مبرهنة ديزارغ: تلاقي وصلات الرؤوس واستقامة تقاطعات الأضلاع

الخلاصة السريعة

تنص مبرهنة ديزارغ على أن وصلات الرؤوس المتناظرة لمثلثين، إذا التقت في نقطة واحدة، جعلت تقاطعات أزواج الأضلاع المتناظرة تقع على مستقيم واحد. [1] نختار هنا مثلثين غير منحلين، ووصلات محددة بنقطتين مختلفتين، وثلاثة تقاطعات مختلفة ومنتهية. مركز التلاقي نقطة، ومحور التقاطعات مستقيم؛ وهما شيئان مختلفان.

• نطابق A مع A′ و B مع B′ و C مع C′. معادلات AA′ و BB′ و CC′ هي x−2y=0، 2x−5y=0، 3y−2x=0؛ تمر كلها بـ O=(0,0). لا نخلط هذه الوصلات بأضلاع المثلثين.
• نحسب X من AB مع A′B′، و Y من BC مع B′C′، و Z من CA مع C′A′. معادلات الأزواج تعطي X=(8,3)، Y=(8,2)، Z=(8,7). تشمل الحسابات امتدادات الأضلاع؛ ليس المطلوب تقاطع القطع القصيرة نفسها.
• الإحداثي الأفقي للنقاط الثلاث 8، ولذلك محور التقاطعات x=8. هو مستقيم رأسي ميله غير معرف؛ لا نحتاج ميلًا عدديًا لإثبات الاستقامة. مركز الوصلات O لا يقع على هذا المحور في المثال.
• في أسرة أصلية نضع x′=kx/(1+x/8) و y′=ky/(1+x/8) لكل رأس من المثلث الثابت. تبقى الوصلات عند O، ومحور الأضلاع x=8(k−1). نثبت ذلك بتحويل معادلات الأضلاع، ضمن مجال يحفظ الرؤوس والتقاطعات المختلفة.
• إذا رفعنا C′ إلى C″=(48/11,43/11)، لم يعد CC″ يمر بـ O. تبقى X، لكن Y″=(464/69,2)، Z″=(80/21,59/21). مساحة مثلث التقاطعات 2860/1449 موجبة، فلا تكون النقاط الثلاث مستقيمة.
• التكبير بعامل 2 يعطي محور x=16، والإزاحة بمقدار (1,−2) تعطي مركز O=(1,−2) ومحور x=9. أما تكبير المثلث الأول وحده بعامل 2 حول O فيجعل الأضلاع المتناظرة متوازية، فلا توجد التقاطعات المنتهية التي نعالجها هنا.

حدد التناظر ومركز وصلات الرؤوس

ابدأ بمثلثين، ثم ثبت المطابقة بين رؤوسهما: A يقابل A′، و B يقابل B′، و C يقابل C′. إذا مرت AA′ و BB′ و CC′ بنقطة واحدة، فإن تقاطعات الأضلاع المتناظرة تكون مستقيمة، في البناء غير المنحل ذي التقاطعات المطلوبة. [1] نسمي النقطة مركز التلاقي، والمستقيم الناتج محور التقاطعات.

نأخذ A=(2,1)، B=(5,2)، C=(3,2)، و O=(0,0). الرؤوس ليست مستقيمة؛ محدد متجهي AB=(3,1) و AC=(1,1) يساوي 2، فتكون مساحة ABC هي 1. أما المثلث الثاني فتحدده النقاط A′=(16/5,8/5)، B′=(80/13,32/13)، C′=(48/11,32/11).

كل رأس جديد مضاعف لمتجه الرأس الأصلي من O: لدينا A′=(8/5)A، و B′=(16/13)B، و C′=(16/11)C. لذلك تقع كل نقطة جديدة على مستقيم يصل O برأسها المقابل. عوامل الضرب مختلفة؛ لم نكبر المثلث كله بعامل واحد.

يمكن التأكد من المركز بالمعادلات: AA′ على x−2y=0، و BB′ على 2x−5y=0، و CC′ على 3y−2x=0. عند O يعطي كل طرف أيسر صفرًا. الخطان الأولان مختلفان ويتقاطعان عند O وحدها، ثم يمر الثالث بها أيضًا.

الأضلاع المتناظرة هي AB مع A′B′، و BC مع B′C′، و CA مع C′A′. هذه أزواج مختلفة عن وصلات الرؤوس الثلاث. ولا نبدل A′ و B′ أثناء العمل؛ تغيير المطابقة يغير الخطوط التي نختبرها.

احسب تقاطعات الأضلاع المتناظرة

يمر AB بالنقطتين (2,1) و (5,2)، فتكون معادلته x−3y+1=0. ويمر A′B′ بالنقطتين (16/5,8/5) و (80/13,32/13)، ومعادلته 7x−24y+16=0. اضرب المعادلة الأولى في 8: 8x−24y+8=0، ثم اطرح الثانية؛ تحصل على x−8=0. بالتعويض تكون X=(8,3).

المستقيم BC أفقي عند y=2، أما B′C′ فمعادلته x+4y−16=0. عوض y=2، فتحصل على x+8−16=0؛ إذن Y=(8,2). يقع هذا التقاطع على امتداد BC بعد B، لا داخل القطعة BC بين الإحداثيين الأفقيين 3 و 5.

يمر CA بالنقطتين (3,2) و (2,1)، لذلك معادلته x−y−1=0. والمستقيم C′A′ هو 9x−8y−16=0. اضرب الأولى في 8، ثم اطرحها من الثانية؛ تصبح x−8=0، وبعد التعويض نجد Z=(8,7).

لنفحص المعادلات بدل الاكتفاء بطرحها: عند X يعطي AB القيمة 8−9+1=0، ويعطي A′B′ القيمة 56−72+16=0. عند Y يعطي B′C′ القيمة 8+8−16=0؛ وعند Z يعطي CA القيمة 8−7−1=0، ويعطي C′A′ القيمة 72−56−16=0.

تقاطع المستقيمين لا يقتصر على الجزء الذي نرسمه بوصفه ضلعًا. في هذا المثال يقع X و Z على امتدادات أضلاع، وتظهر خطوطها ممتدة في الرسم حتى مواضع التقاطعات. لا نحرك علامة التقاطع إلى داخل المثلث كي يبدو البناء أبسط.

ميز محور التقاطعات عن نقطة المركز

النقاط X=(8,3)، Y=(8,2)، Z=(8,7) لها الإحداثي الأفقي نفسه، وإحداثياتها الرأسية مختلفة. لذلك تقع على x=8، وهو محور التقاطعات في مثالنا. بواقي المعادلة x−8=0 كلها صفر كما في الجدول.

هذا المستقيم رأسي؛ فرق الإحداثيين الأفقيين بين X و Y يساوي صفرًا، فلا يجوز حساب الميل بقسمة فرق y عليه. لا يعني ذلك أن الميل 0؛ الميل 0 يخص المستقيم الأفقي. تثبت المعادلة x=8 الاستقامة مباشرة.

أما O=(0,0) فهي مركز وصلات الرؤوس، ولا تقع على x=8. لا تقول النتيجة إن محور التقاطعات يمر بالمركز. كما أنها لا تجعل X و Y و Z نقطة واحدة؛ هي نقاط مختلفة على مستقيم واحد.

يمكن مراجعة الاستقامة بمحدد المتجهين XY=(0,−1) و XZ=(0,4)، فنجد 0. مساحة مثلث XYZ صفر لأن رؤوسه مستقيمة. بعد تغيير رأس متناظر سنحسب محددًا غير صفري، فيظهر الفرق دون الاعتماد على سماكة الخطوط في الصورة.

برهن محور أسرة إحداثية من معادلات الأضلاع

نبقي ABC و O ثابتة، ولكل رأس ذي إحداثيين (x,y) نضع x′=kx/(1+x/8) و y′=ky/(1+x/8). مقامات رؤوسنا الثلاثة 5/4 و 13/8 و 11/8 موجبة ومختلفة. ضرب المتجه (x,y) بعامل k/(1+x/8) يبقي الرأس الجديد على وصلته من O. عند k=2 نحصل على المثلث المحسوب.

لرؤية أثر التحويل في ضلع، اكتب معادلته ax+by+c=0. يمكن حل التحويل عكسيًا: x=x′/(k−x′/8)، و y=y′/(k−x′/8). عند صور رؤوسنا يكون المقام غير صفري إذا كان k غير صفر. بعد التعويض والضرب في المقام تصبح معادلة الضلع الجديد (a−c/8)x′+by′+ck=0.

تقاطع الضلع الأصلي مع الجديد يحقق أيضًا ax′+by′+c=0. طرح المعادلتين يعطي c[(k−1)−x′/8]=0. ثوابت الأضلاع الأصلية هي 1 و −2 و −1، وكلها غير صفر؛ إذن تقاطعات الأزواج الثلاثة لها x′=8(k−1). هذا برهان جبري للأسرة التي حددناها.

ويمكن كتابة الأضلاع الجديدة دون رموز عامة: A′B′ على 7x−24y+8k=0، و B′C′ على x+4y−8k=0، و C′A′ على 9x−8y−8k=0. مع الأضلاع الأصلية تعطي كلها محور x=8(k−1). في معادلات النقاط نميز x′ بوصفه إحداثي الصورة، أما x هنا فهو المتغير على مستقيم الضلع.

للحفاظ على البناء الذي نستعمله، نستبعد k=0 لأنه يجمع الرؤوس الجديدة عند O. ونستبعد k=5/4 و k=13/8 و k=11/8، إذ يتطابق رأس جديد مع مقابله وتندمج نقطتان من التقاطعات. مثلًا عند k=5/4 تصبح A′=A، ويصبح X=Z=A=(2,1).

البرهان يخص هذا المثلث الثابت والتحويل ذي المعامل k؛ لا نعرضه بوصفه برهانًا لكل صيغة عامة لمبرهنة ديزارغ. الحسابات الكسرية لعدة قيم تراجع الصيغ، بينما تحويل المعادلات يفسر المحور لكل قيمة مسموحة في الأسرة.

حرك رأسًا لتفقد شرط تلاقي الوصلات

نرجع إلى k=2، ونبقي A′ و B′ كما هما، ثم نستبدل C′ بالنقطة C″=(48/11,43/11)، أي نرفعها وحدة واحدة. لا يتغير المثلث ABC. الوصلتان AA′ و BB′ ما زالتا تتقاطعان عند O، لكن CC″ أصبحت −7x+5y+11=0. عند O يكون الطرف الأيسر 11، فلا تمر به.

زوج AB و A′B′ لم يتغير، فتظل X=(8,3). أما B′C″ فمعادلته 207x+256y−1904=0. مع BC ذي المعادلة y=2 نجد 207x=1392، ومنه Y″=(464/69,2).

المستقيم C″A′ هو 127x−64y−304=0. مع CA ذي المعادلة y=x−1 يصبح 63x−240=0؛ إذن Z″=(80/21,59/21). حسبنا التقاطعات بعد التعديل من أضلاع المثلث الجديد، لا من الوصلات إلى O.

المستقيم المار بـ X و Y″ هو 69x−88y−288=0. عند X نحصل على 552−264−288=0، وعند Y″ على 464−176−288=0. لكن عند Z″ يكون الباقي −5720/21، فلا تقع عليه. والإحداثي الأفقي لـ Z″ ليس 8 أيضًا؛ غير أن اختبار المستقيم الجديد أدق من مقارنة المحور القديم وحده.

محدد متجهي XY″ و XZ″ يساوي −5720/1449؛ نصف القيمة المطلقة 2860/1449 هو مساحة مثلث التقاطعات. الجدول يقارنها بالمساحة 0 في المثال الصحيح. إشارة المحدد تخص اتجاه ترتيب الرؤوس؛ المساحة موجبة في الحالة المعدلة.

فقد شرط التلاقي أدى إلى فشل الاستقامة في هذا المثال. لا نستنتج منه أن كل تحريك مخالف يفشل دائمًا، ولا نستخدمه لإثبات العكس العام للمبرهنة. المطلوب هنا فصل الشرط عن الشكل الظاهري لمثلثين متقاربين.

راجع التكبير والإزاحة والحالات خارج الحساب المنتهي

كبر إحداثيات المثال الصحيح كلها بعامل 2، بما فيها المثلثان. تصبح X=(16,6)، Y=(16,4)، Z=(16,14)، ومحور التقاطعات x=16. يبقى المركز O=(0,0)، وتظل الوصلات الثلاث تمر به؛ التكبير الموحد يحفظ التلاقي والاستقامة.

إذا عدنا إلى الحجم الأصلي وأضفنا (1,−2) لكل نقطة، تصبح O=(1,−2)، والتقاطعات X=(9,1)، Y=(9,0)، Z=(9,5)، ومحورها x=9. لا تستعمل صيغة ضرب متجهات الرؤوس من الأصل القديم بعد الإزاحة؛ الوصلات الجديدة تمر بالمركز الجديد.

هناك فرق بين تكبير الشكل كله، وبين إنشاء المثلث الثاني بتكبير المثلث الأول بعامل 2 حول O. في الاختيار الأخير تصبح A′=(4,2)، B′=(10,4)، C′=(6,4). تمر وصلات الرؤوس بـ O، لكن الأضلاع المتناظرة تصبح متوازية.

مثلًا AB هو x−3y+1=0، و A′B′ هو x−3y+2=0؛ أما BC و B′C′ فهما y=2 و y=4. كذلك CA هو x−y−1=0، و C′A′ هو x−y−2=0. لا توجد تقاطعات منتهية لهذه الأزواج، ولذلك لا ينتج محور من ثلاث نقاط في الحساب المستوي الذي اعتمدناه.

لا يمثل ذلك مثالًا مضادًا للبناء ذي التقاطعات المنتهية؛ فقد خرج عن شروطه. المثلث المنعدم المساحة، وتطابق الرؤوس المتناظرة، وتوازي الأضلاع المتناظرة حالات تحتاج معالجة مختلفة. نذكرها لتحديد مجال الحساب، دون استعمال توسعات إسقاطية في البرهان.

للمراجعة، ثبت المطابقة بين الرؤوس أولًا، ثم اختبر تلاقي وصلاتها. احسب تقاطعات الأضلاع المتناظرة، بما فيها الامتدادات، وتحقق من معادلة محور واحد. افصل اسم المركز عن اسم المحور، وأعد الحساب إذا تغيرت نقطة أو شروط وجود التقاطعات.