لدينا قائمتان: 2,5,8 و 1,4,7. نستعمل كل عدد مرة واحدة، ونضرب كل عنصر من الأولى في عنصر من الثانية ثم نجمع. الاقتران بالترتيب نفسه يعطي 78، وبالترتيب المعاكس 42. سنفحص الترتيبات الستة، ونفسر الفرق بتبديل زوجين، ثم نختبر الأعداد السالبة والقيم المتساوية.
الخلاصة السريعة
في المثال 2,5,8 مع 1,4,7، أكبر مجموع هو 78 عند الاقتران 2 مع 1 و 5 مع 4 و 8 مع 7. أصغره 42 عند الاقتران 2 مع 7 و 5 مع 4 و 8 مع 1. لا نغير عناصر القائمتين أو نكرر عنصرًا.
- لقائمتين موجبتين بالطول نفسه، الترتيب المتوافق يعطي أكبر مجموع نواتج، والمعاكس يعطي أصغره؛ هذه متباينة إعادة الترتيب. [1] نثبت امتدادها للأعداد الحقيقية بتبديلات متتابعة.
- للزوجين العدديين في مثالنا، 78 = 2 + 20 + 56 و 42 = 14 + 20 + 8. الترتيبات الأخرى تعطي 69 أو 51، فتقع داخل الحدين.
- فرق مجموع الاقتران المتوافق عن المتقاطع يساوي (y−x)(v−u)، عندما x ≤ y و u ≤ v؛ وهو غير سالب. عند تساوي أحد الزوجين قد يصبح الفرق 0.
- السالب يرتب بحسب قيمته لا قدره المطلق. في القائمتين −3,1,4 و −2,2,5، الاقتران المتوافق يعطي 28 والمعاكس −21؛ الأعداد المختارة حساب توضيحي بلا وحدات.
- القائمة 2,2,8 مع 1,4,7 لها ترتيبان مختلفان يعطيان أكبر مجموع 66؛ تبديل 1 و 4 بين الموضعين الأولين لا يغير النتيجة لأن معامليهما متساويان.
- تتعلق المسألة بحرية الاقتران واحدًا لواحد. إذا كانت الأزواج تمثل أشخاصًا أو قياسات مترابطة، فإعادة الاقتران تنشئ سؤالًا مختلفًا؛ لا تغير الروابط الحقيقية لتحسين رقم مجموع.
ما الذي يتغير عندما نعيد الاقتران؟
نثبت الأولى 2,5,8 بهذا الترتيب. وفي الثانية نستعمل 1 و 4 و 7 مرة واحدة لكل ترتيب. ليست المسألة تبديل العاملين داخل الضربة نفسها؛ 2 × 7 تساوي 7 × 2. المتغير هو اختيار العدد الذي يقترن بكل موضع من الأولى.
عندما نعطي الموضع الأول 1 والثاني 4 والثالث 7، نحصل على 2 × 1 = 2 و 5 × 4 = 20 و 8 × 7 = 56؛ مجموعها 78. وعند عكس الثانية، تصبح النواتج 14 و 20 و 8؛ مجموعها 42. الصورة الرئيسية تقارن هذين الاقترانين كاملين.
منع التكرار شرط أساسي في هذا النموذج: لا يجوز إقران الأعداد الثلاثة جميعًا بالعدد 7 وادعاء أن 105 ترتيب جديد للقائمة 1,4,7. حينها استعملنا 7 ثلاث مرات وحذفنا 1 و 4؛ تغيرت المسألة.
يمكن ترتيب القائمتين أولًا لتحديد الحدين، لكن يجب إبقاء جميع القيم. عند الحديث عن «الأكبر مع الأكبر» نريد مقارنة قيم عددية؛ لا نقصد مواضع ثابتة في ملف قبل الفرز. أمثلة المقال أعداد مجردة، وليست تقييمًا لموظفين أو نتائج تجربة.
الترتيبات الستة تحصر المثال كاملًا
نكتب كل ترتيب للقائمة الثانية من اليسار إلى اليمين، مقابل الأولى الثابتة 2,5,8. لأن العناصر الثلاثة متميزة، لدينا 6 ترتيبات. في الجدول، كل مجموع يحوي ثلاث ضربات فقط؛ لا نجمع العناصر الستة نفسها.
مثلًا الترتيب 1,7,4 يعطي 2 × 1 + 5 × 7 + 8 × 4 = 69. والترتيب 4,7,1 يعطي 8 + 35 + 8 = 51. ظهور 69 في صفين لا يجعل الصفين ترتيبًا واحدًا؛ الاقترانان مختلفان والنتيجة متساوية.
بعد استنفاد الصفوف الستة، نجد الحدين 42 و 78. هذه مراجعة تامة لهذا المثال الصغير. أما قائمة طويلة فلا نحتاج سرد جميع ترتيباتها كي نثبت الحدين؛ حجة التبديل في القسم التالي تشرح السبب.
| ترتيب الثانية | مجموع النواتج |
|---|---|
| 1,4,7 | 78 |
| 1,7,4 | 69 |
| 4,1,7 | 69 |
| 4,7,1 | 51 |
| 7,1,4 | 51 |
| 7,4,1 | 42 |
تبديل موضعين يوضح اتجاه التغير
لـ x ≤ y و u ≤ v، المتوافق xu+yv والمتقاطع xv+yu. طرحهما يعطي (y−x)(v−u) ≥ 0؛ تساوي عامل في الفرق يسمح بالمساواة. [1]
في المثال، قارن 2 × 1 + 8 × 7 = 58 مع 2 × 7 + 8 × 1 = 22. الفرق 36، وهو (8−2)(7−1) = 36. الحد الأوسط 5 × 4 = 20 لم يتغير، لذلك يظل فرق المجموعين الكاملين 36، أي 78 − 42.
ثبت الأولى تصاعديًا. أصلح كل انقلاب متجاور في الثانية؛ كل تبديل لا ينقص المجموع. تنتهي العملية بترتيبها تصاعديًا، فيثبت الحد الأعلى. إصلاحها تنازليًا لا يزيد المجموع، فيثبت الحد الأدنى.
حجة التبديل تستعمل ترتيب الفروق؛ لا تحتاج إيجابية العناصر. لذلك تعمل مع الأعداد الحقيقية، بما فيها الصفر والسالب، ما دامت القائمتان منتهيتين وبالطول نفسه والاقتران حرًا.
ليست الحجة أن تبديلًا عشوائيًا من أي ترتيب يزيد المجموع. إذا بدأنا بالترتيب المتوافق في مثالنا، فتبديل 1 و 7 ينقصه 36. نختار في البحث عن الحد الأعلى انقلابًا يضع الأكبر أمام معامل أصغر، ثم نصححه؛ اتجاه التبديل جزء من البرهان.
السالب يرتب بالقيمة العددية
في الأولى −3,1,4 والثانية −2,2,5، كلا الترتيبين تصاعدي. الاقتران الموافق يعطي (−3) × (−2) = 6، ثم 1 × 2 = 2، ثم 4 × 5 = 20؛ المجموع 28. عكس الثانية يعطي −15 و 2 و −8، ومجموعها −21.
يمكن مراجعة القيم الستة لهذا المثال: 28 و 19 و 12 و −9 و −9 و −21. مرة أخرى الحد الأعلى في الترتيب الموافق والأدنى في المعاكس. وجود ناتج موجب من ضرب سالبين لا يبدل معيار ترتيب القائمتين.
العدد −2 أصغر من 2، رغم تساوي قدريهما المطلقين. لا نفرز −2 و 2 وفق الحجم دون الإشارة ثم نتوقع بقاء القاعدة كما هي. الصورة الداخلية تعرض الضربات الثلاث في كل اقتران وتحتفظ بالإشارات.
ناتج أقل لا يعني ناتجًا أقرب إلى الصفر: −21 أصغر من −9، رغم أن قدره المطلق أكبر. نصوغ الهدف «أصغر قيمة للمجموع» أو «أكبر قيمة للمجموع»؛ البحث عن أصغر قدر مطلق للمجموع مسألة أخرى.
تساوي القيم وحدود استعمال الاقتران
نغير الأولى إلى 2,2,8 ونبقي الثانية 1,4,7. الترتيب الموافق يعطي 2 + 8 + 56 = 66. تبديل 1 و 4 يعطي 8 + 2 + 56 = 66 أيضًا. الموضعان مختلفان، لكن تبديل ما يضرب في المعامل 2 لا يغير الجمع.
إذن لا نستنتج من وجود ترتيب يعطي القيمة القصوى أنه الوحيد. في القائمة الجديدة يوجد ترتيبان للقيم المتميزة 1 و 4 و 7 يحققان 66. ولو تساوت جميع معاملات الأولى عند 2، لكان كل ترتيب للثانية يعطي 2 × (1 + 4 + 7) = 24.
في مثال الأعداد الستة الأصلي، كان الاقتران حرًا بنص المسألة. أما إذا كان كل عدد في الأولى وزن جسم وكل عدد في الثانية قياسًا للجسم نفسه، فلا نفصل الأزواج لمجرد رفع مجموع النواتج. الهوية التي تربط القياسين تضيف قيدًا لم يوجد في النموذج.
قبل الحساب، سجل القائمتين والقيود على الاقتران وهدف المقارنة. ثم رتب بالقيمة العددية وافحص التساوي. إذا أجازت المسألة جميع الاقترانات، تساعدك الحدود في فحص جواب؛ وإذا منعت بعضها، فالمجموع الموافق قد لا يمثل حلًا مسموحًا.
اقرأ أيضًا: ضرب الأعداد الكبيرة: التجزئة والضرب العمودي بخطوات واضحة
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.