مبرهنة كايلي هاملتون: قوى المصفوفة ومعكوسها

ما معنى تعويض مصفوفة في كثير حدود؟

للمصفوفة المربعة نعرّفp(A)=c₀I+c₁A+⋯+cₘAᵐ إذا كانp(λ)=c₀+c₁λ+⋯+cₘλᵐ. الصفر في النتيجة مصفوفة من الحجم نفسه. [1]

نثبت عرض الصفوف من اليسار إلى اليمين. اخترناA=[[3,2],[1,4]] وI=[[1,0],[0,1]]. نجدdet(λI−A)=(λ−3)(λ−4)−2=λ²−7λ+10.

التعويض يعطيA²−7A+10I. بالضرب صفًا في عمود نجدA²=[[11,14],[7,18]]، و7A=[[21,14],[7,28]]. الفرق[[-10,0],[0,-10]]، فتصفّر الخانات الأربع بعد إضافة10I.

إذا أضفت10 إلى كل خانة، أصبحت الخانتان خارج القطر10 بدل0. كذلك تربيع عناصرA منفردة يعطي[[9,4],[1,16]]، وهذه مصفوفة مختلفة عنA².

الحساب يؤكد مثالنا، أما صحة العبارة لكل مصفوفة ثنائية فتحتاج هوية عامة، نثبتها الآن.

برهان مباشر لكل مصفوفة ثنائية

اكتبM=[[a,b],[c,d]] بعناصر حقيقية أو عقدية. يكون كثير حدودهاλ²−(a+d)λ+(ad−bc). [1]

بالضرب: M²=[[a²+bc,ab+bd],[ca+dc,cb+d²]]. أما(a+d)M=[[a²+ad,ab+bd],[ac+cd,ad+d²]]. [1]

لأن العناصر أعداد تبديلية، فالخانتان خارج القطر في الفرق صفر، وخانتا القطرbc−ad. إذنM²−(a+d)M=−(ad−bc)I، وبعد إضافة(ad−bc)I نحصل على0. [1]

هذا البرهان يشمل المحدد الصفري والقيم الذاتية المكررة؛ لم نقسم علىad−bc، ولم نبحث عن متجهات ذاتية. لكنه برهان الحجم2×2؛ المبرهنة للحجم العام مستندة إلى المرجع.

اختزل القوة إلى معاملين

منA²=7A−10I نضرب فيA، ثم نستبدلA² مرة أخرى: A³=7A²−10A=7(7A−10I)−10A=39A−70I.

إذنA³=[[47,78],[39,86]]. وللقوة الرابعةA⁴=39A²−70A=203A−390I=[[219,406],[203,422]].

إذا كتبناAᵏ=αₖA+βₖI، فالضرب فيA يعطيAᵏ⁺¹=(7αₖ+βₖ)A−10αₖI. هذه هوية مباشرة من علاقة التربيع، وليست تقريبًا عدديًا.

نبدأ منA⁰=I بمعاملينα₀=0 وβ₀=1. الخطوة التالية تعطي1 و0 للقوة الأولى، ثم7 و−10 للثانية، ثم39 و−70 للثالثة، ثم203 و−390 للرابعة.

بالاستقراء، تحقق العلاقة كل قوة ذات أس صحيح غير سالب: البدايةI صحيحة، والخطوة أثبتناها بالضرب. لا ننقل هذه المعاملات إلى مصفوفة أخرى؛ فهي تعتمد على كثير حدودA المختارة.

اختزال القوى تطبيق للمبرهنة. [2] في هذا المثال نتحقق أيضًا بضربA² فيA، ثمA³ فيA، لمقارنة الناتجين مع المصفوفتين المكتوبتين.

احسب المعكوس وافحص حالة الجذر المكرر

بما أنdet(A)=3×4−2×1=10≠0، نرتب الهويةA²−7A+10I=0 على الصورةA(7I−A)=10I. ولأن(7I−A)A يعطي النتيجة نفسها، يكونA⁻¹=(7I−A)/10=[[4,-2],[-1,3]]/10.

نحسبA[[4,-2],[-1,3]]=[[10,0],[0,10]]، والضرب بالعكس يعطي[[10,0],[0,10]] أيضًا. القسمة على10 تحوّل الناتج إلىI، لا إلى المصفوفة الصفرية.

استخراج المعكوس بهذه الطريقة يتطلب شرط عدم المفردة. [2] إذا كان المحدد صفرًا، تبقى مبرهنة كايلي هاملتون صحيحة، لكن لا يجوز استعمال قسمة على المحدد لبناء المعكوس.

خذB=[[3,1],[0,3]]. نجدp_B(λ)=(λ−3)²، بينماB−3I=[[0,1],[0,0]] غير صفرية ومربعها[[0,0],[0,0]]. لذلك لا تختصر عاملًا من(B−3I)²=0 وتستنتجB−3I=0.

فحص آخر: B²=[[9,6],[0,9]]=6B−9I، كما تتوقع هوية الحجم الثنائي. تكرار الجذر3 لا يبطل المبرهنة، ولا يجعلB مساوية3I.

قبل التطبيق، احسب كثير الحدود للمصفوفة نفسها، واضرب الحد الثابت فيI، واستعمل ضرب المصفوفات، وافصل شرط وجود المعكوس عن هوية المبرهنة.