترات وعرضه ثلاثة سنتيمترات. زواياه الأربع قائمة، لكن طول الضلع الطويل يختلف عن طول الضلع القصير؛ لذا لا يحقق شرط الانتظام. خذ الآن مربعًا طول ضلعه أربعة سنتيمترات: تستطيع تسجيل أربع قيم متساوية للأضلاع وأربع زوايا قائمة. كتابة القيم في قائمتين تجعل المقارنة مباشرة وواضحة.

وفي مثال مضاد، اختر معينًا طول كل ضلع فيه خمسة سنتيمترات، وزواياه المتتابعة ستون ومئة وعشرون وستون ومئة وعشرون درجة. أطوال الأضلاع متساوية، لكن الزوايا ليست متساوية. هذا المثال يبين لماذا ينبغي فحص الزوايا حتى عندما يبدو الرسم متوازنًا. لا تستنتج الانتظام من اسم «معين» أو من تساوي الأطوال فقط.

عند قراءة مسألة، استخدم علامات التساوي المكتوبة على الرسم أو القياسات المعطاة. قد تكون الصورة تخطيطية ولا تحافظ على النسب. إذا لم تخبرك المعطيات أن الأضلاع والزوايا متساوية، فلا تختَر قانونًا يشترط الانتظام اعتمادًا على الانطباع البصري وحده.

المحدب والمقعر: أين يقع الانبعاج؟

في المضلع المقعر توجد زاوية داخلية أكبر من 180 درجة، وقد يقع جزء من بعض الأقطار خارجه. وفي المضلع المحدب غير المنحل تكون كل زاوية داخلية أقل من 180 درجة، وتقع أقطاره في داخله. الانتظام والتحدب وصفان مختلفان. [4]

يمكنك بناء مثال مقعر على ورقة مربعات: ارسم مستطيلًا عرضه ثماني وحدات وارتفاعه ست وحدات، ثم احذف من ركنه العلوي الأيمن مستطيلًا عرضه ثلاث وحدات وارتفاعه وحدتان. تتكون حدود الشكل المتبقي من ستة أضلاع. عند الركن الداخلي للفتحة تجد زاوية داخلية مقدارها مئتان وسبعون درجة؛ فهذا نموذج سداسي مقعر.

لاحظ أن الشكل المقعر يظل مغلقًا وحدوده مستقيمة. لا ترفضه بوصفه غير مضلع لمجرد وجود فتحة تدخل نحو الداخل. كذلك لا تخلط بين الانبعاج وبين التقاطع: في المثال السابق لا يعبر أي ضلع ضلعًا آخر، ولذلك يظل الشكل بسيطًا. يمكنك تتبع حدوده كاملًا دون تغيير المسار عند نقطة عبور.

يساعدك هذا التمييز عند رسم الأقطار للتقسيم. إذا رسمت خطًا من رأس إلى رأس فمرّ خارجه، فلا تعدّ المنطقة الواقعة خارج الحدود جزءًا من مساحة الشكل. عد إلى الرسم واختر تقسيمًا مناسبًا داخل المنطقة المطلوبة. شكل الفتحة يعطيك هنا طريقة أسهل هي طرح المستطيل المحذوف.

لماذا يظهر العدد n−2 عند تقسيم المضلع؟

في المضلع المحدب، ارسم الأقطار من رأس واحد إلى الرؤوس غير المجاورة له. يتكون n−2 مثلثًا لا تتداخل مساحاتها. لا تطبق هذا الرسم من أي رأس تلقائيًا على مضلع مقعر؛ فقد تخرج بعض القطع من حدوده. [5]

في خماسي محدب، سمّ الرؤوس بالترتيب A وB وC وD وE. ارسم AC وAD فقط. ستجد المثلثات ABC وACD وADE، أي ثلاثة مثلثات. لا تضف AE أو AB إلى قائمة الأقطار؛ فهما أصلًا ضلعان في الحدود. هذا التتبع بالحروف يمنعك من عدّ الخط ذاته مرتين أو نسيان منطقة صغيرة.

وفي سداسي محدب، استخدم الرؤوس A إلى F بالترتيب. الأقطار AC وAD وAE تقسمه إلى أربعة مثلثات. قارن النتيجتين: الخماسي أعطى ثلاثة، والسداسي أعطى أربعة. اكتب العددين على رسمين منفصلين، ثم حدّد الفرق بين عدد الأضلاع وعدد المثلثات في كل رسم؛ وسترى من أين جاء طرح اثنين.

العدد هنا ليس مجموع جميع المثلثات التي يمكنك تكوينها باختيار ثلاثة رؤوس. إنه عدد المثلثات في تقسيم محدد يملأ المنطقة دون تداخل. هذا الفرق مهم عندما تعرض المسألة رسمًا فيه أقطار كثيرة؛ إذ قد ترى مثلثات صغيرة وكبيرة متداخلة لا تمثل تقسيمًا صالحًا لجمع المساحات.

الزوايا الداخلية: المجموع غير الزاوية الواحدة

مجموع الزوايا الداخلية لمضلع بسيط ذي n أضلاع هو (n−2)×180 درجة. وإذا كانت الزوايا كلها متساوية، تكون الواحدة (n−2)×180÷n درجة. لا تقسّم المجموع لتحديد زاوية بعينها في شكل لا تتساوى زواياه. [6]

لخماسي منتظم، نطرح اثنين من خمسة، فنحصل على ثلاثة، ثم نضرب في مئة وثمانين. المجموع خمسمئة وأربعون درجة. بعد ذلك نقسمه على خمسة، فتكون كل زاوية مئة وثماني درجات. اكتب الإجابتين في سطرين مختلفين، وضع بجانب الأولى «مجموع»، وبجانب الثانية «زاوية واحدة». بهذه الكتابة تصبح وحدة المعنى واضحة حتى مع تطابق وحدة القياس.

وفي خماسي غير منتظم، افترض أن أربع زوايا معلومة هي مئة ومئة وعشرة ومئة وعشرون وتسعون درجة. مجموع هذه القيم أربعمئة وعشرون درجة. اطرحها من خمسمئة وأربعين؛ فتكون الزاوية الباقية مئة وعشرين درجة. لم نستخدم قسمة المجموع على خمسة، لأن المعطيات نفسها تبين اختلاف الزوايا.

ولفحص عكسي، إذا أعطاك السؤال مجموعًا مقداره ألف ومئتان وستون درجة، اقسمه على مئة وثمانين ثم أضف اثنين. الناتج تسعة أضلاع. هذه العملية تعيد ترتيب العلاقة نفسها، ويمكنك التأكد بإعادة التعويض: تسعة ناقص اثنين، مضروبًا في مئة وثمانين، يعطي المجموع المطلوب.

الزوايا الخارجية: اذكر شروط الجمع

في المضلع المحدب، مجموع الزوايا الخارجية يساوي 360 درجة إذا اخترنا زاوية واحدة عند كل رأس وبالاتجاه نفسه حول الحدود. وفي المضلع المنتظم تساوي الخارجية 360÷n درجة. الزاوية الداخلية والخارجية المتجاورتان على خط مستقيم مجموعهما 180 درجة. [7]

في ثماني منتظم، اقسم ثلاثمئة وستين على ثمانية فتحصل على خمس وأربعين درجة للزاوية الخارجية. اطرحها من مئة وثمانين فتحصل على مئة وخمس وثلاثين درجة للداخلية. للتأكد، اضرب الداخلية في ثمانية؛ فالناتج ألف وثمانون درجة، وهو كذلك ناتج ستة مضروبًا في مئة وثمانين في قانون مجموع الزوايا الداخلية.

إذا كانت الخارجية في مضلع منتظم ثلاثين درجة، فإن عدد أضلاعه اثنا عشر، لأن ثلاثمئة وستين مقسومة على ثلاثين تساوي اثني عشر. أعد الفحص بضرب اثني عشر في ثلاثين. أما إذا حصلت على عدد غير صحيح للأضلاع في معطيات دقيقة، فراجع الحساب والمعطيات؛ فعدد الأضلاع لا يمكن أن يكون كسرًا.

نقتصر هنا على الخارجية المعتادة في المضلعات المحدبة. للمقعرة يلزم الانتباه إلى اتجاه الدوران والإشارات؛ لذلك لا تجمع مقادير زوايا موجبة تختارها عشوائيًا ثم تتوقع النتيجة نفسها. اكتب شرط التحدب في بداية الحل إذا كانت القاعدة التي تستخدمها تعرض بهذا الشكل.

أقطار المضلع: لماذا نقسم العدد على اثنين؟

القطر قطعة تصل بين رأسين غير متجاورين. من كل رأس يمكن رسم n−3 أقطار، وعدد الأقطار المختلفة هو n(n−3)÷2. القسمة على اثنين تصحح عدّ القطر نفسه من طرفيه. [8]

في سداسي، يخرج من الرأس A ثلاثة أقطار إلى C وD وE. لا يصل القطر إلى A نفسه، ولا إلى B أو F المتجاورين معه. إذا كررت العد عند الرؤوس الستة حصلت على ثماني عشرة إشارة إلى الأقطار، لكن كل قطعة ظهرت مرتين؛ مثل AC ومثل CA. إذن العدد المختلف تسعة أقطار.

ولعشاري، اطرح ثلاثة من عشرة، ثم اضرب الناتج في عشرة. تحصل على سبعين، وتقسم على اثنين فتجد خمسة وثلاثين قطرًا. لا تتوقع أن يكون عدد الأقطار مساويًا لعدد الأضلاع؛ فهما يعدّان شيئين مختلفين. اكتب الاسم بجوار كل نتيجة بدل ترك عدد منفرد قد تفسره خطأ عند مراجعة الحل.

يمكنك فحص القانون في أبسط الحالات. المثلث يعطي صفرًا، لأن كل رأسين مختلفين متجاوران. والرباعي يعطي قطرين. هذان الاختباران الصغيران يساعدانك على اكتشاف خطأ شائع هو استخدام n−2 بدل n−3 في العد. وجود القطر في الخارج في بعض المضلعات المقعرة لا يغيّر تعريف طرفيه.

المحيط: اجمع الحدود فقط ووحّد الوحدات

محيط المضلع هو مجموع أطوال أضلاعه. وعند تساويها يساوي عدد الأضلاع مضروبًا في طول أحدها. لا تدخل الأقطار أو خطوط التقسيم ضمن المحيط؛ لأنها ليست جزءًا من الحدود الخارجية. [9]

افترض شكلًا خماسيًا أطوال حدوده أربعة وستة وخمسة وسبعة وثمانية سنتيمترات. اجمع أربعة وستة فتحصل على عشرة، ثم أضف خمسة وسبعة وثمانية، فيكون المحيط ثلاثين سنتيمترًا. اكتب الأطوال بالترتيب حول الرسم، وضع علامة بعد إدخال كل ضلع في الجمع؛ فهذا يمنع سقوط ضلع قصير من الحساب.

ولسداسي منتظم طول ضلعه سبعة سنتيمترات، تكون النتيجة اثنين وأربعين سنتيمترًا. أما إذا كان المعطى اثنين وسبعين سنتيمترًا لمحيط تساعي منتظم، فاقسمه على تسعة؛ فيكون طول الضلع ثمانية سنتيمترات. في المثالين لا نحتاج إلى قياس الزوايا، لأن السؤال يطلب طول الحدود لا مقدار الدوران عند الرؤوس.

إذا كانت بعض الأطوال بالمتر وبعضها بالسنتيمتر، حوّلها إلى وحدة واحدة قبل الجمع. في مثال مستطيل طوله متر ونصف وعرضه خمسون سنتيمترًا، يمكن كتابة الطول مئة وخمسين سنتيمترًا، ثم جمع مئة وخمسين وخمسين ومئة وخمسين وخمسين. النتيجة أربعمئة سنتيمتر، أي أربعة أمتار، وليست مئتين من وحدة غير محددة.

المساحة ووحداتها: ما الذي نريد تغطيته؟

المساحة مقدار المنطقة داخل الحدود وتقاس بوحدات مربعة، مثل السنتيمتر المربع والمتر المربع. وهي تختلف عن المحيط الذي يقاس بوحدة طول. مساحة المستطيل تساوي طوله مضروبًا في عرضه. [10]

ارسم مستطيلًا طوله ثماني وحدات وعرضه ثلاث وحدات على ورقة مربعات. يمكنك عدّ ثلاث صفوف، في كل صف ثمانية مربعات، فتجد أربعة وعشرين مربعًا. أما المرور حول الحد فيعطي ثماني وحدات ثم ثلاثًا ثم ثماني وحدات ثم ثلاثًا، أي اثنتين وعشرين وحدة طول. رؤية الطريقتين على الرسم نفسه توضح أن السؤالين لا يعدّان الشيء نفسه.

واختر مستطيلًا ثانيًا طوله سبع وحدات وعرضه أربع وحدات. محيطه اثنتان وعشرون وحدة أيضًا، لكن مساحته ثمان وعشرون وحدة مربعة. هذا المثال المستقل يكفي لإظهار أن تساوي المحيط لا يحدد مساحة واحدة. إذا أخبرك السؤال بالمحيط فقط، فلا تختر مساحة عشوائية دون معلومات إضافية عن الأبعاد أو عن شكل المضلع.

وفي تحويل الوحدات، مربع طول ضلعه متر واحد يحتوي مئة سنتيمتر على كل ضلع. مساحته إذن مئة مضروبة في مئة، أي عشرة آلاف سنتيمتر مربع. لا تحوّل المتر المربع إلى مئة سنتيمتر مربع؛ فهذا يخلط تحويل الطول بتحويل المساحة. يمكنك رسم مربع مصغّر مع كتابة القيم على الضلعين لتتذكر سبب الضرب مرتين.

مساحة المضلع المنتظم والبعد العمودي

يمكن حساب مساحة المضلع المنتظم بنصف حاصل ضرب المحيط في البعد العمودي من المركز إلى أحد الأضلاع. هذا البعد ليس القطعة من المركز إلى رأس. اختيار القطعة الصحيحة مهم لأن القانون يجمع مساحات مثلثات قواعدها أضلاع المضلع. [10]

استخدم سداسيًا منتظمًا طول ضلعه ستة سنتيمترات. محيطه ستة وثلاثون سنتيمترًا، وبعد مركزه عن الضلع ثلاثة مضروبة في الجذر التربيعي لثلاثة سنتيمترات. بالتعويض تكون المساحة أربعة وخمسين مضروبة في الجذر التربيعي لثلاثة سنتيمترات مربعة، أي نحو ثلاثة وتسعين فاصل ثلاثة وخمسين. احتفظ بالجذر في الحساب ثم قرّب النتيجة في النهاية.

ولفحص أبسط، اختر مربعًا طول ضلعه عشرة سنتيمترات. محيطه أربعون سنتيمترًا، والبعد العمودي من مركزه إلى الضلع خمسة سنتيمترات. نصف حاصل ضرب أربعين في خمسة يساوي مئة سنتيمتر مربع، وهو ناتج عشرة في عشرة أيضًا. هذا الاختبار يبين توافق القانونين عندما تنطبق شروطهما على الشكل نفسه.

إذا أعطاك السؤال طول القطعة من المركز إلى رأس، فحدد هل لديك معلومات تكفي لإيجاد البعد العمودي. لا تضع هذه القيمة مكانه لمجرد أن القطعتين تبدآن من المركز. ضع علامة زاوية قائمة على الرسم عند نهاية العمود، واكتب رمزًا مختلفًا للقطعة المائلة كي تبقى المقارنة واضحة أثناء التعويض.

مساحة الشكل المركب: الجمع أو الطرح

لحساب مساحة بعض الأشكال المركبة، يمكن تقسيمها إلى أشكال نعرف مساحاتها ثم جمعها. يجب أن تغطي الأجزاء المنطقة المطلوبة دون تداخل. ويمكن أحيانًا استخدام شكل كامل وطرح منطقة محذوفة إذا كانت أبعادها معلومة. [12]

عد إلى نموذج المستطيل ذي العرض ثماني وحدات والارتفاع ست وحدات، مع فتحة علوية يمينًا عرضها ثلاث وحدات وارتفاعها وحدتان. مساحة المستطيل الكامل ثمان وأربعون وحدة مربعة. مساحة الفتحة ست وحدات مربعة، فتكون المساحة المتبقية اثنتين وأربعين. في الرسم الداخلي المرفق تظهر الفتحة بخط متقطع لتعرف أي منطقة طرحناها.

ويمكن فحص النتيجة بطريقة ثانية: الجزء السفلي مستطيل عرضه ثماني وحدات وارتفاعه أربع وحدات، ومساحته اثنتان وثلاثون. فوقه يسارًا مستطيل عرضه خمس وحدات وارتفاعه وحدتان، ومساحته عشر وحدات. المجموع اثنتان وأربعون وحدة مربعة. اتفقت طريقتا الجمع والطرح لأن الأجزاء المختارة تغطي الشكل نفسه دون تكرار.

لا يكفي وجود خط تقسيم للحصول على المساحة؛ تحتاج إلى أبعاد كل جزء أو معلومات تستنتج منها هذه الأبعاد. في المثال السابق استنتجنا خمسة بطرح ثلاثة من ثمانية، وأربعة بطرح اثنين من ستة. اكتب عمليتي الطرح قبل حساب المساحات حتى يظل مصدر كل طول واضحًا.

طريقة الإحداثيات لمن يعرف مواقع الرؤوس

توجد صيغة لحساب مساحة المضلع البسيط من إحداثيات رؤوسه: اجمع حاصل ضرب إحداثي x لكل رأس في y للرأس التالي، واطرح مجموع الضربات بالعكس، ثم خذ نصف القيمة المطلقة. يجب ترتيب الرؤوس على الحدود، ولا تستخدم النتيجة بهذه الصورة لمضلع متقاطع. [13]

اختَر مثلثًا رؤوسه A(0,0) وB(6,0) وC(0,4)، بهذا الترتيب. مجموع الضربات الأولى صفر زائد أربعة وعشرين زائد صفر، أي أربعة وعشرون. مجموع الضربات المعاكسة صفر. نصف الفرق المطلق اثنتا عشرة وحدة مربعة. إذا عكست ترتيب السير يصبح الفرق سالبًا، لكن القيمة المطلقة تعيد المساحة الموجبة نفسها.

وفحص النتيجة هندسيًا سهل في هذا النموذج: قاعدة المثلث ست وحدات وارتفاعه أربع وحدات، ونصف حاصل ضربهما اثنتا عشرة. اخترنا هذه القيم كي تستطيع التأكد بطريقتين مستقلتين في الحساب. ليس الهدف حفظ جدول ضربات طويل قبل فهمه، بل معرفة لماذا تكتب الرأس الأول بعد آخر رأس لإغلاق دورة الحساب.

إذا أدخلت نقاطًا مبعثرة دون ترتيب، فقد يصل الخط بين رأسين عبر الداخل أو يخلق تقاطعًا. ارسم النقاط أولًا، ثم مر حول الحدود واكتب قائمة مرتبة. لا ترتب النقاط حسب الإحداثي الأفقي وحده؛ فقد يتفق رأسان في هذا الإحداثي ويكونان في جهتين مختلفتين من الشكل.

ورشة تطبيق: نموذج واحد وأسئلة مختلفة

لنستخدم النموذج المقعر نفسه في ورشة قصيرة. حدّد الرؤوس بالتتابع: A(0,0)، ثم B(8,0)، ثم C(8,4)، ثم D(5,4)، ثم E(5,6)، ثم F(0,6)، وأخيرًا العودة إلى A. هذه الإحداثيات مقترحة لهذا المثال، وليست قياسات لمكان حقيقي. ارسمها على شبكة، واكتب الحروف خارج المنطقة المظللة حتى تستطيع متابعة المسار.

السؤال الأول: كم ضلعًا للشكل؟ تمر بالقطع AB وBC وCD وDE وEF وFA، فتعد ستة. لا تعدّ النقطة التي تعود إليها في النهاية رأسًا سابعًا؛ إنها A نفسها. ولا تعد القطعة الأفقية المتخيلة من C إلى الطرف العلوي ضلعًا، لأنها ليست جزءًا من الحدود المختارة.

السؤال الثاني: ما المحيط؟ أطوال القطع بالترتيب ثماني وحدات وأربع وثلاث واثنتان وخمس وست. اجمع ثمانية وأربعة وثلاثة واثنين وخمسة وستة، فتجد ثماني وعشرين وحدة. الخط الأفقي الداخلي الذي قد ترسمه عند الارتفاع أربعة لا يدخل في هذا الجمع. إذا أعطاك حسابك رقمًا آخر، تحقق من الحدود قبل إعادة عمليات الجمع.

السؤال الثالث: هل الشكل منتظم؟ لا، لأن قائمة الأطوال السابقة تتضمن قيمًا مختلفة. وهل هو مقعر؟ نعم، لأن الركن عند D يدخل في المنطقة ويعطي زاوية داخلية مئتين وسبعين درجة. الزوايا الخمس الأخرى قائمة؛ لذا فإن مجموعها مع الزاوية المقعرة سبعمئة وعشرون درجة: خمس مضروبة في تسعين تساوي أربعمئة وخمسين، ومع مئتين وسبعين نحصل على المجموع. كتابة الضرب ثم الجمع تجعل مراجعة الحساب مباشرة.

السؤال الرابع: هل تتفق هذه النتيجة مع قانون مجموع الزوايا؟ عدد الأضلاع ستة؛ نطرح اثنين فتبقى أربعة، ونضرب في مئة وثمانين فنجد سبعمئة وعشرين درجة. يوجد اتفاق، لكنه لا يجعل الشكل منتظمًا. المجموع لا يكشف وحده كيف توزعت الزوايا بين الرؤوس، ولهذا احتجنا إلى قراءة كل زاوية أو وصف الركن الداخلي.

السؤال الخامس: ماذا يحدث لو أردنا تغطية النموذج بورق مربع؟ نستخدم المساحة التي حسبناها، وهي اثنتان وأربعون وحدة مربعة. أما إذا أردنا إحاطة حدوده بشريط، فنستخدم المحيط، وهو ثماني وعشرون وحدة طول. اكتب اسم المادة المطلوبة بجانب السؤال: تغطية أو إحاطة. هذا التفريق يجعل اختيار الكمية مناسبًا للمطلوب قبل التفكير في القانون.

السؤال السادس: هل كل قطعة بين رأسين تبقى داخل الشكل؟ انظر إلى القطعة بين C وE. منتصفها هو النقطة ذات الإحداثيين ستة ونصف وخمسة، وهي تقع في الفتحة المحذوفة. لذلك يمر جزء من هذه القطعة خارج المنطقة، مع أن طرفيها رأسان من الشكل. يمكنك تحديد المنتصف على الرسم لتختبر العبارة بصريًا، بدل الاعتماد على شكل الخط فقط.

أنهِ الورشة بجدول صغير من أربعة أعمدة: المطلوب، والمعطيات، والعملية، والوحدة. ضع العدد ستة في صف عدد الأضلاع دون وحدة طول، وضع ثمانيًا وعشرين في صف المحيط مع وحدة طول، واثنتين وأربعين في صف المساحة مع وحدة مربعة، وسبعمئة وعشرين في صف مجموع الزوايا مع الدرجة. عندما تجتمع النتائج في صفحة واحدة، يصبح اكتشاف الخلط بين الكميات أسهل.

كيف تراجع حلّك قبل تسليمه؟

ابدأ بمطابقة كل عملية مع السؤال. إن كان السؤال عن زاوية واحدة، فتأكد أنك لم تتوقف عند مجموع الزوايا. وإن كان عن محيط، فراجع أن جميع القيم التي جمعتها أطوال للحدود وبالوحدة نفسها. وإن كان عن مساحة، فاسأل هل غطت الأجزاء المختارة المنطقة كلها، وهل حسبت منطقة واحدة مرتين.

ثم افحص الشروط التي كتبتها في بداية الحل. عبارة «منتظم» تتيح استخدام تساوي الأضلاع والزوايا، وعبارة «بسيط» تمنع التقاطع، وعبارة «محدب» تجعل تقسيم الرأس الواحد مناسبًا. لا تنتقل من وصف إلى آخر لأن الرسم يبدو قريبًا منه. اكتب سبب الانتقال بجملة قصيرة تعتمد على المعطيات.

في التدريب الأخير، اختر سباعيًا منتظمًا طول ضلعه أربع وحدات. محيطه ثمان وعشرون وحدة. مجموع زواياه تسعمئة درجة. زواياه المتساوية قياس كل منها تسعمئة مقسومة على سبعة درجة، وخارجيته ثلاثمئة وستون مقسومة على سبعة درجة. وعدد أقطاره أربعة عشر. لاحظ أننا أبقينا قياس الزوايا كسورًا دقيقة بدل تقريب مبكر قد يغير مجموعها.

يمكنك مقارنة موضوع التعرف على المضلعات بموضوع آخر هو شروط تشابه المضلعات. في هذا المقال تعرّفنا خصائص شكل واحد وحساباته، أما دراسة التشابه فتسأل عن علاقة بين شكلين. دوّن السؤال الذي تريد الإجابة عنه أولًا، ثم اختر القراءة أو القاعدة التي تخدمه.