متباينة بالي–زيغموند: حد أدنى لاحتمال تجاوز جزء من المتوسط

الخلاصة السريعة

في النموذج، حد بالي–زيغموند لاحتمال X > 1 هو 1/10، بينما الاحتمال الفعلي 1/2. [1] الحد أدنى، فلا يصح تفسيره بوصفه الاحتمال الدقيق. توزيعان آخران لهما المتوسط 2 ومتوسط المربع 10 يعطيان 2/5 و 1/7 للحدث نفسه.

• لـ X غير سالب، ضع μ=E X و m₂=E X²، مع m₂ موجب ومنتهٍ. إذا θ ≥ 0 و θ أصغر من 1، فإن P(X > θμ) ≥ (1−θ)² μ²/m₂. [1] نميز متوسط المربع عن مربع المتوسط.
• في القيم 0 و 2 و 6 بالاحتمالات 1/2 و 1/4 و 1/4، نجد μ=2 و m₂=10. عند θ=1/2، الحد 1/10 والاحتمال الفعلي 1/2. التباين 6 وليس 10.
• للحدث A، إذا p احتماله و C مساهمة القيم في المتوسط و Q مساهمة المربعات، فإن pQ−C² مجموع موزون لمربعات فروق أزواج القيم داخله. في نموذجنا يساوي 1، ومنه C²=4 لا يتجاوز pQ=5.
• توزيعات 0 و 2 و 6، ثم 0 و 5، ثم 1 و 8 لها المتوسطان نفسيهما، لكن P(X > 1) يساوي 1/2 و 2/5 و 1/7. في التوزيع الأخير، P(X ≥ 1)=1؛ إدخال الحد يغير الحدث.
• عند θ=0، توزيع 0 و 5 باحتمالين 3/5 و 2/5 يحقق الحد 2/5 بالمساواة. وضرب قيم النموذج الأول في 3 يبقي الحد 1/10، ويغير المتوسط إلى 6 والعتبة إلى 3.
• لا نعوض بتباين 6 مكان متوسط المربع 10. المتغير الصفري يجعل الكسر غير معرف، والثابت السالب −2 يفشل المثال إذا أسقطنا عدم السلبية. كذلك θ=2 خارج المجال؛ لا نستعمل تربيع العامل لإجازته.

متوسط المربع ليس مربع المتوسط ولا التباين

الاحتمالات الثلاثة مجموعها 1. نحسب المتوسط بضرب كل قيمة في احتمالها: μ=0+1/2+3/2=2. لحساب متوسط المربع، نربع القيمة قبل ضربها في الاحتمال. مساهمتا 2 و 6 هما 1 و 9، فتكون m₂=10. الجدول يبين الحسابين ولا يفترض تساوي الاحتمالات.

مربع المتوسط μ²=4 مختلف عن m₂=10. نتحقق من التباين مباشرة حول 2: مساهمة 0 هي 4×(1/2)=2، ومساهمة 2 صفر، ومساهمة 6 هي 16×(1/4)=4؛ المجموع 6. ونجد أيضًا 10−4=6، أي m₂−μ² في هذا النموذج.

نختار θ=1/2، فيصبح نصف المتوسط 1. الحدث X > 1 يضم 2 و 6 فقط، واحتماله 1/4+1/4=1/2. بتطبيق الحد نحصل على (1/2)²×4/10=1/10. للمقارنة العددية، 1/2 أكبر من 1/10؛ النتيجة تضمن حدًا أدنى ولا تدعي مساواته بالاحتمال.

هوية أزواج القيم تفسر الحد في توزيع منتهٍ

سنشرح حالة القيم المنتهية بهوية جبرية. سمّ الحدث X > θμ باسم A، وضع p=P(A). داخله، C هو مجموع حاصل ضرب القيمة في احتمالها، و Q هو مجموع حاصل ضرب مربعها في احتمالها. الاحتمالات المستعملة هي الأصلية، ولا نقسمها على p لإعادة تطبيعها.

نقسم مساهمة المتوسط إلى داخل A وخارجه. خارج A، القيمة لا تتجاوز θμ، لذلك لا تتجاوز مساهمة الخارج θμ، وتكون C ≥ (1−θ)μ. [1] هذا تقدير عام؛ في نموذجنا الخارج هو الصفر، فمساهمته صفر و C=2.

بالتوزيع، pQ−C² يساوي مجموع pᵢpⱼ(xᵢ−xⱼ)² على أزواج القيم المختلفة داخل A، مع عد كل زوج مرة واحدة. كل حد غير سالب. في حدثنا يوجد زوج 2 و 6، واحتمال كل منهما 1/4، فيعطي (1/4)×(1/4)×(2−6)²=1. فعلًا p=1/2 و Q=10 و C=2، ومن ثم pQ−C²=5−4=1.

من الهوية، C² ≤ pQ. ولأن المربعات غير سالبة، Q ≤ m₂. نجمعهما مع C ≥ (1−θ)μ، فنجد (1−θ)² μ² ≤ p m₂. بقسمة الطرفين على m₂ الموجب نحصل على الحد. هذه حجة منتهية؛ المرجع يورد النتيجة للمتغير غير السالب ذي متوسط مربع منتهٍ عمومًا. [1]

في نموذجنا، التقدير العام C ≥ 1 أضعف من القيمة الفعلية C=2. ثم الهوية تعطي 4 ≤ 5 بدل المساواة. لذلك لا نتوقع أن يساوي الحد العام الاحتمال المحسوب؛ التقديرات تتعمد الاكتفاء بالمعلومات المحددة. هوية الأزواج تحقق العلاقة من دون تقريب جذور أو حل معادلة تربيعية.

المتوسطان نفسيهما لا يحددان احتمال الحدث

التوزيع الأول هو نموذجنا. الثاني يضع 3/5 عند 0 و 2/5 عند 5؛ متوسطه 2 ومتوسط مربعه 10. الثالث يضع 6/7 عند 1 و 1/7 عند 8؛ متوسطه (6+8)/7=2 ومتوسط مربعه (6+64)/7=10. التباين 6 في الثلاثة.

عند θ=1/2، العتبة 1 في كل توزيع. الأول يعطي 1/2 لحدث X > 1، والثاني 2/5، والثالث 1/7. كلها لا تقل عن 1/10، لكن ليست متساوية. وجود حد يعتمد على المتوسطين لا يجعل التوزيع أو احتماله الدقيق معلومًا.

في التوزيع الثالث، القيمة 1 تحمل 6/7 من الاحتمال. الحدث X > 1 يستبعدها، فيبقى 1/7 عند 8. أما X ≥ 1 فيشمل القيمتين ويصبح احتماله 1. الحد الأدنى صالح أيضًا للحدث الأكبر، لكنه لا يساوي الاحتمالين لمجرد أنه صالح لهما.

متى يبلغه نموذج بسيط وكيف تؤثر إعادة القياس؟

في التوزيع الثاني 0 و 5، اختر θ=0. الحدث X > 0 يضم 5 فقط واحتماله 2/5. الحد المحسوب μ²/m₂=4/10=2/5 يساويه. داخل هذا الحدث قيمة واحدة، فلا يوجد زوج مختلف يضيف فرقًا إلى هوية الأزواج؛ وخارجه القيمة صفر.

لا يثبت هذا أن كل توزيع يحقق المساواة عند θ=0. في النموذج الأول، احتمال X > 0 هو 1/2، لكن الحد 4/10=2/5، فلا يتساويان. تحديد θ وحده لا يفرض المساواة.

اضرب قيم النموذج الأول في 3 مع إبقاء الاحتمالات: القيم 0 و 6 و 18، والمتوسط 6 ومتوسط المربع 90. عند θ=1/2، الحدث هو X > 3، واحتماله 1/2، والحد (1/2)²×36/90=1/10. تغيرت وحدة القيم والعتبة معًا، فحفظت المقارنة.

للضرب في ثابت c موجب عمومًا، يتضاعف المتوسط بـ c ومتوسط المربع بـ c². في النسبة μ²/m₂، يظهر c² في البسط والمقام فيختزل. الإشارة الموجبة تحفظ اتجاه المقارنة مع العتبة؛ هذا الحساب لا يبرر ضرب القيم في ثابت سالب مع إبقاء شروطها كما هي.

لا تغير المقام أو الإشارة أو مجال θ

المقام هو متوسط المربع 10، لا التباين 6. إذا وضعت 6 مكانه في مثالنا عند θ=1/2، تحصل على 1/6 بدل 1/10. قد يبقى ذلك أقل من الاحتمال المحسوب هنا مصادفة، لكنه ليس التعويض المطلوب في الصيغة، ولا يثبت قاعدة عامة.

المتغير الذي يساوي صفرًا دائمًا له μ=0 و m₂=0. الحدث X > 0 مستحيل، لكن نسبة μ²/m₂ تصبح 0/0 غير معرفة. نعالج هذا النموذج مباشرة، ولا ننسب إليه حدًا عدديًا مستخرجًا بالقسمة.

لرؤية أثر عدم السلبية، خذ متغيرًا ثابتًا عند −2. متوسطه −2 ومتوسط مربعه 4. عند θ=1/2، الحدث X > −1 مستحيل، لكن إدخاله في الكسر يعطي 1/4. هذه مخالفة للحد الأدنى؛ النموذج لا يستوفي شرط X غير سالب أصلًا.

ولرؤية مجال θ، خذ X ثابتًا عند 2 ثم θ=2. الحدث X > 4 مستحيل، بينما التربيع في الكسر يعطي 1. لا يجعل تربيع 1−θ مجال الاختيار مفتوحًا؛ خطوات المقارنة قبل التربيع تحتاج المجال المحدد.

المتوسطان هنا خصائص النماذج المعلنة، لا تقديران من عينة. لا نستبدلهما بقياسين تقديريين ونصف النتيجة بأنها ضمان احتمالي تلقائي. ابدأ بفحص عدم السلبية ومتوسط المربع، ثم حدد θ والحدث، وأخيرًا قارن الحد بالحساب المباشر إن عرفت التوزيع.